Formule Sin Cos v trigonometriji: Trigonometrija, kot pove že njeno ime, je preučevanje trikotnikov. Je pomembna veja matematike, ki preučuje razmerje med dolžinami stranic in koti pravokotnega trikotnika ter pomaga pri določanju manjkajočih dolžin stranic ali kotov trikotnika. Obstaja šest trigonometričnih razmerij ali funkcij: sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans in kotangens, kjer so kosekans, sekans in kotangens recipročne funkcije ostalih treh funkcij, tj. sinusa, kosinusa in tangensa.

Trigonometrično razmerje je definirano kot razmerje dolžin stranic pravokotnega trikotnika. Trigonometrija se v vsakdanjem življenju uporablja na različnih področjih. Pomaga pri določanju višine hribov ali zgradb. Uporablja se tudi na področjih, kot so kriminologija, gradbeništvo, fizika, arheologija, inženiring ladijskih motorjev itd.

V tem članku bomo raziskali vse trigonometrične formule večinoma sin in cos formule z njihovimi primeri ter seznam vseh formul v trigonometriji.

Kazalo

• Formule v trigonometriji
• Sinusna formula
• Kosinusna formula
• Nekaj ​​osnovnih formul Sin Cos
• Tabela formul Sin Cos
• Seznam formul Sin Cos
• Primeri formul Sin Cos
• Vadbene naloge s formulami Sin Cos v trigonometriji s primeri

Formule v trigonometriji

Oglejmo si pravokotni trikotnik XYZ, kjer je ∠Y = 90°. Naj bo kot pri točki Z enak θ. Stran, ki meji na θ, se imenuje sosednja stran, stran, ki je nasprotna θ, pa nasprotna stran. Hipotenuza je stranica, ki je nasprotna pravemu kotu, ali najdaljša stranica pravega kota.

• sin θ = Nasprotna stranica/hipotenuza
• cos θ = sosednja stran/hipotenuza
• tan θ = nasprotna stran/sosednja stran
• cosec θ = 1/sin θ = hipotenuza/nasprotna stran
• sec θ = 1/ cos θ = hipotenuza/sosednja stranica
• posteljica θ = 1/tan θ = sosednja stran/nasprotna stran

Sinusna formula

Sinus kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med dolžino nasprotne stranice in dolžino hipotenuze glede na dani kot. Sinusna funkcija je predstavljena kot sin.

sin θ = Nasprotna stranica/hipotenuza

Kosinusna formula

Kosinus kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med dolžino sosednje stranice in dolžino hipotenuze glede na dani kot. Kosinusna funkcija je predstavljena kot cos.

seznam razvrščenih java

cos θ = sosednja stran/hipotenuza

Nekaj ​​osnovnih formul Sin Cos

Sinusne in kosinusne funkcije v kvadrantih

• Sinusna funkcija je pozitivna v prvem in drugem kvadrantu ter negativna v tretjem in četrtem kvadrantu.
• Kosinusna funkcija je pozitivna v prvem in četrtem kvadrantu ter negativna v drugem in tretjem kvadrantu.

Stopnje	Kvadrant	Znak sinusne funkcije	Predznak kosinusne funkcije
0° do 90°	1. kvadrant	+ (pozitivno)	+ (pozitivno)
90° do 180°	2. kvadrant	+ (pozitivno)	– (negativno)
180° do 270°	3. kvadrant	– (negativno)	– (negativno)
270° do 360°	4. kvadrant	– (negativno)	+ (pozitivno)

Identiteta negativnega kota funkcij sinusa in kosinusa

• Sinus negativnega kota je vedno enak negativnemu sinusu kota.

sin (– θ) = – sin θ

• Kosinus negativnega kota je vedno enak kosinusu kota.

cos (– θ) = cos θ

Razmerje med sinusno in kosinusno funkcijo

sin θ = cos (90° – θ)

Recipročne funkcije sinusne in kosinusne funkcije

• Kosekantna funkcija je recipročna funkcija sinusne funkcije.

cosec θ = 1/sin θ

• Funkcija sekanta je recipročna funkcija kosinusne funkcije.

sec θ = 1/cos θ

Pitagorejska identiteta

brez ² θ + cos ² θ = 1

Periodične identitete sinusne in kosinusne funkcije

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Formule dvojnega kota za funkcije sinusa in kosinusa

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – greh ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 sin ² jaz

Identitete polovičnega kota za sinusno in kosinusno funkcijo

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Identitete trojnega kota za sinusno in kosinusno funkcijo

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ jaz

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Formule vsote in razlike

• Sinusna funkcija

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Kosinusna funkcija

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Zakon sinusov ali sinusno pravilo

Pravilo sinusov sinusa je trigonometrični zakon, ki določa razmerje med dolžinami stranic in koti trikotnika.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Pri čemer so a, b in c dolžine treh stranic trikotnika ABC, A, B in C pa koti.

