Inverzna matrika 3 × 3 je matrica ki, ko ga pomnožimo z izvirno matriko, da identitetna matrika kot izdelek. Inverzna matrika je temeljni vidik linearne algebre. Ta proces igra ključno vlogo pri reševanju sistemov linearnih enačb in različnih matematičnih aplikacijah. Za izračun inverza je treba izračunati adjungirano matriko, preveriti invertibilnost matrike s preučevanjem njene determinante (ki ne sme biti enaka nič) in uporabiti formulo za izpeljavo inverzne matrike.

Ta članek pokriva različne koncepte inverzne matrike 3 × 3 in kako poiskati inverzno matriko 3 × 3 z izračunom kofaktorjev, adjunktov in determinant matrike 3 × 3. Kasneje v tem članku boste našli tudi rešene primere za boljše razumevanje, na voljo pa so tudi praktična vprašanja, da preverite, kaj smo se iz tega naučili.

Kazalo

• Kaj je inverzna matrika 3 × 3?
• Kako najti inverzno matriko 3 × 3?
• Elementi, uporabljeni za iskanje inverzne matrike 3 × 3
• Inverzna formula matrike 3 × 3
• Iskanje inverzne matrike 3 × 3 z uporabo vrstičnih operacij

Kaj je inverzna matrika 3 × 3?

Inverzna matrika 3 × 3 je matrika, ki pri množenju z izvirno matriko povzroči identitetno matriko. Če želite najti inverz, lahko izračunate adjungirano matriko, ugotovite, ali je matrika obrnljiva (nesingularna), tako da preverite njeno determinanto (ki ne sme biti enaka nič), nato pa uporabite formulo A^-1= (adj A) / (det A). Inverzna matrika vam omogoča reševanje sistemov linearnih enačb in izvajanje različnih matematičnih operacij.

Kako najti inverzno matriko 3 × 3?

Sledite spodnjim korakom, da poiščete inverzno matriko 3 × 3:

Korak 1: Najprej preverite, ali je matriko mogoče obrniti. Če želite to narediti, izračunajte determinanto matrike. Če determinanta ni nič, nadaljujte z naslednjim korakom.

2. korak: Izračunajte determinanto manjših matrik 2 × 2 znotraj večje matrike.

3. korak: Ustvarite matriko kofaktorjev.

4. korak: Pridobite Adjugate ali Adjuint matrike tako, da izvedete transponacijo matrike kofaktorja.

5. korak: Na koncu razdelite vsak element v adjugatni matriki z determinanto prvotne matrike 3 krat 3.

kartica sim je vstavljena, vendar ni storitve android

Sorodno branje

• Kofaktor in minori matrike
• Transponiranje matrice

Elementi, uporabljeni za iskanje inverzne matrike 3 × 3

Za iskanje inverzne matrike 3 × 3 se uporabljata predvsem dva elementa:

• Adjunt matrike
• Determinanta matrike

Adjunt matrike 3 × 3

The adjunt matrike A najdemo tako, da vzamemo transpozicijo kofaktorske matrike A. Če želite podrobno izračunati adjunkt matrike, sledite priloženim navodilom.

Za matriko 3 × 3 je kofaktor katerega koli elementa determinanta matrike 2 × 2, oblikovane z odstranitvijo vrstice in stolpca, ki vsebuje ta element. Pri iskanju kofaktorjev izmenjujete pozitivne in negativne predznake.

Na primer, glede na matriko A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Manjša matrika je pridobljena na naslednji način:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Izračunajte determinante matrik 2 × 2, ki nastanejo z diagonalnim množenjem in odštevanjem produktov od leve proti desni, tj. Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Torej je kofaktorska matrika:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

S transponiranjem kofaktorske matrike dobimo adjungirano matriko.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinanta matrike 3 × 3

Z uporabo istega primera, kot smo ga razpravljali zgoraj, lahko izračunamo determinanto matrike A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Izračunajte determinanto matrike z uporabo prve vrstice,

Det A = 2(kofaktor 2) + 1(kofaktor 1) + 3(kofaktor 3)

Da je A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Da je A = 2 + 4 – 6

Da je A = 0

Lahko preverite Trik za izračun determinante matrike 3×3

Inverzna formula matrike 3 × 3

Če želite najti inverzno matriko A 3 × 3, lahko uporabite formulo A-1 = (adj A) / (det A), kjer je:

• adj A je adjungirana matrika A.
• det A je determinanta A.

Da A-1 obstaja, det A ne sme biti enak nič. To pomeni:

• A^-1obstaja, ko det A ni nič (A ni singularen).
• A^-1ne obstaja, ko je det A nič (A je ednina).

