Formula vrha parabole: Točka, kjer se sekata parabola in njena simetrijska os, se imenuje vrh parabole. Uporablja se za določitev koordinat točke na simetrijski osi parabole, kjer jo seka. Za standardno enačbo parabole je y = ax2+ bx + c, točka oglišča je koordinata (h, k). Če je koeficient x2v enačbi pozitiven (a> 0), potem leži oglišče spodaj ali pa na zgornji strani.
V tem članku bomo razpravljali oglišče parabole, njena formula, izpeljava formule in rešeni primeri na njej.
Kazalo
- Lastnosti vrha parabole
- Vertex formule parabole
- Izpeljava vrha formule parabole
- Vzorčne naloge o ogliščih formule parabole
Vertex parabole
Lastnosti vrha parabole
- Vrh vsake parabole je njena točka obračanja.
- Odvod funkcije parabole na njenem vrhu je vedno enak nič.
- Parabola, ki je odprta na vrhu ali dnu, ima maksimum ali minimum na svojem vrhu.
- Oglišče levo ali desno odprte parabole ni niti maksimum niti minimum parabole.
- Vertex je točka presečišča med parabolo in njeno simetrično osjo.
Vertex formule parabole
Za oglišče parabole je y = a(x – h)2+ k, koordinate (h, k) oglišča so,
(h, k) = (-b/2a, -D/4a)
kje,
a je koeficient pri x2,
b je koeficient pri x,
D = b2– 4ac je diskriminanta standardne oblike y = ax2+ bx + c.
Izpeljava vrha formule parabole
Recimo, da imamo parabolo s standardno enačbo, kot je y = ax2+ bx + c.
To lahko zapišemo kot,
y – c = ax2+ bx
y – c = a (x2+ bx/a)
Seštevanje in odštevanje b2/4a2na RHS, dobimo
y – c = a (x2+ bx/a + b2/4a2– b2/4a2)
y – c = a ((x + b/2a)2– b2/4a2)
y – c = a (x + b/2a)2– b2/4a
y = a (x + b/2a)2– b2/4a + c
y = a (x + b/2a)2– (b2/4a – c)
y = a (x + b/2a)2– (b2– 4ac)/4a
Vemo, D = b2– 4ac, tako enačba postane,
y = a (x + b/2a)2– D/4a
Primerjava zgornje enačbe z ogliščem y = a(x – h)2+ k, dobimo
h = -b/2a in k = -D/4a
To izpelje formulo za koordinate vrha parabole.
Ljudje preberejo tudi:
- Graf, lastnosti, primeri in enačba parabole
- Standardna enačba parabole s primeri
Vzorčne naloge o ogliščih formule parabole
Naloga 1. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = 2x 2 + 4x – 4.
rešitev:
Enačbo imamo kot, y = 2x2+ 4x – 4.
Tukaj je a = 2, b = 4 in c = -4.
Zdaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2– 4ac.
D = (4)2– 4 (2) (-4)
= 16 + 32
= 48
Torej, x – koordinata oglišča = -4/2(2) = -4/4 = -1.
y – koordinata oglišča = -48/4(2) = -48/8 = -6
Zato je oglišče parabole (-1, -6).
Naloga 2. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = 3x 2 + 5x – 2.
rešitev:
Enačbo imamo kot y = 3x2+ 5x – 2.
Tukaj je a = 3, b = 5 in c = -2.
Zdaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2– 4ac.
D = (5)2– 4 (3) (-2)
= 25 + 24
= 49
Torej, x – koordinata oglišča = -5/2(3) = -5/6
y – koordinata oglišča = -49/4(3) = -49/12
Zato je vrh parabole (-5/6, -49/12).
Naloga 3. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = 3x 2 – 6x + 1.
rešitev:
Enačbo imamo kot y = 3x2– 6x + 1.
Tukaj je a = 3, b = -6 in c = 1.
Zdaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2– 4ac.
