Na prenovljenem testu SAT 2016 je kolegij kolegija razdelil vsebino oddelka za matematiko v štiri kategorije: srce algebre, reševanje problemov in analiza podatkov, pot za napredno matematiko in dodatne teme iz matematike. Heart of Algebra predstavlja največji del oddelka SAT matematike (33 % testa) , zato se morate nanj dobro pripraviti. V tej objavi bom razpravljal o vsebini te kategorije in vrstah vprašanj, se ukvarjal s praktičnimi težavami in dajal nasvete, kako rešiti ta vprašanja.

Srce algebre: Pregled

Zajeta vsebina

Kot pove že ime, Heart of Algebra pokriva algebrsko vsebino, toda katero konkretno algebrsko vsebino? Ta vprašanja zajemajo:

• Linearne enačbe
• Sistem enačb
• Absolutna vrednost
• Grafiranje linearnih enačb
• Linearne neenačbe in sistemi neenačb

Spodaj se bom poglobil v vsako od teh področij vsebine. Natančno vam bom razložil, kaj morate vedeti na vsakem področju, in vas popeljal skozi nekaj praktičnih nalog.

OPOMBA: Vse praktične težave v tem članku izvirajo iz a pravi preizkus SAT College Board (Praktični test št. 1).

Priporočam, da tega članka ne berete, dokler ne opravite 1. vadbenega preizkusa (da ti ne pokvarim!). Če še niste opravili praktičnega preizkusa št. 1, dodajte ta članek med zaznamke in se vrnite, ko ga dokončate. Če ste že opravili vadbeni test št. 1, berite naprej!

Razčlenitev vprašanj Heart of Algebra

Kot sem omenil na začetku članka, Heart of Algebra predstavlja 33 % matematične rubrike, kar pomeni 19 vprašanj. Osem jih bo v oddelku 3 (preizkus matematike brez kalkulatorja) in 11 v oddelku 4 (preizkus matematike s pomočjo kalkulatorja).

Vprašanja Heart of Algebra se razlikujejo po predstavitvi. Ker jih je tako veliko, je moral kolegijski odbor premešati, kako vam postavlja ta vprašanja. Boste videli vprašanja z več možnimi odgovori in mrežasta vprašanja Heart of Algebra. Lahko preprosto biti predstavljen z enačbo(-ami) in jih je treba rešiti ali morda dobite scenarij iz resničnega sveta kot besedno nalogo in morate sestaviti enačbo(e), da poiščete odgovor.

Oddelek za matematiko SAT predstavlja vprašanja po težavnostnem vrstnem redu (opredeljeno glede na to, koliko časa potrebuje povprečen učenec, da reši nalogo, in odstotek študentov, ki pravilno odgovorijo na vprašanje). V celotnem razdelku boste videli vprašanja Heart of Algebra : enostavne, 'lahke' se bodo pojavile na začetku izbire z več možnostmi in mreže, medtem ko se bodo zahtevnejše, ki zahtevajo, da ustvarite enačbo ali enačbe za reševanje, pojavile proti koncu.

Navedel bom primere vsake vrste vprašanj (lažjih in težjih), ko se bomo učili o vsakem vsebinskem področju v naslednjem razdelku.

Smo na poti osvajanja algebre!

Razčlenitve vsebinskega področja

Linearne enačbe

Vprašanja o linearni enačbi je mogoče predstaviti na več načinov. Pri lažjih vprašanjih o linearni enačbi boste morali rešiti linearno enačbo, ki vam je dana. Pri težjih vprašanjih o linearni enačbi boste morali napisati linearno enačbo, ki bo predstavljala dano situacijo.

Brez vadbenih težav s kalkulatorjem

To vprašanje je eno najpreprostejših, najlažjih in najbolj neposrednih vprašanj Heart of Algebra da boste videli. Vprašanje vas samo prosi, da rešite linearno enačbo, ne da bi jo umestili v situacijo v resničnem svetu, ki bi zahtevala, da razumete kontekst in enačbo.

Razlaga odgovora:

Ker je $k=3$, lahko k v enačbi nadomestimo s 3, kar daje ${x-1}/{3}=3$. Če pomnožite obe strani ${x-1}/{3}=3$ s 3, dobite $x-1=9$, in če vsaki strani dodate 1, je rezultat $x=10$. D je pravilen odgovor.

