INVERZNA MATRIKA

The inverzna matrika je matrika, ki pri množenju z izvirno matriko povzroči identitetno matriko. Za vsako matriko A je njen inverz označen kot A^-1.

Naučimo se podrobneje o inverzni matriki, vključno z njeno definicijo, formulo, metodami, kako najti inverzno matriko, in primeri.

Kazalo

Inverzna matrika
Izrazi, povezani z inverzno matriko
Kako najti inverzno matriko?
Inverzna matrična formula
Metoda inverzne matrike
Primer obratne matrike 2×2
Determinanta inverzne matrike
Lastnosti inverzne matrike
Matrični inverzni rešeni primeri

Inverzna matrika je druga matrika, ki, ko jo pomnožimo z dano matriko, da multiplikativna identiteta .

Za matriko A in njen inverz A^-1, velja lastnost identitete.

A.A ^-1 = A ^-1 A = jaz

kje jaz je identitetna matrika.

Spodaj navedena terminologija vam lahko pomaga jasneje in lažje razumeti obrat matrike.

Pogoji	Opredelitev	Formula/proces	Primer z matriko A
Minor	Minor elementa v matriki je determinanta matrike, ki nastane z odstranitvijo vrstice in stolpca tega elementa.	Za element a_ij, odstranite i-to vrstico in j-ti stolpec, da oblikujete novo matriko in poiščete njeno determinanto.	Manjša od a _enajst je determinanta A = egin{bmatrix}5 & 6 6 & 7end{bmatrix}
Kofaktor	Kofaktor elementa je minor tega elementa, pomnožen s (-1) ^i+j , kjer sta i in j indeksa vrstic in stolpcev elementa.	Kofaktor a_ij= (-1)^i+jManjša od a_ij	Kofaktor od a _enajst = (-1) ¹⁺¹ × Manjša od a _enajst = manjša od a _enajst
Determinanta	Determinanta matrike se izračuna kot vsota zmnožkov elementov katere koli vrstice ali stolpca in njihovih ustreznih kofaktorjev.	Za vrstico (ali stolpec) seštejte produkt vsakega elementa in njegovega kofaktorja.	Determinanta A = a _enajst × Kofaktor od a _enajst + a ₁₂ × Kofaktor od a ₁₂ + a ₁₃ × Kofaktor od a ₁₃ .
namestnik	Adjunkt matrike je transpozicija njene kofaktorske matrike.	Ustvarite matriko kofaktorjev za vsak element izvirne matrike in jo nato transponirajte.	Adjunt A je transpozicija matrike, ki jo tvorijo kofaktorji vseh elementov v A.

Singularna matrica

Matriko, katere vrednost determinante je nič, imenujemo singularna matrika, tj. vsako matriko A imenujemo singularna matrika, če je |A| = 0. Inverz singularne matrike ne obstaja.

Nesingularna matrika

Matrika, katere vrednost determinante je različna od nič, se imenuje nesingularna matrika, tj. vsaka matrika A se imenuje nesingularna matrika, če je |A| ≠ 0. Inverz nesingularne matrike obstaja.

Matrica identitete

Kvadratno matriko, v kateri so vsi elementi enaki nič, razen glavnih diagonalnih elementov, imenujemo identitetna matrika. Predstavljena je z I. Je identitetni element matrike kot za vsako matriko A,

A×I = A

Primer identitetne matrike je,

jaz_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

To je identitetna matrika reda 3×3.

Preberi več :

Matrica identitete

Kako najti inverzno matriko?

Obstajata dva načina za iskanje inverzne matrike v matematiki:

Uporaba matrične formule
Uporaba inverznih matričnih metod

Inverzna matrična formula

Inverzna matrika A, to je A^-1se izračuna z inverzno formulo matrike, ki vključuje deljenje adjunkta matrike z njeno determinanto.

Inverzna matrična formula

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

kje,

adj A = adjunt matrike A, in
|A| = determinanta matrike A.

Opomba : Ta formula deluje samo na kvadratnih matricah.

Če želite poiskati obrat matrike z inverzno formulo matrike, sledite tem korakom.

Korak 1: Določite minore vseh elementov A.

