Trigonometrične identitete so različne identitete, ki se uporabljajo za poenostavitev različnih kompleksnih enačb, ki vključujejo trigonometrične funkcije. Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z razmerjem med stranicami in koti trikotnika. Ta razmerja so definirana v obliki šestih razmerij, ki se imenujejo trigonometrična razmerja – sin, cos, tan, cot, sec in cosec.

Na razširjen način se preučujejo tudi koti, ki tvorijo elemente trikotnika. Logično, razprava o lastnostih trikotnika; reševanje trikotnika ter fizikalni problemi s področja višin in razdalj z uporabo lastnosti trikotnika – vsi so sestavni del študija. Ponuja tudi metodo rešitve trigonometričnih enačb.

Kazalo

• Kaj so trigonometrične identitete?
• Seznam trigonometričnih identitet
• Vzajemne trigonometrične identitete
• Pitagorejske trigonometrične identitete
• Identitete trigonometričnega razmerja
• Trigonometrične identitete nasprotnih kotov
• Identitete komplementarnih kotov
• Identitete dopolnilnih kotov
• Periodičnost trigonometrične funkcije
• Identitete vsote in razlike
• Dvojne kotne identitete
• Formule polovičnega kota
• Še nekaj polkotnih identitet
• Identitete vsote produkta
• Identitete izdelkov
• Formule trojnega kota
• Dokaz trigonometričnih identitet
• Razmerje med koti in stranicami trikotnika
• Pogosta vprašanja o trigonometričnih identitetah

Kaj so trigonometrične identitete?

Enačba, ki vključuje trigonometrična razmerja kota, se imenuje trigonometrična identiteta, če velja za vse vrednosti kota. Te so uporabne, kadar so trigonometrične funkcije vključene v izraz ali enačbo. Šest osnovnih trigonometričnih razmerij je sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans in kotangens . Vsa ta trigonometrična razmerja so definirana s stranicami pravokotnega trikotnika, kot so sosednja stranica, nasprotna stran in stran hipotenuze.

Trigonometrične identitete

Seznam trigonometričnih identitet

V študiji trigonometrije je veliko identitet, ki vključujejo vsa trigonometrična razmerja. Te identitete se uporabljajo za reševanje različnih problemov v akademski pokrajini in tudi v resničnem življenju. Naučimo se vseh osnovnih in naprednih trigonometričnih identitet.

Vzajemne trigonometrične identitete

Pri vseh trigonometričnih razmerjih obstaja vzajemno razmerje med parom razmerij, ki je podano na naslednji način:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/s θ
• sec θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/otroška posteljica θ
• posteljica θ = 1/tan θ

Pitagorejske trigonometrične identitete

Pitagorejske trigonometrične identitete temeljijo na izreku pravokotnega trikotnika oz Pitagorov izrek , in so naslednji:

• brez²θ + cos²θ = 1
• 1 + torej²θ = sekunda²jaz
• cosec²θ = 1 + posteljica²jaz

Preberite več o Pitagorejske trigonometrične identitete .

Identitete trigonometričnega razmerja

Ker sta tan in cot definirana kot razmerje med sin in cos, ki je podano z naslednjimi identitetami:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Trigonometrične identitete nasprotnih kotov

V trigonometriji se kot, izmerjen v smeri urinega kazalca, meri z negativno pariteto in vsa trigonometrična razmerja, opredeljena za negativno pariteto kota, so opredeljena na naslednji način:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• posteljica (-θ) = -posteljica θ
• sec (-θ) = sec θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Identitete komplementarnih kotov

Komplementarni koti sta par kotov, katerih seštevek meri do 90°. Zdaj so trigonometrične identitete za komplementarne kote naslednje:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = posteljica θ
• posteljica (90° – θ) = tan θ
• sec (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Identitete dopolnilnih kotov

Dodatni koti so pari kotov, katerih seštevek meri do 180°. Zdaj so trigonometrične identitete za dodatne kote:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• sec (180°- θ)= -sec θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• posteljica (180°- θ) = -posteljica θ

Periodičnost trigonometrične funkcije

Trigonometrične funkcije kot so sin, cos, tan, cot, sec in cosec, so vse periodične narave in imajo različno periodičnost. Naslednje identitete za trigonometrično razmerje pojasnjujejo njihovo periodičnost.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sec (n × 360° + θ) = sec θ
• sec (2nπ + θ) = sec θ
  
• posteljica (n × 180° + θ) = posteljica θ
• posteljica (nπ + θ) = posteljica θ

Kjer je n ∈ Z, (Z = množica vseh celih števil)

Opomba: sin, cos, cosec in sec imajo periodo 360° ali 2π radianov, za tan in cot pa periodo 180° ali π radianov.