D = (-6)2– 4 (3) (1)
= 36 – 12
= 24
Torej, x – koordinata oglišča = 6/2(3) = 6/6 = 1
y – koordinata oglišča = -24/4(3) = -24/12 = -2
Zato je oglišče parabole (1, -2).
Naloga 4. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = 3x 2 + 8x – 8.
rešitev:
Enačbo imamo kot y = 3x2+ 8x – 8.
Tukaj je a = 3, b = 8 in c = -8.
Zdaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2– 4ac.
D = (8)2– 4 (3) (-8)
= 64 + 96
= 160
Torej, x – koordinata oglišča = -8/2(3) = -8/6 = -4/3
y – koordinata oglišča = -160/4(3) = -160/12 = -40/3
Zato je vrh parabole (-4/3, -40/3).
Naloga 5. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = 6x 2 + 12x + 4.
rešitev:
Enačbo imamo kot y = 6x2+ 12x + 4.
Tu je a = 6, b = 12 in c = 4.
Zdaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2– 4ac.
D = (12)2– 4 (6) (4)
= 144 – 96
= 48
Torej, x – koordinata oglišča = -12/2(6) = -12/12 = -1
y – koordinata oglišča = -48/4(6) = -48/24 = -2
Zato je oglišče parabole (-1, -2).
Naloga 6. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = x 2 + 7x – 5.
rešitev:
Enačbo imamo kot y = x2+ 7x – 5.
Tukaj je a = 1, b = 7 in c = -5.
Zdaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2– 4ac.
D = (7)2– 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Torej, x – koordinata oglišča = -7/2(1) = -7/2
y – koordinata oglišča = -69/4(1) = -69/4
Zato je vrh parabole (-7/2, -69/4).
Naloga 7. Poiščite koordinate oglišča za parabolo y = 2x 2 + 10x – 3.
rešitev:
Enačbo imamo kot y = x2 + 7x – 5.
Tukaj je a = 1, b = 7 in c = -5.
Sedaj je znano, da so koordinate oglišča podane z (-b/2a, -D/4a), kjer je D = b2 – 4ac.
D = (7)2 – 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Torej, x – koordinata oglišča = -7/2(1) = -7/2
y – koordinata oglišča = -69/4(1) = -69/4
Zato je vrh parabole (-7/2, -69/4).
kateri meseci so v q3
Pogosta vprašanja o formuli za vrh parabole
Kaj mislite z ogliščem parabole?
Točka, kjer se sekata parabola in njena simetrijska os, se imenuje vrh parabole. Uporablja se za določitev koordinat točke na simetrijski osi parabole, kjer jo seka.
Kako se izračuna oglišče parabole?
Za standardno enačbo parabole y = ax2+ bx + c, točka oglišča je koordinata (h, k).
Zapišite lastnosti oglišča parabole.
1. Vrh vsake parabole je njena prelomnica.
2. Odvod funkcije parabole na njenem oglišču je vedno enak nič.
3. Parabola, ki je odprta na vrhu ali dnu, ima maksimum ali minimum na svojem vrhu.
4. Oglišče levo ali desno odprte parabole ni niti maksimum niti minimum parabole.
5. Vertex je točka presečišča parabole in njene simetrijske osi.
Podana je oglišča parabole. Kako bi našli njegovo vrh?
Za standardno enačbo parabole y = ax2+ bx + c, točka oglišča je koordinata (h, k).
Kaj mislite s fokusom parabole?
Parabola je množica vseh točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dane točke in dane premice. Točka se imenuje gorišče parabole.
Kako narisati parabolo z njenim vrhom?
1. Poiščite koordinate x in y.
2. Zapiši dve manjši števili in dve večji od fokusa in ju označi kot x-koordinato.
3. Nadomestite vrednost funkcije za x in poiščite koordinate y.
4. Določite gorišče in oglišče parabole in narišite koordinate na milimetrski papir.