Poligon v matematiki je dvodimenzionalna oblika, sestavljena iz ravnih črt, ki tvorijo zaprto mnogokotno verigo. Beseda mnogokotnik izvira iz besed poli in gon, kar pomeni veliko in strani.

Poligoni so lahko preprosti ali sekajo sami sebe. Preprost mnogokotnik se ne seka samega sebe, razen na skupnih končnih točkah zaporednih segmentov. Poligonalna veriga, ki prečka sama sebe, ustvari poligon, ki se seka sam s seboj. Poligone lahko razvrstimo tudi kot konkavne ali konveksne.

V tem članku smo podrobno omenili poligone in njihove vrste, formule in primere.

Kazalo

sestra kat timpf

• Kaj so poligoni?
• Definicija poligona
• Poligonski grafikon na podlagi števila stranic
• Lastnosti poligonov
• Poligonske oblike
• Vrste poligonov
• Mnogokotniki na osnovi stranic
• Mnogokotniki na osnovi kotov
• Poligoni na podlagi meja
• Poligonske formule
• Območje mnogokotnikov
• Obseg mnogokotnikov
• Koti v mnogokotnikih
• pogosta vprašanja

Kaj so poligoni?

Izraz 'poligon' izvira iz grške besede polugonos, kjer 'poli' pomeni 'mnogo', 'gon' pa 'kot' vrstice. Za sestavo zaprte oblike so potrebni najmanj tričrtni segmenti. Splošno je znan kot trikotnik ali 3-kotnik. Splošni izraz za n-stranski mnogokotnik je n-kotnik.

Definicija poligona

Poligoni so ravne, dvodimenzionalne figure, sestavljene iz ravnih stranic, ki tvorijo popolnoma zaprto obliko. V geometriji je poligon ravna figura, sestavljena iz odsekov črt, povezanih v zaprto poligonalno verigo. Sestavljeni so iz ravnih stranic, ne krivulj, in imajo lahko poljubno število stranic. Nekateri poligoni različnih vrst so: odprti, samo mejni, zaprti in sekajoči se sami s seboj.

V geometriji je poligon definiran kot zaprta, dvodimenzionalna oblika, ki leži ravno v ravnini in je obdana z ravnimi stranicami.

Mnogokotniku manjkajo ukrivljene stranice, njegovi robovi pa so ravni segmenti, ki določajo njegovo mejo. Stičišča teh robov imenujemo oglišča ali vogali.

Primeri poligonov

Z vidika matematike so trikotniki, šesterokotniki, peterokotniki in štirikotniki primeri mnogokotnikov. Primeri Polygona iz resničnega življenja so pravokotni zaslon na vašem prenosniku, televiziji, mobilnem telefonu; pravokotno nogometno igrišče ali igrišče, Bermudski trikotnik in egiptovske piramide trikotne oblike.

Deli mnogokotnika

Poligon sestavljajo tri temeljne komponente:

• Strani mnogokotnika: Stranice poligonov so meje poligonov, ki določajo zaprto območje.
• Oglišča: Točka, na kateri se srečata dve strani, je znana kot oglišče.
• Koti: Mnogokotnik vsebuje notranje in zunanje kote. Notranji kot se oblikuje v zaprtem območju mnogokotnika s presečiščem njegovih stranic.

Poligonski grafikon na podlagi števila stranic

Nomenklatura mnogokotnika je določena na podlagi števila stranic, ki jih imajo. Označen je kot n-kotniki, kjer 'n' pomeni število stranic. Poligone na splošno prepoznamo po številu robov. Na primer, mnogokotnik s petimi stranicami se imenuje 5-kotnik, medtem ko se mnogokotnik z desetimi stranicami imenuje 10-kotnik.

Lastnosti poligonov

Lastnosti poligonov jih zlahka prepoznajo. Naslednje lastnosti prispevajo k preprostemu poznavanju poligonov:

• Poligon je zaprta oblika brez odprtih koncev. Izhodišče in končna točka morata biti enaka.
• Ima ploskovno obliko, sestavljeno iz črt ali ravnih črt, ki skupaj oblikujejo lik.
• Kot dvodimenzionalna entiteta poligon obstaja samo v dimenzijah dolžine in širine, brez globine ali višine.
• Ima tri ali več stranic, da tvori poligon.
• Koti v poligonu so lahko različni. Prikazuje posebno konfiguracijo.
• Dolžine stranic mnogokotnika so lahko različne; lahko je ali ne mora biti enak v poligonu.