Zakon kosinusov

Pravilo kosinusa kosinusa se uporablja za določanje manjkajočih ali neznanih kotov ali dolžin stranic trikotnika.

a ² = b ² + c ² – 2bc cos A

b ² = c ² + a ² – 2ca cos B

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Pri čemer so a, b in c dolžine treh stranic trikotnika ABC, A, B in C pa koti.

Tabela formul Sin Cos

Tukaj je tabela/seznam formul Sin in Cos za različne kote v stopinjah in radianih:

Seznam formul Sin Cos

Primeri formul Sin Cos

Problem 1: Če je cos α = 24/25, potem poiščite vrednost sin α.

rešitev:

podano,

cos α = 24/25

Iz pitagorejskih identitet imamo;

cos²θ + sin²θ = 1

(24/25)²+ brez²α = 1

brez²α = 1 – (24/25)²

brez²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

brez²α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Zato je sin α = ±7/25.

Problem 2: Dokaži formuli za sin 2A in cos 2A, če je ∠A= 30°.

rešitev:

Podano je ∠A= 30°

Vemo, da

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Ker je sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 in sin 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Ker je cos 60° = 1/2 in cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Zato dokazano.

Problem 3: Poiščite vrednost cos x, če je tan x = 3/4.

rešitev:

Podano, tan x = 3/4

Vemo, da

tan x = nasprotna stran/sosednja stran = 3/4

Za iskanje hipotenuze uporabimo Pitagorov izrek:

hipotenuza²= nasprotje²+ sosednji²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Zdaj, cos x = sosednja stranica/hipotenuza

cos x = 4/5

Tako je vrednost cos x 4/5.

4. naloga: Poiščite ∠C (v stopinjah) in ∠A (v stopinjah), če je ∠B = 45°, BC = 15 in AC = 12 in.

rešitev:

Podano: ∠B = 45°, BC = a = 15 in AC = b = 12 in.

Iz zakona sinusov imamo

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16,97

⇒ brez A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = greh^-1(0,8839) = 62,11°

Vemo, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180°.

Torej, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Zato je ∠A = 62,11° in ∠C = 72,89°.

Problem 5: Dokaži identitete polovičnega kota kosinusne funkcije.

rešitev:

Identiteta polovičnega kota kosinusne funkcije je:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Iz identitet z dvojnim kotom imamo,

cos 2A = 2 cos²A – 1

Zdaj zamenjajte A z θ/2 na obeh straneh

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Zato dokazano.

Vadbene naloge s formulami Sin Cos v trigonometriji s primeri

1. Glede na sin⁡ θ = 3/5. Poiščite cos θ.

2. Dokažite istovetnost sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A za A=45∘.

3. Če je cos⁡ α = 5/13. Poiščite greh (2a).

niz int

4. Rešite za θ, če je sin θ = cos(90∘−θ).

5. Če je tan ⁡β = 2. Poiščite sin ⁡β in cos⁡ β z uporabo pitagorejske identitete.

Pogosta vprašanja o formulah Sin Cos v trigonometriji s primeri

Katere so osnovne formule sinusa in kosinusa v trigonometriji?

Osnovni formuli za sinus in kosinus sta sin ⁡θ = Nasprotje/hipotenuza in cos ⁡θ = Sosednji/hipotenuza, kjer je θ kot v pravokotnem trikotniku.

Kako najdete sinus in kosinus posebnih kotov?

Posebni koti, kot so 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ in 90∘, imajo specifične sinusne in kosinusne vrednosti, ki si jih je mogoče zapomniti s pomočjo trigonometričnih tabel ali konceptov enotskega kroga.

Kakšno je razmerje med funkcijama sinus in kosinus?

Funkciji sinus in kosinus sta povezani z identiteto sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) in pitagorejsko identiteto brez⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Kako uporabljate formule dvojnega kota za sinus in kosinus?

Formule dvojnega kota so sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ in cos⁡(2θ)=cos⁡ ² θ – greh⁡ ² jaz. Uporabljajo se za izražanje trigonometričnih funkcij dvojnih kotov z enojnimi koti.

Kako najdete vrednosti sinusa in kosinusa za kote v različnih kvadrantih?

Predznaki sinusne in kosinusne funkcije so odvisni od kvadranta, v katerem leži kot:

• Prvi kvadrant: sin⁡ θ> 0 in cos θ> 0
• Drugi kvadrant: sin ⁡θ> 0 in cos θ <0
• Tretji kvadrant: sin⁡θ <0 in cosθ < 0
• Četrti kvadrant: sin⁡θ 0