Nasvet:

Če imate težave s tem vprašanjem, ga lahko rešite tudi tako, da vstavite možnosti odgovora za x in vidite, kateri deluje. Priključitev bo delovala, vendar vam bo vzela več časa kot preprosto reševanje enačbe.

Če rešite enačbo, da bi našli x, lahko dvakrat preverite svoj odgovor, tako da ga nato vstavite. Če vstavite svoj odgovor za x in sta obe strani enačbe enaki, veste, da imate pravi odgovor!

Naslednje vprašanje je nekoliko bolj zahtevna saj od vas zahteva, da ustvarite linearno enačbo, ki predstavlja scenarij resničnega sveta, ki ga predstavlja.

Razlaga odgovora:

Obstajata dva načina za pristop k tej težavi.

Pristop 1: Skupno število sporočil, ki jih je poslal Armand, je enako njegovi stopnji pošiljanja sporočil SMS (m sporočil SMS/uro), pomnoženi s 5 urami, ki jih je porabil za pošiljanje sporočil SMS: m besedil sporočil/uro × 5 ur = 5 milijonov dolarjev sporočil SMS. Podobno je skupno število sporočil, ki jih pošlje Tyrone, enako njegovi stopnji pošiljanja sporočil SMS (p sporočil SMS/uro), pomnoženo s 4 urami, ki jih je porabil za pošiljanje sporočil SMS: p besedil sporočil/uro × 4 ure = $4p$ sporočil SMS. Skupno število sporočil, ki sta jih poslala Armand in Tyrone, je enako vsoti skupnega števila sporočil, ki jih je poslal Armand, in skupnega števila sporočil, ki jih je poslal Tyrone: $5m+4p$. C je pravilen odgovor.

Pristop 2: Izberite številke in jih vključite. Na primer, izbral bom številke in rekel, da Armand pošlje 3 sporočila SMS na uro, Tyrone pa 10 sporočil SMS na uro. Na podlagi danih informacij, če Armand pošilja besedila 5 ur, je Armand poslal (3 besedila na uro) (5 ur) besedil ali 15 besedil; če Tyrone pošilja SMS 4 ure, je Tyrone poslal (10 SMS na uro) (4 ure) SMS ali 40 SMS. Zato je skupno število besedil, ki sta jih poslala Armand in Tyrone, $15+40=55$ besedil. Zdaj dodam številke, ki sem jih izbral, k možnostim odgovora in vidim, ali se število besedil ujema s 55 besedili, torej za odgovor C $5(3) +4(10)=15+40=55$ besedil. Zato je C pravilen odgovor. OPOMBA: za to vprašanje je bila ta strategija počasnejša, za bolj zapletena vprašanja pa je to lahko hitrejši in lažji pristop.

Nasvet:

Te težave lotite korak za korakom. Ugotovite Armandovo skupno število besedilnih sporočil, nato ugotovite Tyronovo skupno število besedilnih sporočil in jih nato združite v en izraz. Ne hitite do končnega odgovora. Morda boste na poti naredili napako.

Sistemi enačb

Vprašanja o sistemu enačb bodo predstavljena na podoben način kot vprašanja o linearni enačbi; vendar, so težji ker morate zdaj narediti več korakov in/ali ustvariti drugo enačbo.

The enostavnejši sistem enačb vas bo prosil, da rešite eno spremenljivko, ko dobite dve enačbi z dvema spremenljivkama.

The težja vprašanja sistema enačb bo od vas zahtevalo, da napišete sistem enačb za predstavitev dane situacije in nato rešite eno spremenljivko z uporabo enačb, ki ste jih ustvarili.

Brez vadbenih težav s kalkulatorjem

To vprašanje je nedvomno najpreprostejši, najlažji in najbolj enostavni sistemi enačb da boste videli. Za vas nastavi enačbe in vas preprosto prosi, da rešite x.

Razlaga odgovora:

Če odštejemo levo in desno stran $x+y=−9$ od ustreznih strani $x+2y =−25$, dobimo $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , kar je enakovredno $y=−16$. Zamenjava $−16$ z $y$ v $x+y=−9$ dobi $x+(−16)=−9$, kar je enakovredno $x=−9−(−16) =7$. Pravilen odgovor je 7.

Nasvet:

Priključitev je lahko dobra možnost, če vam je to vprašanje zastavljeno pri izbirnem odgovoru (kar tukaj ne velja). Lahko pa bi vključili tudi svoj odgovor, da še enkrat preverite svoje delo!

