Trigonometrične formule so enačbe, ki povezujejo stranice in kote trikotnikov. Bistveni so za reševanje širokega nabora problemov v matematiki, fiziki, tehniki in na drugih področjih.

Tukaj je nekaj najpogostejših vrst trigonometričnih formul:

• Osnovne definicije: Te formule določajo trigonometrična razmerja (sinus, kosinus, tangens itd.) glede na stranice pravokotnega trikotnika.
• Pitagorov izrek: Ta izrek povezuje dolžine strani v pravokotnem trikotniku.
• Razmerja kotov: Te formule povezujejo trigonometrična razmerja različnih kotov, kot so formule za vsoto in razliko, formule za dvojni kot in formule za pol kota.
• Vzajemne identitete: Te formule izražajo eno trigonometrično razmerje v smislu drugega, kot je sin(θ) = 1/coc(θ).
• Enotni krog: Enotski krog je grafični prikaz trigonometričnih razmerij in ga je mogoče uporabiti za izpeljavo številnih drugih formul.
• Sinusni in kosinusni zakon: Ti zakoni povezujejo stranice in kote katerega koli trikotnika, ne samo pravokotnega trikotnika.

Nadaljujte z branjem, če želite izvedeti več o različnih trigonometričnih formulah in identitetah, rešenih primerih in praktičnih nalogah.

Kazalo

• Kaj je trigonometrija?
• Pregled trigonometrične formule
• Osnovna trigonometrična razmerja
• Trigonometrične identitete
• Seznam trigonometričnih formul

Kaj je trigonometrija?

Trigonometrija je opredeljena kot veja matematike, ki se osredotoča na preučevanje odnosov, ki vključujejo dolžine in kote trikotnikov. Trigonometrijo sestavljajo različne vrste problemov, ki jih je mogoče rešiti s pomočjo trigonometričnih formul in identitet.

Trigonometrične funkcije

Trigonometrične funkcije so matematične funkcije, ki povezujejo kote pravokotnega trikotnika z dolžinami njegovih stranic. Imajo široko uporabo na različnih področjih, kot so fizika, inženiring, astronomija itd. Primarne trigonometrične funkcije vključujejo sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans.

Pregled trigonometrične formule

Trigonometrične formule so matematični izrazi, ki povezujejo kote in stranice a Pravokotni trikotnik . obstajajo 3 stranice pravokotnega trikotnika je sestavljen iz:

• hipotenuza : To je najdaljša stranica pravokotnega trikotnika.
• Pravokotna/nasprotna stran : To je stranica, ki tvori pravi kot glede na dani kot.
• Osnova : Osnova se nanaša na sosednjo stran, kjer sta hipotenuza in nasprotna stran povezani.

Trigonometrično razmerje

Za učence 9., 10., 11., 12. razreda so tukaj na kratko podana vsa trigonometrična razmerja, identitete zmnožkov, formule polovičnega kota, formule dvojnega kota, identitete vsote in razlike, identitete kofunkcije, znaki razmerij v različnih kvadrantih itd. .

dvodimenzionalni matrični program v c

Tukaj je seznam formul v trigonometriji, o katerih bomo razpravljali:

• Osnovne formule za trigonometrična razmerja
• Formule enotskega kroga
• Trigonometrične identitete

Osnovna trigonometrična razmerja

V trigonometriji je 6 razmerij. Te se imenujejo trigonometrične funkcije. Spodaj je seznam trigonometrična razmerja , vključno s sinusom, kosinusom, sekansom, kosekansom, tangensom in kotangensom.

Formula enotskega kroga v trigonometriji

Za enotski krog, katerega polmer je enak 1, jaz je kot. Vrednosti hipotenuze in osnove so enake polmeru enotskega kroga.

Hipotenuza = sosednja stranica (osnova) = 1

Trigonometrična razmerja so podana z:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• posteljica θ = x/y
• s θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagram trigonometričnih funkcij

Trigonometrične identitete

Razmerje med trigonometričnimi funkcijami je izraženo s trigonometričnimi identitetami, ki jih včasih imenujemo trigonometrične identitete ali trigonometrične formule. Veljajo za vse vrednosti realnih števil pripisanih spremenljivk v njih.

• Vzajemne identitete
• Pitagorejske identitete
• Identitete periodičnosti (v radianih)
• Formula sodih in lihih kotov
• Kofunkcijske identitete (v stopinjah)
• Identitete vsote in razlike
• Dvojne kotne identitete
• Inverzne trigonometrične formule
• Trojne kotne identitete
• Polkotne identitete
• Seštevek k identitetam izdelkov
• Identitete izdelkov

O teh identitetah se pogovorimo podrobneje.

Vzajemne identitete

Vse vzajemne identitete so pridobljene z uporabo pravokotnega trikotnika kot reference. Vzajemne identitete so naslednje:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• posteljica θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/otroška posteljica θ

Pitagorejske identitete

V skladu s Pitagorovim izrekom, če je v pravokotnem trikotniku 'c' hipotenuza in sta 'a' in 'b' dve kateti, potem je c2 = a2 + b2. S tem izrekom in trigonometričnimi razmerji lahko dobimo pitagorejske identitete. Te identitete uporabljamo za pretvorbo enega trig razmerja v drugega .

• brez²θ + cos²θ = 1
• 1 + torej²θ = sekunda²jaz
• 1 + otroška posteljica²θ = cosec²jaz

Tabela trigonometričnih formul

Identitete periodičnosti (v radianih)

Te identitete lahko uporabite za premik kotov za π/2, π, 2π itd. Te so znane tudi kot identitete kofunkcij.