Poligonske oblike

Poligon je ravna, dvodimenzionalna oblika, za katero so značilne ravne stranice, povezane v zaprto sliko. Primeri oblik mnogokotnikov vključujejo:

• Trikotnik
• Štirikotnik
• Pentagon
• Šesterokotnik
• Heptagon
• Osmerokotnik
• Nonagon
• Dekaton

Trikotnik

• Ima 3 stranice in 3 oglišča.
• Nima diagonal.
• Vsota notranjosti je 180°.

Štirikotnik

• Ima 4 stranice in 4 oglišča.
• Ima 2 diagonali.
• Vsota notranjih kotov je 360°.

Pentagon

• Ima 5 strani in 5 oglišč.
• Ima 5 diagonal.
• Vsota notranjih kotov je 540°.

Šesterokotnik

• Ima 6 strani in 6 oglišč.
• Ima 9 diagonal.
• Vsota notranjih kotov je 720°.

Heptagon

• Ima 7 strani in 7 oglišč.
• Ima 14 diagonal.
• Vsota notranjih kotov je 900°.

Osmerokotnik

• Ima 8 strani in 8 oglišč.
• Ima 20 diagonal.
• Vsota notranjih kotov je 1080°.

Nonagon

• Ima 9 strani in 9 oglišč.
• Ima 27 diagonal.
• Vsota notranjih kotov je 1260°.

Dekaton

• Ima 10 strani in 10 oglišč.
• Ima 35 diagonal.
• Vsota notranjih kotov je 1440°.

Vrste poligonov

Glede na stranice in kote lahko poligone razvrstimo v različne vrste na različnih osnovah, kot so:

• Na podlagi stranic
• Na podlagi kotov
• Na podlagi meje

Mnogokotniki na osnovi stranic

Poligone lahko glede na značilnosti njihovih stranic razvrstimo v dve glavni vrsti:

• Pravilni mnogokotnik
• Nepravilni mnogokotnik

Pravilni mnogokotnik

Pravilni mnogokotnik se razlikuje po tem, da ima vse stranice enako dolge in vse notranje kote enakih mer. Lahko je tako enakostranična kot enakokotna. Primeri pravilnih mnogokotnikov vključujejo trikotnik, štirikotnik, peterokotnik in šestkotnik.

Pravilni mnogokotnik

Nepravilni mnogokotnik

Nepravilni mnogokotnik ima neenako dolge stranice in kote različnih mer. Vsak poligon, ki ne ustreza merilom pravilnega mnogokotnika, je razvrščen kot nepravilen. Pogosti primeri nepravilnega mnogokotnika so trikotnik v skali, štirikotniki, kot so pravokotnik, trapez ali zmaj, pa tudi strukture nepravilnih peterokotnikov in šesterokotnikov.

Nepravilni mnogokotnik

Mnogokotniki na osnovi kotov

Poligone lahko glede na naravo njihovih kotov razvrstimo v dve glavni kategoriji:

• Konveksni mnogokotnik
• Konkavni mnogokotnik

Konveksni mnogokotnik

Konveksni mnogokotnik nima notranjega kota, ki bi bil večji od 180°. Konveksni poligoni imajo lahko tri ali več stranic. Pri konveksnih mnogokotnikih ležijo vse diagonale znotraj zaprtega lika. Pogosti primeri konveksnih mnogokotnikov so trikotniki, vsi konveksni štirikotniki, pa tudi pravilni peterokotniki in šesterokotniki

Konkavni mnogokotnik

Konkavni mnogokotnik ima vsaj en notranji kot, ki je refleksni kot in kaže navznoter. Konkavni poligoni imajo najmanj štiri stranice. Ta vrsta mnogokotnika ima vsaj en notranji kot, ki meri več kot 180°. Pri konkavnih mnogokotnikih nekatere diagonale segajo izven priloženega lika. Primeri konkavnih mnogokotnikov vključujejo puščice ali konice puščice v štirikotnikih, pa tudi nekatere nepravilne petkotnike in šestkotnike.