2. korak: Nato izračunajte kofaktorje vseh elementov in sestavite matriko kofaktorjev tako, da zamenjate elemente A z njihovimi kofaktorji.

3. korak: Vzemite transpozicijo A-jeve kofaktorske matrike, da poiščete njen adjuint (zapisan kot adj A).

4. korak: Pomnožite adj A z recipročno vrednostjo determinante A.

Zdaj, za vsako nesingularno kvadratno matriko A,

A ^-1 = 1 / |A| × Adj (A)

primer: Poiščite obrat matrikeA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]z uporabo formule.

Imamo,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Poiščite adjuint matrike A tako, da izračunate kofaktorje vsakega elementa in nato dobite transpozicijo matrike kofaktorjev.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Poiščite vrednost determinante matrike.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |A| = 49

Inverzna matrika je torej,

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Metoda inverzne matrike

Za iskanje inverzne matrike obstajata dve metodi inverzne matrike:

Determinantna metoda
Elementarna transformacijska metoda

1. metoda: determinantna metoda

Najpomembnejša metoda za iskanje inverzne matrike je uporaba determinante.

vadnica za reakcijo js

Inverzno matriko najdemo tudi z naslednjo enačbo:

A ^-1 = adj(A) / det(A)

kje,

adj(A) je adjungit matrike A in
to (A) je determinanta matrike A.

Za iskanje adjunkta matrike A je potrebna kofaktorska matrika matrike A. Potem je adjuint (A) transpozicija kofaktorske matrike A, tj.

adj (A) = [C _ij ] ^T

Za kofaktor matrike, tj. C_ij, lahko uporabimo naslednjo formulo:

C _ij = (-1) ^i+j to (M _ij )

kje M _ij se nanaša na (i, j) ^th manjša matrica ko jaz ^th vrsta in j ^th stolpec je odstranjen.

Metoda 2: Metoda osnovne transformacije

Sledite spodnjim korakom, da poiščete inverzno matriko z metodo elementarne transformacije.

Korak 1 : Dano matriko zapišite kot A = IA, kjer je I identitetna matrika istega reda kot A.

2. korak: Uporabite zaporedje operacij vrstic ali stolpcev, dokler ne dosežete identitetne matrike na LHS, prav tako uporabite podobne osnovne operacije na RHS, tako da dobimo I = BA. Tako je matrika B na RHS inverzna matriki A.

3. korak: Prepričajte se, da med izvajanjem osnovnih operacij uporabljamo operacijo vrstic ali operacij stolpcev.

Z lahkoto najdemo inverz matrike 2 × 2 z uporabo elementarne operacije. Razumejmo to s pomočjo primera.

primer: Poiščite obratno vrednost 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}z uporabo elementarne operacije.

rešitev:

podano:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Zdaj, R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Tako je obratna matrika A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} je

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Primer obratne matrike 2×2

Inverzno matriko 2 × 2 je mogoče izračunati tudi z uporabo bližnjične metode, poleg zgoraj obravnavane metode. Oglejmo si primer za razumevanje metode bližnjice za izračun inverzne matrike 2 × 2.

Za dano matriko A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Vemo, |A| = (oglas – bc)

in adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

nato uporabi formulo za obratno

A^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Tako se izračuna inverzna matrika 2 × 2.

Primer obratne matrike 3X3

Vzemimo katero koli 3×3 matriko A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

Inverzna matrika 3 × 3 se izračuna z uporabo inverzna matrična formula ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Determinanta inverzne matrike

Determinanta inverzne matrike je recipročna vrednost determinante izvirne matrike. tj.

to (A ^-1 ) = 1 / it(A)

Dokaz zgornje izjave je obravnavan spodaj:

det(A × B) = det (A) × det(B) (že vem)

⇒ A × A^-1= I (po lastnosti inverzne matrike)

⇒ it(A × A^-1) = it(I)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ ampak, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ to (A^-1) = 1 / it(A)

Torej, dokazano.

Lastnosti inverzne matrike

Inverzna matrika ima naslednje lastnosti:

Za vsako nesingularno matriko A velja (A ^-1 ) ^-1 = A
Za kateri koli dve nesingularni matriki A in B velja (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
Inverz nesingularne matrike obstaja, za singularno matriko pa inverz ne obstaja.
Za vsak nesingularen A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Sorodno:

Obrnljiva matrica
Matrike: lastnosti in formule
Matematične operacije na matricah
Determinanta matrike
Kako najti determinanto matrike?