Vse trigonometrične identitete ponovijo po določenem obdobju. Zato so ciklične narave. To obdobje za ponavljanje vrednosti je različno za različne trigonometrične identitete.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Tukaj je tabela, ki primerja trigonometrične lastnosti v različnih kvadrantih:

Formula sodih in lihih kotov

Formule sodih in lihih kotov, znane tudi kot sodo-lihe identitete, se uporabljajo za izražanje trigonometričnih funkcij negativnih kotov v smislu pozitivnih kotov. Te trigonometrične formule temeljijo na lastnostih sodih in lihih funkcij.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Kofunkcijske identitete (v stopinjah)

Identitete kofunkcij nam dajejo medsebojno povezavo med različnimi trigonometričnimi funkcijami. Kofunkcije so tukaj navedene v stopinjah:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = posteljica x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Identitete vsote in razlike

Identitete vsote in razlike so formule, ki povezujejo sinus, kosinus in tangens vsote ali razlike dveh kotov s sinusi, kosinusi in tangensi posameznih kotov.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dvojne kotne identitete

Identitete dvojnega kota so formule, ki izražajo trigonometrične funkcije kotov, ki so dvojne mere danega kota glede na trigonometrične funkcije prvotnega kota.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – brez²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(x)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²x)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Inverzne trigonometrične formule

Inverzne trigonometrične formule se nanašajo na inverzne trigonometrične funkcije, ki so inverzne osnovne trigonometrične funkcije. Te formule se uporabljajo za iskanje kota, ki ustreza danemu trigonometričnemu razmerju.

• brez ^-1 (–x) = – sin ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• torej ^-1 (–x) = – torej ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• posteljica ^-1 (–x) = π – otroška posteljica ^-1 x

Trojne kotne identitete

Identitete trojnih kotov so formule, ki se uporabljajo za izražanje trigonometričnih funkcij trojnih kotov (3θ) v smislu funkcij posameznih kotov (θ). Te trigonometrične formule so uporabne za poenostavitev in reševanje trigonometričnih enačb, kjer so vključeni trojni koti.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

pretvori objekt java v json

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Polkotne identitete

Identitete polovičnega kota so tiste trigonometrične formule, ki se uporabljajo za iskanje sinusa, kosinusa ali tangensa polovice danega kota. Te formule se uporabljajo za izražanje trigonometričnih funkcij polovičnih kotov glede na prvotni kot.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

tudi

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Seštevek k identitetam izdelkov

Identitete vsote in produkta so trigonometrične formule, ki nam pomagajo izraziti vsote ali razlike trigonometričnih funkcij kot produkte trigonometričnih funkcij.

dfs algoritem

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − udobno = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identitete izdelkov

Identitete produkta, znane tudi kot identitete produkta in vsote, so formule, ki omogočajo izražanje produktov trigonometričnih funkcij kot vsot ali diferenc trigonometričnih funkcij.

Te trigonometrične formule izhajajo iz formul vsote in razlike za sinus in kosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Seznam trigonometričnih formul

Spodnja tabela je sestavljena iz osnovnih trigonometričnih razmerij za kote, kot so 0°, 30°, 45°, 60° in 90°, ki se običajno uporabljajo za reševanje problemov.

Rešena vprašanja o trigonometrični formuli

Tukaj je nekaj rešenih primerov trigonometričnih formul, ki vam bodo pomagali bolje razumeti koncepte.

Vprašanje 1: Če je cosec θ + cot θ = x, poiščite vrednost cosec θ – cot θ z uporabo trigonometrične formule.

rešitev:

cosec θ + cot θ = x

Vemo, da cosec²θ+ posteljica²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

2. vprašanje: S pomočjo trigonometričnih formul pokažite, da je tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

rešitev:

Imamo,

L.H.S= tan 10 ° torej 15 ° torej 75 ° torej 80 °

= rjav (90-80) ° torej 15 ° rjav (90-15) ° torej 80 °

= posteljica 80 ° torej 15 ° posteljica 15 ° torej 80 °

=(otroška posteljica 80 ° * torej 80 ° )( posteljica 15 ° * torej 15 ° )

= 1 = R.H.S

Vprašanje 3: Če je sin θ cos θ = 8, poiščite vrednost (sin θ + cos θ) ² z uporabo trigonometričnih formul.

rešitev:

(sin θ + cos θ)²

seznam na Javi

= brez²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

4. vprašanje: S pomočjo trigonometričnih formul dokažite, da je (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

rešitev:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – torej²θ)]/(tan θ – s θ + 1), [Ker, s²θ – torej²θ = 1]

java za vrste zank

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. dokazano.

Pogosta vprašanja o trigonometričnih formulah in identitetah

Kaj je trigonometrija?

Trigonometrija je veja matematike, ki se osredotoča na razmerja med koti in stranicami trikotnikov, zlasti pravokotnih trikotnikov.

Katera so tri osnovna trigonometrična razmerja?

• Sin A = pravokotnik/hipotenuza
• Cos A = osnova/hipotenuza
• Tan A= pravokotna/osnova

Za kateri trikotnik veljajo trigonometrične formule?

Trigonometrične formule veljajo za pravokotne trikotnike.

Katera so glavna trigonometrična razmerja?

Sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans.

Za kateri kot je vrednost razmerja tan enaka razmerju posteljice?

Za vrednost 45° je tan 45°= cot 45° = 1.

Kaj je formula za sin3x?

Formula za sin3x je 3sin x – 4 sin³x.