Poznavanje matrik je potrebno za različne veje matematike. Matrike so eno najmočnejših orodij v matematiki. Iz matrik prihajajo determinante. Sedaj vidimo eno od lastnosti determinante v tem članku.

V tem članku vidimo, kako najti Adjunt matrike. Da bi vedeli o Adjunt matrike moramo vedeti o Kofaktor matrice.

Kazalo

• Adjunt definicije matrike
• Minor matrice
• Kofaktor matrike
• Transponiranje matrice
• Kako najti adjuint matrike?
• Lastnosti adjuinta matrike
• Iskanje inverza z uporabo adjuinta matrike

Adjunt definicije matrike

Adjunkt matrike je transponirana matrika kofaktorja dane matrike. Za katero koli kvadratno matriko A izračunamo njen adj. matriko moramo najprej izračunati kofaktorsko matriko dane matrike in nato poiskati njeno determinanto. Za izračun Ajoint matrike sledite naslednjim korakom:

Korak 1 : Izračunajte minor vseh elementov dane matrike A.

2. korak: Poiščite kofaktorsko matriko C z uporabo pomornih elementov.

3. korak: Poiščite adjuintno matriko A tako, da vzamete transpozicijo kofaktorske matrike C.

Za poljubno 2×2 matriko A je slika njenega adjuinta prikazana spodaj,

Zdaj pa se naučimo o minorju, kofaktorju in transponiranju matrike.

Minor matrice

Minor matrike je matrika ali element, ki se izračuna tako, da se skrijejo vrstica in stolpec matrike elementa, za katerega se izračuna pomor. Za matriko 2 × 2 je pomožni element element, ki je prikazan tako, da se skrijeta vrstica in stolpec elementa, za katerega je izračunan manjši element.

Več o, Minori in kofaktorji

Kofaktor matrike

Kofaktor je število, ki ga dobimo, ko odstranimo stolpec in vrstico določenega elementa v matriki. To pomeni, da vzamete en element iz matrike in izbrišete celotno vrstico in stolpec tega elementa iz matrike, nato pa kateri elementi so prisotni v tej matriki, kar se imenuje kofaktor.

Kako najti kofaktor matrike

Za iskanje kofaktorja elementa matrike lahko uporabimo naslednje korake:

Korak 1: Izbrišite celotno vrstico in stolpec, ki vsebuje obravnavani element.

2. korak: Vzemite preostale elemente, kot so v matriki po 1. koraku.

3. korak: Poiščite determinanto matrike, oblikovane v koraku 2, ki se imenuje manjše elementa.

4. korak: Zdaj uporabite formulo za kofaktor elementa a_ijtj. (-1)^i+jM_ijkjer je Mij minor elementa v i^thvrsta in j^thstolpec, ki je že izračunan v 3. koraku.

5. korak: Rezultat 4. koraka je kofaktor obravnavanega elementa in podobno lahko izračunamo kofaktor vsakega elementa matrike, da poiščemo matriko kofaktorja dane matrike.

Primer: Poiščite kofaktorsko matriko old{A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

rešitev:

Dana matrika jeA =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}

Poiščimo kofaktor elementa v prvi vrstici tretjega stolpca, tj. 3.

Korak 1: Izbrišite celotno vrstico in stolpec, ki vsebuje obravnavani element.

tj. egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix}

2. korak: Vzemite preostale elemente, kot so v matriki po 1. koraku.

tj.egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix}

3. korak: Poiščite determinanto matrike, oblikovane v koraku 2, ki se imenuje minor elementa.

Minor 3 inA = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32

4. korak: Zdaj uporabite formulo za kofaktor elementa a_ijtj. (-1)^i+jM_ij

Kofaktor elementa 3 = (-1)¹⁺³(32) = 32

5. korak: Nadaljujte postopek za vse elemente, da poiščete matriko kofaktorjev A,

tj. kofaktorska matrika A =egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}

Transponiranje matrice

Transponiranje matrike je matrika, ki nastane z medsebojnim spreminjanjem vrstic in stolpcev matrike. Transpozicija matrike A je označena z A^Tali A^'. Če je vrstni red matrike A m×n, potem je vrstni red transponirane matrike n×m.

Več o, Transponiranje matrice

Kako najti adjuint matrike?

Da bi našli adjuint matrike, moramo najprej poiskati kofaktor vsakega elementa in nato še 2 koraka. glejte spodnje korake,

Korak 1: Poiščite kofaktor vsakega elementa v matriki.

2. korak: Ustvarite drugo matriko s kofaktorji kot njenimi elementi.

3. korak: Zdaj poiščite transponacijo matrike, ki izhaja iz 2. koraka.

Kako najti adjuint matrike 2×2

Oglejmo si primer za razumevanje metode iskanja adjunkta matrike 2×2.

Primer: Poiščite adjuint od old{ ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}} .

rešitev:

Dana matrika je ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}

Korak 1: Poiščite kofaktor vsakega elementa.

Kofaktor elementa pri A[1,1]: 5

Kofaktor elementa pri A[1,2]: -4

Kofaktor elementa pri A[2,1]: -3

Kofaktor elementa pri A[2,2]: 2

2. korak: Ustvarite matriko iz kofaktorjev

tj.old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}}

3. korak: Prenos kofaktorske matrike,

old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}

Kako najti adjunt matrike 3×3

Vzemimo primer matrike 3 × 3, da razumemo, kako izračunati adjuint te matrike.