Tukaj je še eno dokaj preprosto vprašanje sistema enačb, vendar je nekoliko težje ker morate podati odgovor tako za x kot za y (kar ustvarja več možnosti za napako).

Razlaga odgovora:

Če dodamo x in 19 na obe strani $2y−x=−19$, dobimo $x=2y+19$. Nato zamenjava $2y+19$ za x v $3x+4y=−23$ dobi $3(2y + 19)+4y=−23$. Ta zadnja enačba je enakovredna $10y+57=−23$. Rešitev $10y+57=−23$ daje $y=−8$. Končno, če nadomestimo −8 z y v $2y−x=−19$, dobimo $2(−8)−x=−19$ ali $x=3$. Zato je rešitev $(x, y)$ danega sistema enačb $(3, −8)$.

Nasvet:

Priključitev bi bila tudi hiter način za rešitev te težave! Ko vas prosimo, da rešite obe spremenljivki v vprašanju sistema enačb, se vedno poskusite priključiti!

Sledi a malo težje. Čeprav so vam podane enačbe, morate še vedno določiti, kaj vas vprašanje sprašuje (katero spremenljivko morate rešiti), kar je nekoliko bolj zahtevno, saj vam vprašanje postavlja po scenariju iz resničnega sveta. Prav tako ga morate rešiti z mentalno matematiko (ker je v razdelku brez kalkulatorja).

Razlaga odgovora:

Če želite določiti ceno na funt govedine, ko je bila enaka ceni na funt piščanca, določite vrednost x (število tednov po 1. juliju), ko sta bili ceni enaki. Cene so bile enake, ko je $b=c$; to je, ko $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Ta zadnja enačba je enakovredna $0,60=0,15x$, torej $x={0,6}/{0,15}=4$. Nato za določitev $b$, cene za funt govejega mesa, nadomestite 4 s $x$ v $b=2,35+0,25x$, kar daje $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dolarjev na funt. Zato je D pravilen odgovor.

Nasvet:

Vzemite si čas za vsak korak. Zlahka se je zmotiti in dobiti napačen odgovor.

Vadba za kalkulator

Sledi eno najtežjih vprašanj Heart of Algebra. Na podlagi scenarija iz resničnega sveta, ki ste ga podali v vprašanju, morate ustvariti dve enačbi in ju nato rešiti.

Razlaga odgovora:

Za določitev števila prodanih solat napišite in rešite sistem dveh enačb. Naj bo $x$ enako številu prodanih solat in $y$ enako številu prodanih pijač. Ker je število solat plus število prodanih pijač enako 209, mora veljati enačba $x+y=209$. Ker je vsaka solata stala 6,50, vsaka soda 2,00 in je bil skupni prihodek 836,50, mora veljati tudi enačba $6,50x+2,00y=836,50$. Enačba $x+y=209$ je enakovredna $2x+2y=418$ in če odštejemo vsako stran $2x+2y=418$ od ustrezne strani $6,50x+2,00y=836,50$, dobimo $4,5x=418,50 $. Zato je bilo število prodanih solat x $x={418,50}/{4,50}=93$. Zato je B pravilen odgovor.

Nasvet:

Te težave lotite korak za korakom. Napišite enačbo za skupno število prodanih solat in pijač, nato ugotovite enačbo za prihodek in nato rešite. Ne hitite, sicer lahko naredite napako.

Absolutna vrednost

Običajno bo samo eno vprašanje Absolutne vrednosti v rubriki SAT matematika. Vprašanje je običajno precej enostavno in preprosto, vendar zahteva, da poznate pravila absolutne vrednosti, da nanj pravilno odgovorite. Vse, kar je absolutna vrednost, bo v oklepajih z znaki absolutne vrednosti, ki izgledajo takole: || Na primer $|-4|$ ali $|x-1|$

Absolutna vrednost je predstavitev razdalje vzdolž številske premice naprej ali nazaj.

To pomeni da karkoli je v znaku absolutne vrednosti, bo postalo pozitivno saj predstavlja razdaljo vzdolž številske premice in je nemogoče imeti negativno razdaljo. Na primer, na zgornji številski premici je -2 za 2 oddaljena od 0. Vse, kar je znotraj absolutne vrednosti, postane pozitivno.