Matrični inverzni rešeni primeri

Rešimo nekaj primerov vprašanj o inverzni matriki.

Primer 1: Poiščite obrat matrikeold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}z uporabo formule.

rešitev:

Imamo,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Poiščite adjuint matrike A tako, da izračunate kofaktorje vsakega elementa in nato dobite transpozicijo matrike kofaktorjev.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Poiščite vrednost determinante matrike.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

Inverzna matrika je torej,

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

Primer 2: Poiščite inverz matrike A=krepko{ z uporabo formule.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

rešitev:

Imamo,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Poiščite adjuint matrike A tako, da izračunate kofaktorje vsakega elementa in nato pridobite transpozicijo matrike kofaktorjev.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Poiščite vrednost determinante matrike.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

Inverzna matrika je torej,

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

Primer 3: Poiščite inverz matrike A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } z uporabo formule.

rešitev:

Imamo,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Poiščite adjuint matrike A tako, da izračunate kofaktorje vsakega elementa in nato dobite transpozicijo matrike kofaktorjev.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Poiščite vrednost determinante matrike.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

Inverzna matrika je torej,

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Primer 4: Poiščite inverz matrike A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } z uporabo formule.

rešitev:

Imamo,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Poiščite adjuint matrike A tako, da izračunate kofaktorje vsakega elementa in nato dobite transpozicijo matrike kofaktorjev.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Poiščite vrednost determinante matrike.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20
java in swing

Inverzna matrika je torej,

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Pogosto zastavljena vprašanja o inverzni matriki

Kaj je inverzna matrika?

Recipročno vrednost matrike imenujemo obratna vrednost matrike. Obrnljive so samo kvadratne matrike z determinantami, ki niso nič. Recimo, da je za katero koli kvadratno matriko A z inverzno matriko B njihov produkt vedno identitetna matrika (I) istega reda.

[A]×[B] = [I]

Kaj je Matrix?

Matrika je pravokotna matrika števil, ki so razdeljena na določeno število vrstic in stolpcev. Število vrstic in stolpcev v matriki se imenuje njena dimenzija ali vrstni red.

Kaj je inverzna matrika 2×2?

Za katero koli matriko A ali vrstni red 3 × 3 njeno inverzno najdemo s formulo,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Kaj je inverzna matrika 3×3?

Inverz vsake kvadratne matrike 3 × 3 (recimo A) je matrika istega reda, označena z A^-1tako, da je njihov produkt identitetna matrika reda 3×3.

[A] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [jaz] _3×3

Ali sta adjuint in inverz matrike enaka?

Ne, adjunkt matrike in inverz matrike nista enaka.

Kako uporabljati inverzno matriko?

Inverz matrike se uporablja za reševanje algebraičnih izrazov v matrični obliki. Če želite na primer rešiti AX = B, kjer je A matrika koeficientov, X spremenljiva matrika in B konstantna matrika. Tu se matrika spremenljivke najde z inverzno operacijo kot,

X = A ^-1 B

Kaj so invertibilne matrike?

Matrike, katerih inverz obstaja, imenujemo invertibilne. Invertibilne matrike so matrike, ki imajo determinanto, različno od nič.

Zakaj inverzna matrika 2 × 3 ne obstaja?

Obstaja inverz samo kvadratne matrike. Ker matrika 2 × 3 ni kvadratna matrika, temveč pravokotna matrika, njen inverz ne obstaja.

Podobno tudi matrika 2 × 1 ni kvadratna matrika, temveč pravokotna matrika, zato njena inverzna matrika ne obstaja.

Kaj je inverzna matrika identitete?

Inverzna matrika identitete je matrika identitete sama. To je zato, ker identitetna matrika, označena kot jaz (oz jaz _n za an n × n matrika), je edina matrika, pri kateri je vsak element vzdolž glavne diagonale 1, vsi drugi elementi pa 0. Ko identitetno matriko pomnožimo samo s seboj (ali njen inverz), ponovno dobimo identitetno matriko.

Inverzna matrika