Razlika med konkavnimi in konveksnimi poligoni

Oglejmo si razliko med konveksnim in konkavnim poligonom v spodnji tabeli:

Poligoni na podlagi meja

Poligone je mogoče kategorizirati glede na naravo njihovih meja v dve primarni vrsti:

• Preprost mnogokotnik
• Kompleksni poligon

Preprost mnogokotnik

Za preprost poligon je značilna ena meja, ki se ne seka. Z drugimi besedami, ne prečka samega sebe in je sestavljen iz ene meje.

Preprosti poligoni

Kompleksni poligon

Po drugi strani je kompleksni mnogokotnik definiran s samim presekom. Sestavljen je iz več kot ene meje znotraj svoje strukture. Pri zapletenih poligonih se meja seka, kar ustvarja več različnih regij znotraj poligona.

Kompleksni poligon

Preberite več o Vrste poligonov.

Poligonske formule

V geometriji obstaja več formul, povezanih s poligoni. Nekateri najpogosteje uporabljeni vključujejo:

• Formula za območje
• Formula perimetra
• Število diagonal

Spodaj so obravnavane vse formule, povezane z različnimi poligoni:

Območje mnogokotnikov

Območje mnogokotnika predstavlja skupni prostor, ki ga zaseda v dvodimenzionalni ravnini, je določen s posebnimi formulami, ki temeljijo na številu stranic in klasifikaciji poligona. Formule za območje so naslednje:

Obseg mnogokotnikov

Obod dvodimenzionalne oblike predstavlja celotno dolžino njene zunanje meje. Za poligone se obseg izračuna na naslednji način:

Formula diagonale mnogokotnika

Diagonala mnogokotnika je odsek črte, ki ga tvori povezava dveh vozlišč, ki nista sosednji.

Število diagonal v mnogokotniku = n(n−3)/2,

Pri čemer 'n' predstavlja število stranic, ki jih ima mnogokotnik.

Preberite več o Formula diagonale mnogokotnika .

Koti v mnogokotnikih

V geometriji se koti v poligonih nanašajo na kote, ki jih tvorijo stranice mnogokotnika, tako v notranjosti kot na zunanjosti mnogokotnika. Tako sta lahko v mnogokotniku oba kota, tj.

• Notranji koti
• Zunanji koti

Oglejmo si podrobno formulo za te kote:

Formula notranjega kota mnogokotnikov

Notranji koti mnogokotnika so tisti, ki nastanejo med njegovimi sosednjimi stranicami in so v primeru pravilnega mnogokotnika enaki. Število notranjih kotov ustreza številu strani v mnogokotniku.

Vsota notranjih kotov 'S' v mnogokotniku z 'n' stranicami se izračuna kot

S = (n – 2) × 180°

Pri čemer 'n' predstavlja število strani.

Formula zunanjega kota mnogokotnikov

Vsak zunanji kot pravilnega mnogokotnika se oblikuje tako, da se ena od njegovih strani podaljša (v smeri urinega kazalca ali nasprotni) in se izmeri kot med tem podaljškom in sosednjo stranjo. V pravilnem mnogokotniku so vsi zunanji koti enaki

Skupna vsota zunanjih kotov v katerem koli poligonu je določena na 360°

zato

Vsak zunanji kot je podan s 360°/n

Kjer je 'n' število strani.

Vsota notranjih in ustreznih zunanjih kotov pri katerem koli oglišču v mnogokotniku je vedno 180 stopinj, kar izraža dopolnilno razmerje:

Notranji kot + Zunanji kot = 180°

Zunanji kot = 180° – Notranji kot

Zaključek

• Poligon je zaprta figura, omejena s tremi ali več črtami
• Vsota notranjih kotov: Vsota vseh notranjih kotov v n-stranem mnogokotniku je podana s formulo (n–2)×180°.
• Število diagonal: Za mnogokotnik z n stranicami se število diagonal izračuna po formuli n(n–3)/2.
• Trikotniki, sestavljeni iz diagonal: Število trikotnikov, ki nastanejo s spajanjem diagonal iz enega vogala mnogokotnika, je n–2.
• Notranji kot pravilnega mnogokotnika: Mera vsakega notranjega kota v n-stranem pravilnem mnogokotniku je {(n–2)×180°}/n.
• Zunanji kot pravilnega mnogokotnika: Mera vsakega zunanjega kota v n-stranem pravilnem mnogokotniku je 360°/n.