To tudi pomeni, da ima enačba z absolutno vrednostjo vedno dve rešitvi . Na primer, $|x-1|=2$ bo imelo dve rešitvi $x-1=2$ in $x-1=-2$. Nato rešite vsako ločeno enačbo, da najdete dve rešitvi, $x=3,-1$.

Ko delate na problemih absolutne vrednosti, ne pozabite, da morate ustvariti dve ločeni rešitvi, pozitivno in negativno, kot smo naredili zgoraj.

Vadba za kalkulator

Razlaga odgovora:

Če je vrednost $|n−1|+1$ enaka 0, potem je $|n−1|+1=0$. Če od obeh strani te enačbe odštejemo 1, dobimo $|n−1|=−1$. Izraz $|n−1|$ na levi strani enačbe je absolutna vrednost $n−1$ in, kot sem pravkar omenil, absolutna vrednost nikoli ne more biti negativno število, saj predstavlja razdaljo. Torej $|n−1|=−1$ nima rešitve. Zato ni vrednosti za n, za katero bi bila vrednost $|n−1|+1$ enaka 0. D je pravilen odgovor.

Nasvet:

Ne pozabite na pravila absolutne vrednosti (vedno je pozitivna!). Če se spomnite pravil, bi morali pravilno razumeti vprašanje!

Grafiranje linearnih enačb

Ta vprašanja preverijo vašo sposobnost branja grafa in njegove interpretacije v obliki $y=mx+b$. Hitra osvežitev, $y=mx+b$ je enačba naklona-preseka premice, kjer m predstavlja naklon in b predstavlja y-presek.

V teh vprašanjih vam bo običajno predstavljen graf premice in določiti boste morali, kakšna sta naklon in presečišče y, da napišete enačbo premice.

Vadba za kalkulator

Razlaga odgovora:

Razmerje med h in C je predstavljeno s katero koli enačbo dane premice. C-presek premice je 5. Ker točki $(0, 5)$ in $(1, 8)$ ležita na premici, je naklon premice ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Zato je razmerje med h in C mogoče predstaviti z $C=3h+5$, enačbo naklona-preseka premice. C je pravilen odgovor.

Nasvet:

Zapomnite si obliko nagiba-preseka ($y=mx+b$) in enačbo naklona $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Vedite, kaj pomeni vsaka spremenljivka v enačbah. Če veš vse to, bi moral biti sposoben rešiti katero koli težavo z grafično linearno enačbo, ki ti je dana.

Linearne neenačbe in sistemi linearnih neenačb

To so verjetno najzahtevnejša vprašanja Heart of Algebra ker se veliko učencev spopada s spremenljivkami v kombinaciji z neenakostmi. Če potrebujete hitro, a poglobljeno osvežitev o neenakostih, si oglejte naš vodnik po neenakostih.

Ta vprašanja se običajno pojavijo proti koncu izbire z več možnostmi in mreže v vsakem razdelku. Ta vprašanja bodo predstavljena kot enostavne že nastavljene neenakosti (od vas ne bo zahtevano, da ustvarite neenakosti, niti vam ne bo predstavljen scenarij resničnega sveta z uporabo neenakosti). Čeprav so predstavljena na preprost način, so ta vprašanja zahtevna in zlahka se je zmotiti, zato si vzemite čas!

Vadbene težave s kalkulatorjem

Razlaga odgovora:

Če odštejemo $3x$ in dodamo 3 obema stranema $3x−5≥4x−3$, dobimo $−2≥x$. Zato je x rešitev za $3x−5≥4x−3$, če in samo če je x manjši ali enak −2 in x NI rešitev za $3x−5≥4x−3$, če in samo če x je večja od −2. Od danih izbir je le −1 večji od −2 in zato ne more biti vrednost x. A je pravilen odgovor.

Na to lahko poskusite odgovoriti tudi tako, da vključite možnosti odgovora in vidite, kateri ni deloval. Če v neenačbo vključite A, bi dobili $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Če poenostavimo neenakost, bi dobili -8≥-7, kar ne drži, zato je A pravilen odgovor.

Namig

Zapomnite si pravila neenakosti! Vzemite si čas, da se prebijete skozi vsak korak, da ne boste naredili napak. Prav tako ne pozabite poskusiti vstaviti možnosti odgovorov, da bi našli pravilen odgovor!

Oglejmo si še en primer.

