Formule polovičnega kota se uporabljajo za iskanje različnih vrednosti trigonometričnih kotov, na primer za 15°, 75° in drugih, uporabljajo pa se tudi za reševanje različnih trigonometričnih problemov.

Več trigonometričnih razmerij in identitet pomaga pri reševanju problemov trigonometrije. Vrednosti trigonometričnih kotov 0°, 30°, 45°, 60°, 90° in 180° za sin, cos, tan, cosec, sec in cot so določene s pomočjo trigonometrične tabele. Formule polovičnega kota se pogosto uporabljajo v matematiki, o njih se podrobneje seznanimo v tem članku.

Kazalo

• Formule polkotnika
• Polkotne identitete
• Izpeljava formul polovičnega kota z uporabo formul dvojnega kota
• Polkotna formula za izpeljavo Cos
• Polkotna formula za izpeljavo greha
• Polkotna formula za izpeljavo Tan
• Rešeni primeri formul polkotnika

Formule polkotnika

Za iskanje vrednosti kotov poleg dobro znanih vrednosti 0°, 30°, 45°, 60°, 90° in 180°. Polovični koti izhajajo iz formul dvojnega kota in so navedeni spodaj za sin, cos in tan:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Trigonometrične identitete formul dvojnega kota so uporabne za izpeljavo formul polkotnika.

Formule polovičnega kota

Polkotne identitete

Polkotne identitete za nekatere priljubljene trigonometrične funkcije so,

• Pol Kot Formula Greha,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Formula pol kota Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Pol Kotna Formula Tan,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Izpeljava formul polovičnega kota z uporabo formul dvojnega kota

Formule polovičnega kota so izpeljane z uporabo formul dvojnega kota. Preden spoznamo formule polkotnika, se moramo naučiti dvojnega kota v Trigonometrija , so najpogosteje uporabljene formule dvojnega kota v trigonometriji:

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos²x – greh²x
  = 1 – 2 brez²x
  = 2 cos²x – 1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²x)

Če zamenjamo x z x/2 na obeh straneh v zgornjih formulah, dobimo

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – brez²(x/2)
  = 1 – 2 brez²(x/2)
  = 2 cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Polkotna formula za izpeljavo Cos

Uporabljamo cos2x = 2cos²x – 1 za iskanje formule polkotnika za Cos

V zgornjo formulo vnesite x = 2y

cos (2)(y/2) = 2cos²(l/2) – 1

cos y = 2cos²(l/2) – 1

1 + cos y = 2cos²(in/2)

2cos²(y/2) = 1 + udobno

cos²(y/2) = (1+ udobno)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ udobno)/2}

Polkotna formula za izpeljavo greha

Uporabimo cos 2x = 1 – 2sin²x za iskanje formule polkotnika za sin

V zgornjo formulo vnesite x = 2y

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(in/2)

cos y = 1 – 2sin²(in/2)

2sin²(y/2) = 1 – udobno

brez²(y/2) = (1 – udobno)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – udobno)/2}

Polkotna formula za izpeljavo Tan

Vemo, da je tan x = sin x / cos x tako, da

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Sestavljanje vrednosti pol kota za sin in cos. Dobimo,

tan(x/2) = ± [(√(1 – udobno)/2 ) / (√(1+ udobno)/2 )]

tan (x/2) = ± [√(1 – udobno)/(1+ udobno) ]

Racionalizacija imenovalca

tan(x/2) = ± (√(1 – udobno)(1 – udobno)/(1+ udobno)(1 – udobno))

tan(x/2) = ± (√(1 – udobno)²/(1 – cos²in))

tan(x/2) = ± [√{(1 – udobno)²/(brez²in)}]

tan (x/2) = (1 – udobno)/( vedro)

Prav tako preverite

zamenjava java niza

• Uporabe trigonometrije v resničnem življenju
• Brez Cos formul

Rešeni primeri formul polovičnega kota

Primer 1: Določite vrednost sin 15°

rešitev:

Vemo, da je formula za pol kota sinusa podana z:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Vrednost sinusa 15° lahko najdete tako, da x nadomestite s 30° v zgornji formuli

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,134/2)^1/2

sin 15° = ± (0,067)^1/2

sin 15° = ± 0,2588

Primer 2: Določite vrednost sin 22.5 °

rešitev:

Vemo, da je formula za pol kota sinusa podana z:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Vrednost sinusa 15° lahko najdete tako, da x v zgornji formuli nadomestite s 45°

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,293/2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,146)^1/2

sin 22,5° = ± 0,382

Primer 3: Določite vrednost tan 15°

rešitev:

Vemo, da je formula za pol kota sinusa podana z:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Vrednost tan 15° lahko najdete tako, da v zgornji formuli x nadomestite s 30°

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

leksikografsko

tan 15° = ± (1 – 0,866)/ sin 30

tan 15° = ± (0,134)/ 0,5

tan 15° = ± 0,268

Primer 4: Določite vrednost tan 22,5°

rešitev:

Vemo, da je formula za pol kota sinusa podana z:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Vrednost tan 22,5° lahko najdete tako, da x v zgornji formuli nadomestite s 45°

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (0,293)/ 0,707

tan 22,5° = ± 0,414

Primer 5: Določite vrednost cos 15°

rešitev:

Vemo, da je formula za pol kota sinusa podana z:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Vrednost sinusa 15° lahko najdete tako, da x nadomestite s 30° v zgornji formuli

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Primer 6: Določite vrednost cos 22,5°

rešitev:

Vemo, da je formula za pol kota sinusa podana z:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Vrednost sinusa 15° lahko najdete tako, da x v zgornji formuli nadomestite s 45°

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/2)^1/2

cos 22,5° = ± (0,853)^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Pogosta vprašanja o formuli polkotnika

Kakšna je uporaba formul polovičnega kota?

Formule polovičnega kota se uporabljajo za iskanje trigonometričnih razmerij polovice standardnih kotov, kot so 15°, 22,5° in drugi. Uporabljajo se tudi za reševanje kompleksnih trigonometričnih enačb in so potrebni pri reševanju integralov in diferencialnih enačb.

Kaj je formula polovičnega kota za greh?

Half-Angle formula za greh je

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Tudi za kateri koli trikotnik s stranicami a, b in c in polobseg je torej s

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Kaj je formula polovičnega kota za kosinus?

Polkotna formula za cos je

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Tudi za kateri koli trikotnik s stranicami a, b in c in polobseg je torej s

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Kakšna je formula za cos jaz ?

Za kateri koli pravokotni trikotnik s kotom θ je formula, ki se uporablja za izračun kosinusa kota (θ),

Cos(θ) = sosednji / hipotenuza