Tu so koraki za iskanje inverzne matrike 3 × 3 z uporabo istega primera:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Korak 1: Izračunajte adjungirano matriko (adj A).

Če želite najti adjungirano matriko, zamenjajte elemente A z njihovimi ustreznimi kofaktorji.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

2. korak: Poiščite determinanto A (det A).

Za izračun determinante A lahko uporabite formulo za matriko 3 × 3. V tem primeru je det A = -8.

3. korak: Uporabite formulo A^-1= (adj A) / (det A), da poiščemo inverzno matriko A^-1.

Vsak element adjungirane matrike razdelite z determinanto A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Pri poenostavitvi ulomkov,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Iskanje inverzne matrike 3 × 3 z uporabo vrstičnih operacij

Če želite najti inverzijo matrike 3 × 3, lahko sledite tem korakom:

Korak 1: Začnite z dano matriko A 3 × 3 in ustvarite identitetno matriko I enake velikosti, tako da postavite A na levo stran in I na desno stran razširjene matrike, ločeno s črto.

2. korak: Uporabite vrsto vrstičnih operacij za razširjeno matriko na levi strani, da jo pretvorite v identitetno matriko I. Matriko na desni strani črte, ki postane A^-1, je inverz originalne matrike A.

Nauči se več, Osnovno delovanje matrik

Prav tako preverite

• Vrste matrik
• Obrnljiva matrica
• Sled matrice

Rešeni primeri inverzne matrike 3 × 3

Primer 1: Poiščite inverzijo od

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

rešitev:

Manjša matrica D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Manjša matrika D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor matrike, tj. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Prenos matrike X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Sedaj bomo našli determinanto D z uporabo prve vrstice:

Da je D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Da je D = 6+0+14

⇒ Da je D = 20

Inverzna matrika D ali D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

2. primer: poiščite inverzijo

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor matrike E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Kofaktor matrike E, tj. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Zdaj poiščimo determinanto matrike E z uporabo prve vrstice:

Da je E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Da je E= -1 + 0 + 1

Da je E = 0

∴ Ker je determinanta matrike E enakovredna 0, je obratna matrika E ali E^-1ni mogoče.

Vprašanja za vadbo o inverzni matriki 3 × 3

Q1. Izračunajte obratno vrednost naslednje matrike 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Poiščite inverzno matriko B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Ugotovite, ali je matrika C obrnljiva, in če je, poiščite njen inverz:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Izračunajte inverzno matriko D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

V5. Za matriko E preverite, ali je obrnljiva, in če je, poiščite njen inverz:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverzna matrika 3×3 – pogosta vprašanja

1. Kaj je inverzna matrika 3×3?

Inverzna matrika 3 × 3 je druga matrika, ki, ko jo pomnožimo z izvirno matriko, da identitetno matriko.

2. Zakaj je iskanje inverza pomembno?

Bistven je za reševanje sistemov linearnih enačb, transformacij in različnih matematičnih operacij.

3. Kako izračunate inverzno matriko 3×3?

Običajno poiščete adjungirano matriko, preverite vrednost determinante, ki ni nič, in uporabite posebno formulo.

4. Kdaj obratna matrika 3×3 ne obstaja?

Ne obstaja, ko je determinanta matrike nič, zaradi česar je singularna.

5. Ali ima lahko katera koli matrika 3×3 inverzno?

Ne, samo nesingularne matrike z determinanto, ki ni nič, imajo inverze.

6. Kakšna je vloga pridružene matrike pri iskanju inverza?

Adjungirana matrika pomaga pri izračunu obratne vrednosti z zagotavljanjem kofaktorjev za vsak element.

7. Na katerih področjih se pogosto uporablja koncept inverzije matrike 3×3?

Koncept inverzije matrike 3 × 3 se uporablja v tehniki, fiziki, računalniški grafiki in različnih matematičnih disciplinah.

8. Kako pridobiti inverzno matriko 3×3?

Če želite najti inverzijo matrike 3 × 3, lahko sledite tem korakom:

• Najprej izračunajte determinanto matrike.
• Če determinanta ni enaka 0, nadaljujte z naslednjim korakom. Če je 0, matrika nima inverza.
• Poiščite matriko manjših elementov tako, da ustvarite matrike 3 × 3 za vsak element v izvirni matriki, pri čemer izključite vrstico in stolpec elementa, na katerega se osredotočate.
• Izračunajte matriko kofaktorjev z uporabo vzorca predznakov plus in minus na elemente matrike minorjev.
• Prenesite matriko kofaktorjev tako, da zamenjate vrstice s stolpci.
• Na koncu razdelite transponirano matriko kofaktorjev z determinanto, da dobite inverzno matriko 3×3.