Razlaga odgovora:

Ker je (0, 0) rešitev sistema neenačb, morata zamenjava 0 za x in 0 za y v danem sistemu povzročiti dve pravi neenačbi. Po tej zamenjavi je y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Torej je a pozitiven in b negativen. Zato je a > b. Izbira A je pravilna.

Nasvet:

Ta sistem neenačb s štirimi spremenljivkami obravnavajte enako, kot bi obravnavali sistem neenačb z dvema spremenljivkama. Ne pozabite, da če je (0,0) rešitev, to pomeni, da ko je x=0, je y=0.

4 ključne strategije za srce algebre

Strategije za napad na ta vprašanja sem vmešal skozi ta članek v razdelke »namigi«, zdaj pa jih bom povzel tukaj.

Strategija št. 1: Zapomnite si pravila in formulo

Če želite pravilno odgovoriti na te vrste algebrskih vprašanj, morate poznati pravila neenakosti, pravila absolutne vrednosti in formulo za različico preseka-naklona črte ($y=mx+b$). Brez pravil in formule so ta vprašanja skoraj nemogoča.

Če potrebujete dodatno pomoč pri katerem koli od konceptov, si oglejte naše poglobljene vodnike za linearne enačbe, sisteme enačb, absolutno vrednost, obliko preseka-naklona ter linearne neenačbe in sisteme neenačb.

Strategija št. 2: Vstavljanje odgovorov

Pri vprašanjih z več možnimi odgovori bi morali vedno preverite, ali lahko vključite možnosti odgovora na dane enačbe ali neenačbe, da najdete pravilen odgovor . Včasih bo ta pristop veliko enostavnejši od poskusa reševanja enačbe.

Tudi če ugotovite, da vas vstavljanje odgovorov upočasnjuje, razmislite vsaj o uporabi tega za preverjanje svojega dela. Vstavite odgovor, ki ga najdete, in preverite, ali je rezultat uravnotežena enačba ali pravilne neenakosti. Če se, veste, da imate pravilen odgovor!

Priključite ga! Priključite ga!

Strategija št. 3: Vstavljanje številk

Če vstavljanje odgovorov ni možno, je pogosto možnost vstavljanje številk, kot je v zgornjem vprašanju 2. Ko izbirate številke, ki jih želite vstaviti, na splošno ne priporočam uporabe -1, 0 ali 1 (ker lahko povzročijo napačne odgovore) in obvezno preberite vprašanje, da vidite, katere številke morate izbrati. Na primer, pri vprašanju 2 so številke predstavljale število poslanih besedilnih sporočil, zato ne smete uporabiti negativnega števila za predstavitev števila besedilnih sporočil, saj je nemogoče poslati negativno število besedilnih sporočil.

Za neenakosti je to še posebej pomembno, pogosto bo vprašanje glasilo: 'naslednje velja za vse $x>0$.' Če je temu tako, ne morete vstaviti 0 ali -5; vstavite lahko le števila, večja od 0, saj je to parameter, ki ga določa vprašanje.

Strategija št. 4: Delajte korak za korakom

Za vprašanja Heart of Algebra si morate vzeti čas za vsak korak. Ta vprašanja lahko vključujejo 5, 10, 15 korakov in vzeti si morate čas, da se prepričate, da v 3. koraku ne naredite majhne napake, ki bo povzročila napačen odgovor. Svoje stvari poznate, zato naj vas majhne napake ne stanejo točk!

Kaj je naslednje?

Zdaj, ko veste, kaj lahko pričakujete pri vprašanjih Heart of Algebra, se prepričajte, da ste nanje pripravljeni vse druge matematične teme boste videli na SAT. Vsi naši matematični vodniki vas bodo popeljali skozi strategije in praktične naloge za vse teme, obravnavane v razdelku o matematiki, od celih števil do razmerij, krogov do poligonov (in še več!).

Ste zaskrbljeni zaradi dneva izpita? Prepričajte se, da natančno veste, kaj storiti in prinesti s seboj, da si olajšate misli in umirite živce, preden pride čas za opravljanje testa SAT.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Ne iščite dlje od našega vodnika, ki vam bo pomagal premagati čas in povečati vaš rezultat matematike SAT.

Ribičenje, da bi dobili popoln rezultat? Oglejte si naše vodnik za doseganje popolnih 800 , ki ga je napisal popoln strelec.