Identitete vsote in razlike

Trigonometrične identitete za vsoto in razliko kota vključujejo formule, kot so sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) itd.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Opomba: Identitete za sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) in cos (A-B) imenujemo Ptolomejeve identitete .

Dvojne kotne identitete

Z uporabo trigonometričnih identitet vsote kotov lahko najdemo novo identiteto, ki se imenuje dvojna identiteta kota. Da bi našli te identitete, lahko v vsoto kotnih identitet vnesemo A = B. na primer

a vemo, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Tukaj nadomestimo A = B = θ na obeh straneh in dobimo:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Podobno,

• cos 2θ = cos ² θ – greh ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – sin ² jaz
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² jaz)

Preberite več o Dvojne kotne identitete .

Formule polovičnega kota

Z uporabo formul dvojnega kota je mogoče izračunati formule pol kota. Za izračun polkotnih formul zamenjajte θ z θ/2, nato pa

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Preberite več o Polkotne identitete .

Še nekaj polkotnih identitet

Razen zgoraj omenjenih identitet obstaja še nekaj polkotnih identitet, ki so naslednje:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identitete produkta in vsote

Naslednje identitete navajajo razmerje med vsoto dveh trigonometričnih razmerij in zmnožkom dveh trigonometričnih razmerij.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identitete izdelkov

Identitete izdelkov nastanejo, ko seštejemo dve vsoti in razliki identitet kotov in so naslednje:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Formule trojnega kota

Razen formul dvojnega in polovičnega kota obstajajo identitete za trigonometrična razmerja, ki so definirana za trojni kot. Te identitete so naslednje:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Preberite več o Trojne kotne identitete .

Dokaz trigonometričnih identitet

Za vsak ostri kot θ dokažite to

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. brez ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + torej ² θ = sekunda ² jaz
6. 1 + otroška posteljica ² θ = cosec ² jaz

Dokaz:

Razmislite o pravokotnem △ABC, v katerem je ∠B = 90°

Naj bo AB = x enot, BC = y enot in AC = r enot.

potem,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Potem imamo po Pitagorovem izreku

x²+ in²= r².

zdaj,

(4) brez²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (in²/r²+ x²/r²)

= (x²+ in²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ in²= r²]

brez ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + torej²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (in²+ x²)/x²= r²/x²[x²+ in²= r²]

(r/x)²= sek²jaz

∴ 1 + tan ² θ = sekunda ² jaz.

(6) 1 + otroška posteljica²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/in²= (x²+ in²)/in²= r²/in²[x²+ in²= r²]

(r²/in²) = cosec²jaz

∴ 1 + otroška posteljica ² θ = cosec ² jaz

Razmerje med koti in stranicami trikotnika

Tri pravila, ki povezujejo stranice trikotnikov z notranjimi koti trikotnikov, so:

• Njegovo pravilo
• Kosinusno pravilo
• Tangentno pravilo

Če je trikotnik ABC s stranicami a, b in c, ki so nasprotne stranicam ∠A, ∠B in ∠C, potem je

Njegovo pravilo

Njegova pravila navaja razmerje med stranicami in koti trikotnika, ki je razmerje med stranico in sinusom kota, ki je nasproti strani, vedno enako za vse kote in stranice trikotnika in je podano kot sledi:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosinusno pravilo

Kosinusno pravilo vključuje vse stranice, en notranji kot trikotnika pa je podan takole:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ALI

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ALI

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangentno pravilo

• Pravilo tangente navaja tudi razmerje med stranicami in notranjim kotom trikotnika z uporabo tan trigonometričnega razmerja, ki je naslednje:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Tudi Preberite

