Trigonometrična substitucija je ena od substitucijskih metod integracije, pri kateri se funkcija ali izraz v danem integralu nadomesti s trigonometričnimi funkcijami, kot so sin, cos, tan itd. Integracija s substitucijo je najlažja substitucijska metoda.

Uporablja se, ko naredimo zamenjavo funkcije, katere odvod je že vključen v dano integralno funkcijo. S tem funkcijo poenostavimo in dobimo enostavne integrale, ki jih zlahka integriramo. Znano je tudi kot u-substitucija ali pravilo obratne verige. Ali z drugimi besedami, s to metodo lahko enostavno ovrednotimo integrale in protiodvode.

Trigonometrična zamenjava

Kaj je trigonometrična substitucija?

Trigonometrična substitucija je postopek, pri katerem pride do zamenjave trigonometrične funkcije v drug izraz. Uporablja se za ovrednotenje integralov ali pa je metoda za iskanje protiodvodov funkcij, ki vsebujejo kvadratne korene kvadratnih izrazov ali racionalnih potenc oblikefrac{p}{2} (kjer je p celo število) kvadratnih izrazov. Primeri takih izrazov so

({x^2+4})^frac{3}{2} ozsqrt{25-x^2} ali itd.

Metoda trigonometrične substitucije se lahko uporabi, ko druge pogostejše in enostavnejše metode integracije ne uspejo. Trigonometrična substitucija predpostavlja, da ste seznanjeni s standardnimi trigonometričnimi identitetami, uporabo diferencialne notacije, integracijo z uporabo u-substitucije in integracijo trigonometričnih funkcij.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Tukaj bomo razpravljali o nekaterih pomembnih formulah, odvisno od funkcije, ki jo moramo integrirati, nadomestimo enega od naslednjih trigonometričnih izrazov, da poenostavimo integracijo:

∫cosx dx = sinx + C

r v jeziku c

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek²x dx = tanx + C

∫cosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|sekx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Preberite podrobno: Račun v matematiki

Kdaj uporabiti trigonometrično zamenjavo?

Trigonometrično zamenjavo uporabljamo v naslednjih primerih,

Kako uporabiti trigonometrično substitucijsko metodo?

Uporabimo lahko trigonometrično substitucijsko metodo, kot je opisano spodaj,

Integral z a²– x²

Oglejmo si primer Integrala, ki vključuje a²– x².

primer: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Recimo, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Tako sem =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ Jaz =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ Jaz =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Ker je x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Jaz =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral z x ² + a ²

Oglejmo si primer integrala, ki vključuje x²+ a².

Primer: Poišči integral old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

rešitev:

Postavimo x = a tanθ

oštevilčite abecedo

⇒ dx = a sec2θ dθ, dobimo

Tako sem =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ Jaz =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ Jaz =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ Jaz =frac{1}{a} heta + c

Ker je x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Jaz =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral z a ² + x ² .

Oglejmo si primer Integrala, ki vključuje a²+ x².

Primer: Poiščite integral old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

rešitev:

Recimo, x = a tanθ

⇒ dx = sek²θ dθ

Tako sem =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ Jaz =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ Jaz =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ Jaz =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ Jaz =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Jaz =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ Jaz =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Jaz =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Jaz =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ Jaz =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Jaz =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integral z x ² – a ² .

Oglejmo si primer integrala, ki vključuje x²– a².

Primer: Poiščite integral old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Recimo, x = a sθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Tako sem =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ Jaz =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ Jaz =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Jaz =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Jaz =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ Jaz =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ Jaz =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ Jaz =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ Jaz = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Jaz =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Preberi več,

• Integracijske formule
• Integracija z zamenjavo
• Integracija po delih

Vzorci nalog o trigonometrični zamenjavi

Problem 1: Poišči integral od old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

vrzi niz kot int java

rešitev:

Če vzamemo 5 skupnih v imenovalec,

⇒ Jaz =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Jaz =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Po izreku 1 je a =frac{3}{5}

⇒ Jaz =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ Jaz =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Problem 2: Poišči integral od old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

rešitev:

Če vzamemo √2 skupni imenovalec,

⇒ Jaz = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Jaz =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Po izreku 1 je a = 2

⇒ Jaz =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ Jaz =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Problem 3: Poišči integral od old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

rešitev:

S preureditvijo dobimo

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Tu vzamemo a = 3 in x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Če nadomestimo te vrednosti,

jaz =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Jaz =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Jaz =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Vzemimo,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Če nadomestimo te vrednosti, dobimo

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Ker je u = cos θ in x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ v =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ v =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Zato je I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Problem 4: Poišči integral od old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

rešitev:

Če vzamemo skupni imenovalec 9,

dolgo do niza java

jaz =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Jaz =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Po izreku 2 je a =frac{2}{3}

⇒ Jaz =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ Jaz =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Problem 5: Poišči integral od old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

rešitev:

Če vzamemo 4 skupni imenovalec,

jaz =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ Jaz =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Po izreku 3 je a =frac{5}{4}

⇒ Jaz =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

modifikacijske tipke

⇒ Jaz =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ Jaz =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ Jaz =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Problem 6: Poišči integral od old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

rešitev:

Če vzamemo 2 skupni imenovalec,

jaz =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

jaz =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Po izreku 4 je a =frac{3}{2}

jaz =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

jaz =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

jaz =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

jaz =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

jaz =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Problem 7: Poiščite integral od old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

rešitev:

Po preureditvi dobimo

jaz =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

jaz =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

jaz =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

jaz =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Po izreku 2 imamo

x = x-frac{1}{2} in a =frac{sqrt{3}}{2}

jaz =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

jaz =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrična zamenjava – pogosta vprašanja

Kaj je trigonometrična substitucija?

Trigonometrična substitucija je tehnika integracije, ki se uporablja za reševanje integralov, ki vključujejo izraze z radikali in kvadratnimi koreni, kot je √(x²+ a²), √(a²+ x²) in √(x²– a²).

Kdaj naj uporabim trigonometrično zamenjavo?

Trigonometrična substitucija je uporabna, če imate integral, ki vključuje radikalni izraz, zlasti če radikalni izraz vsebuje kvadratni člen.

Katere tri trigonometrične zamenjave se običajno uporabljajo v integralih?

Tri pogosto uporabljene trigonometrične zamenjave so:

• Nadomestite x = a sin θ, kadar radikalni izraz vsebuje člen v obliki a²– x².
• Nadomestite x = a tan θ, kadar radikalni izraz vsebuje člen v obliki x²– a².
• Nadomestite x = a sec θ, kadar radikalni izraz vsebuje člen v obliki x²+ a².

Kako kdo izbere, katero trigonometrično zamenjavo uporabiti?

Trigonometrično zamenjavo morate izbrati glede na obliko radikalnega izraza. Če radikalni izraz vsebuje člen v obliki a^2 – x^2, uporabite x = a sin θ. Če radikalni izraz vsebuje člen v obliki x^2 – a^2, uporabite x = a tan θ. Če radikalni izraz vsebuje člen v obliki x^2 + a^2, uporabite x = a sec θ.