Tudi Preberite

• kvadrat
• Paralelogram
• Pravokotnik

Rešeni primeri o mnogokotniku pri matematiki

Primer 1: Razmislite o štirikotniku s štirimi stranicami. Poiščite vsoto vseh njegovih notranjih kotov štirikotnika.

enako metoda v Javi

rešitev:

Formula za vsoto notranjih kotov v n-stranem pravilnem mnogokotniku = (n − 2) × 180°

Vsota vseh notranjih kotov štirikotnika = (4 – 2) × 180°

Vsota vseh notranjih kotov štirikotnika = 2 × 180°

Vsota vseh notranjih kotov štirikotnika = 360°

Zato je vsota vseh notranjih kotov štirikotnika 360°.

Primer 2: Razmislite o pravilnem mnogokotniku z danim razmerjem zunanjih in notranjih kotov 7:3. Določite vrsto mnogokotnika.

rešitev:

Razmerje zunanjega in notranjega kota je 7:3.

Predpostavimo, da sta zunanji in notranji kot mnogokotnika 7x in 3x.

Vsota zunanjih in notranjih kotov katerega koli mnogokotnika je 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Zunanji kot = 18°

Število stranic = 360°/zunanji kot

= 360°/18°

= 20

Zato je dani mnogokotnik ikozagon, saj ima 20 stranic.

Primer 3: Vsak zunanji kot mnogokotnika meri 90 stopinj, določite vrsto mnogokotnika?

rešitev:

Po formuli je vsak zunanji kot = 360°/n

Tukaj je n=število strani.

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

Zato je obravnavani mnogokotnik štirikotnik, saj ima štiri stranice.

Primer 4: Stranice so 10 m, 10 m, 8 m, 8 m, 5 m, 5 m, 9 m, 9 m. Koliko metrov vrvi bo potrebnih za Perimeter?

rešitev:

Da bi našli dolžino vrvi, ki je potrebna za obod, moramo sešteti dolžine vseh strani:

Obseg = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

Obseg = 64 m.

Skupaj bo torej za Obod potrebnih 64 metrov vrvi.

Vprašanja za vajo o poligonih v geometriji

Sledi nekaj praktičnih vprašanj, ki temeljijo na formuli mnogokotnikov:

Q1. Če ima en kot peterokotnika 140°, določi velikost največjega kota, če so preostali koti v razmerju 1:2:3:4.

Q2. Če je vsota notranjih kotov mnogokotnika 160°, poiščite število stranic v mnogokotniku.

Q3. Število stranic dveh pravilnih mnogokotnikov je v razmerju 2:3, razmerje med njunima notranjima kotoma pa je 4:5. Poiščite ustrezna števila stranic teh mnogokotnikov.

Q4. Določite skupno vsoto kotov v sedmerokotniku.

V5. Izračunajte vsoto zunanjih kotov v peterokotniku.

V6. Koliko stranic ima šesterokotnik?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

V7. Kaj od naštetega ni pravilni mnogokotnik?

1. Trikotnik
2. kvadrat
3. Pentagon
4. Paralelogram

Pogosta vprašanja o poligonih v matematiki

Kaj je poligon v matematiki?

V matematiki se mnogokotnik nanaša na zaprto dvodimenzionalno figuro, ki jo tvori povezava treh ali več ravnih črt. Izraz mnogokotnik izhaja iz grškega jezika, pri čemer poligon pomeni veliko, gon pa kot.

Kateri je najmanjši mnogokotnik?

Najmanjši oblikovan mnogokotnik je trikotnik s tremi stranicami.

Kaj je 20-gon?

20-kotnik je v geometriji dvajsetstranski mnogokotnik.

Kolikšna je skupna vsota zunanjih kotov mnogokotnika?

Vsota zunanjih kotov mnogokotnika je 360°.

Ali je krog mogoče razvrstiti kot mnogokotnik?

Poligon je zaprta oblika, sestavljena iz ravnih segmentov. Krog je zaprta figura, vendar je sestavljena iz krivulje. Torej krog ni mnogokotnik.

Kaj je vsota notranjih kotov mnogokotnika?

Vsota notranjih kotov mnogokotnika je podana z (n–2)×180°, kjer je n število stranic v mnogokotniku.