Primer: Poiščite adjuint od old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

rešitev:

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Korak 1: Poiščite kofaktor vsakega elementa.

C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3

2. korak: Ustvari matriko iz kofaktorjev

kako izbrati stolpce iz različnih tabel v sql

C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix}

3. korak: Prenesite matriko C na adjunkt dane matrike.

operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix}

Ki je pridružena dani matriki A.

Lastnosti adjuinta matrike

Adjunt matrike ima različne lastnosti, nekatere od teh lastnosti so naslednje:

• A(Adj A) = (Adj A)A = |A| jaz_n
• Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1(Prilag. A)

Iskanje inverza z uporabo adjuinta matrike

Iskanje inverza je ena od pomembnih aplikacij adjuinta matrike. Za iskanje inverzne matrike z uporabo Adjoint lahko uporabimo naslednje korake:

Korak 1: Poišči determinanta matrike .

2. korak: Če je determinanta nič, potem matrika ni invertibilna in ne obstaja inverz.

3. korak: Če determinanta ni nič, poiščite adjunkt matrike.

4. korak: Adjunkt matrike delite z determinanto matrike.

5. korak: Rezultat 4. koraka je obratna matrika.

Primer: Poiščite obratno vrednost old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

rešitev:

Dana matrikaA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

|A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)

⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)

⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0

Torej inverz A ne obstaja.

Več o, Inverzna matrika

Rešeni primeri adjunga matrike

Primer 1: Poiščite adjuint dane matrike A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} .

rešitev:

1. korak: Poiščite kofaktor vsakega elementa

Da bi našli kofaktor vsakega elementa, moramo izbrisati vrstico in stolpec vsakega elementa enega za drugim in po brisanju vzeti trenutne elemente.

Kofaktor elementov pri A[0,0] = 1: +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4

Kofaktor elementov pri A[0,1] = 2: -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33

Kofaktor elementov pri A[0,2] = 3: +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32

Kofaktor elementov pri A[2,0] = 7: -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6

Kofaktor elementov pri A[2,1] = 4: +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9

Kofaktor elementov pri A[2,2] = 5: -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4

Kofaktor elementov pri A[3,0] = 6: +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2

Kofaktor elementov pri A[3,1] = 8: -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16

Kofaktor elementov pri A[3,2] = 9: +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10

Matrika izgleda s kofaktorji:

A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix}

Končna matrika kofaktorjev:

A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix}

2. korak: Poiščite transponacijo matrike, pridobljene v 1. koraku

adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix}

To je Adjunt matrike.

Primer 2: Poiščite adjuint dane matrike A =egin{bmatrix} -1 & -2 & -2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 end{bmatrix} .

rešitev:

1. korak: Poiščite kofaktor vsakega elementa

Da bi našli kofaktor vsakega elementa, moramo izbrisati vrstico in stolpec vsakega elementa enega za drugim in po brisanju vzeti trenutne elemente.

Kofaktor elementa pri A[0,0] = -1 :+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3

Kofaktor elementov pri A[0,1] = -2 :-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6

Kofaktor elementov pri A[0,2] = -2 :+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6

Kofaktor elementov pri A[2,0] = 2:-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6

Kofaktor elementov pri A[2,1] = 1: +egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3

Kofaktor elementov pri A[2,2] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor elementov pri A[3,0] = 2:+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6

Kofaktor elementov pri A[3,1] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor elementov pri A[3,2] = 1:+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3

Končna matrika kofaktorjev:

A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix}

2. korak: Poiščite transponacijo matrike, pridobljene v 1. koraku

adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix}

To je Adjunt matrike.

Pogosta vprašanja o adjuintu matrike

Kaj je adjuint matrike?

Adjunkt kvadratne matrike je transpozicija matrike kofaktorjev izvirne matrike. Znana je tudi kot adjugatna matrika.

Kako se izračuna adjuint matrike?

Če želite izračunati adjunkt matrike, morate najti matriko kofaktorja dane matrike in jo nato transponirati.

Kaj je uporaba adjuinta matrike?

Ključna uporaba ali uporaba adjuinta matrike je iskanje inverza inverzibilnih matrik.

Kakšno je razmerje med inverzno matriko in njenim adjuintom?

Inverz matrike dobimo tako, da njen adjunt delimo z njeno determinanto. Če je A kvadratna matrika in je det(A) različen od nič, potem

A ^-1 = adj(A)/det(A)

Kaj je Adjugate Matrix?

Adjungirana matrika se imenuje tudi adjugatna matrika. Je transponacija kofaktorja dane matrike.

Kakšna je razlika med adjointom in transponiranjem matrike?

Adjunkt matrike je transpozicija matrike kofaktorjev, medtem ko transpozicijo matrike dobimo z zamenjavo njenih vrstic in stolpcev.

Ali je kvadratna matrika vedno obrnljiva?

Ne, kvadratne matrike niso vedno invertibilne. Kvadratna matrika je obrnljiva le, če ima determinanto, ki ni nič.

Ali je mogoče izračunati adjuint nekvadratne matrike?

Ne, adjunkt matrike je mogoče izračunati samo za kvadratno matriko zaradi njene definicije.