• Trigonometrična višina in razdalja
• Trigonometrična tabela

Rešen primer o trigonometričnih identitetah

Primer 1: Dokažite, da (1 – sin ² θ) sek ² θ = 1

rešitev:

Imamo:

LHS = (1 – sin²θ) sek²jaz

= cos²θ. sek²jaz

= cos²θ. (1/cos²jaz)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Zato dokazano]

Primer 2: Dokažite, da (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

rešitev:

Imamo:

LHS = (1 + tan²θ)cos²jaz

⇒ LHS = sek²θ. cos²jaz

⇒ LHS = (1/cos²θ). cos²jaz

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Zato dokazano]

Primer 3: Dokažite, da (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

rešitev:

Imamo:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²jaz

⇒ LHS = (1 + posteljica²θ – 1) torej²jaz

⇒ LHS = posteljica²θ. torej²jaz

⇒ LHS = (1/tan²θ). torej²jaz

java int za podvojitev

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Zato dokazano]

Primer 4: Dokažite, da (sl ⁴ θ – sek ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ jaz)

rešitev:

Imamo:

LHS = (sek⁴θ – sek²jaz)

⇒ LHS = sek²θ(sek²i – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²i – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) torej²jaz

⇒ LHS = (tan²θ + tan⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Zato dokazano]

Primer 5: Dokažite, da je √(sek ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

rešitev:

Imamo:

LHS = √(sek²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + otroška posteljica²jaz))

⇒ LHS = √(tan²θ + posteljica²i + 2)

⇒ LHS = √(tan²θ + posteljica²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [torej dokazano]

Vprašanja za vadbo o trigonometričnih identitetah

V1: Poenostavite izrazfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Dokaži istovetnost tan (x) . posteljica (x) = 1.

Q3: Pokaži tofrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Poenostavitesin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

V5: Dokažite identitetocos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

V6: Poenostavitefrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

V7: Dokažite identitetosec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Pogosta vprašanja o trigonometričnih identitetah

Kaj je trigonometrična identiteta?

Trigonometrična identiteta je enačba, ki povezuje različne trigonometrične funkcije, kot so sin, cos, tan, cot, sec in cosec.

Kako dokazati trigonometrične identitete?

Obstajajo različne metode za dokazovanje trigonometričnih identitet, ena od takih metod je uporaba 6 glavnih trigonometričnih znanih identitet za prepisovanje izraza v drugačni obliki. Kot pri vsakem drugem dokazu delamo z eno stranjo, da pridemo do izraza, enakega drugi strani enačbe.

Koliko trigonometričnih identitet obstaja?

Obstaja veliko trigonometričnih identitet, saj je lahko vsaka identiteta z nekaj variacijami še vedno istovetnost. Zato ne moremo natančno reči, koliko identitet je tam.

Kako si zapomniti vse trigonometrične identitete?

Najlažji način za zapomnitev vseh identitet je vadba problemov, povezanih z identiteto. Vsakič, ko rešite problem z uporabo neke identitete, to identiteto revidirate in sčasoma vam bo postala druga narava.

Napišite tri glavne trigonometrične funkcije.

Tri glavne funkcije, ki se uporabljajo v trigonometriji, so sinus, kosinus in tangens.
sin θ = pravokotnik/hipotenuza
cos θ = osnova/hipotenuza
tan θ = pravokotnik/osnova

Kaj je Pitagorov izrek?

Pitagorov izrek pravi, da je v pravokotnem trikotniku s stranicami hipotenuza (H), pravokotnik (P) in osnova (B) razmerje med njimi podano z:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Napišite uporabo trigonometričnih identitet.

Trigonometrične identitete se uporabljajo za reševanje različnih problemov, ki vključujejo kompleksne trigonometrične funkcije. Uporabljajo se za izračun valovnih enačb, enačbe harmoničnega oscilatorja, reševanje geometrijskih vprašanj in drugih problemov.

Napišite osem temeljnih trigonometričnih identitet.

Osem temeljnih identitet v trigonometriji je:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/otroška posteljica θ
• brez²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ torej²θ = sekunda²jaz
• cot θ = cosθ/sinθ
• 1+ posteljica²θ = cosec²jaz