logo

TechCodeview

Integracijske formule

Integracijske formule so osnovne formule, ki se uporabljajo za reševanje različnih integralnih problemov. Uporabljajo se za iskanje integracije algebrskih izrazov, trigonometričnih razmerij, inverznih trigonometričnih funkcij ter logaritemskih in eksponentnih funkcij. Te integracijske formule so zelo uporabne za iskanje integracije različnih funkcij.

Integracija je inverzni proces diferenciacije, tj. če je d/dx (y) = z, potem je ∫zdx = y. Integracija katere koli krivulje da površino pod krivuljo. Integracijo najdemo z dvema metodama Indefinite Integration in Definite Integration. Pri neomejeni integraciji ni omejitev integracije, medtem ko pri določeni integraciji obstaja meja, pod katero je funkcija integrirana.



Naučimo se o teh integralne formule, in njihove razvrstitev, podrobno v tem članku.

Kazalo

Integralni račun

Integralni račun je veja računa, ki se ukvarja s teorijo in uporabo integralov. Postopek iskanja integralov imenujemo integracija. Integralni račun pomaga pri iskanju protiodvodov funkcije. Protiodvode imenujemo tudi integrali funkcije. Označuje se z ∫f(x)dx. Integralni račun se ukvarja s skupno vrednostjo, kot so dolžine, površine in prostornine. Integral je mogoče uporabiti za iskanje približnih rešitev določenih enačb danih podatkov. Integralni račun vključuje dve vrsti integracije:



  • nedoločen Integrali
  • Določeni integrali

Kaj so integracijske formule?

Integracijske formule so bile na splošno predstavljene kot naslednji sklopi formul. Formule vključujejo osnovne integracijske formule, integracijo trigonometričnih razmerij, inverzne trigonometrične funkcije, produkt funkcij in nekatere napredne sklope integracijskih formul. Integracija je način združevanja delov v celoto. To je inverzna operacija diferenciacije. Tako je osnovna integracijska formula

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integracijske formule



Na podlagi tega so izpeljane naslednje integracijske formule.

Različne formule integralnega računa so

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logje|x| + C
  4. ∫exdx = ex+ C
  5. ∫axdx = (ax/ dnevnikjea) + C

Več, integralne formule so obravnavane spodaj v članku,

Opomba:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx, kjer je k konstanta
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Osnovne integracijske formule

Spodaj je obravnavanih nekaj osnovnih formul integracije, ki se uporabljajo za reševanje problemov integracije. Izpeljani so s temeljnim izrekom integracije. Seznam osnovnih integralnih formul je podan spodaj:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ inxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ inx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {kjer je f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klasifikacija integralskih formul

Integralne formule so razvrščene v različne kategorije na podlagi naslednje funkcije.

  • Racionalne funkcije
  • Iracionalne funkcije
  • Hiperbolične funkcije
  • Inverzne hiperbolične funkcije
  • Trigonometrične funkcije
  • Inverzne trigonometrične funkcije
  • Eksponentne funkcije
  • Logaritemske funkcije

Integracijske formule trigonometričnih funkcij

Integracijske formule trigonometričnih funkcij se uporabljajo za reševanje integralnih enačb, ki vključujejo trigonometrične funkcije. Spodaj je podan seznam integralnih formul, ki vključujejo trigonometrične in inverzne trigonometrične funkcije,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = tan x + C
  • ∫ cosec2x dx = -cot x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| +C
  • ∫ cot x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C

Integracijske formule inverznih trigonometričnih funkcij

Spodaj so podane različne integracijske formule inverznih trigonometričnih funkcij, ki se uporabljajo za reševanje integralnih vprašanj,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = sin-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = posteljica-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Napredne integracijske formule

Nekatere druge napredne integracijske formule, ki so zelo pomembne za reševanje integralov, so obravnavane spodaj,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2– x2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √(x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2– x2) dx = sin-1x/a + C
  • ∫√(a2– x2) dx = x/2 √(a2– x2) dx + a2/2 brez-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Različne integracijske formule

Za reševanje različnih vrst integralnih vprašanj se uporabljajo različne vrste integracijskih metod. Vsaka metoda je standardni rezultat in se lahko šteje za formulo. Nekatere pomembne metode so obravnavane spodaj v tem članku. Preverimo tri pomembne metode integracije.

  • Integracija s formulo delov
  • Integracija s substitucijsko formulo
  • Integracija s formulo delnih ulomkov

Integracija s formulo delov

Integracija po delih Formula se uporabi, ko je dano funkcijo enostavno opisati kot produkt dveh funkcij. Formula integracije po delih, ki se uporablja v matematiki, je podana spodaj,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Primer: Izračunajte ∫ xe x dx

rešitev:

∫ avtoxdx ima obliko ∫ f(x) g(x) dx

naj bo f(x) = x in g(x) = ex

vemo, da je ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ avtoxdx = x ∫exdx – ∫( 1 ∫exdx) dx+ c

= avtox- Jex+ c

Integracija s substitucijsko formulo

Integracija s substitucijsko formulo se uporablja, ko je funkcija funkcija druge funkcije. tj. naj je I = ∫ f(x) dx, kjer je x = g(t), tako da je dx/dt = g'(t), potem je dx = g'(t)dt

zdaj, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Primer: Ocenite ∫ (4x +3) 3 dx

rešitev:

Naj bo u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

mehurčkasto razvrščanje v Javi

= 1/4 ∫(u)3od

= 1/4. v4/5

= u4/dvajset

= 4x ​​+3)4/dvajset

Integracija s formulo delnih ulomkov

Integracija z delnimi ulomki Formula se uporablja, kadar je zahtevan integral P(x)/Q(x) in je P(x)/Q(x) nepravilen ulomek, tako da je stopnja P(x) manjša od (<) stopnja Q(x), potem je ulomek P(x)/Q(x) zapisan kot

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

kje

  • R(x) je polinom v x
  • p 1 (x)/ Q(x) je pravilna racionalna funkcija

Zdaj integracija R(x) + P1(x)/ Q(x) se enostavno izračuna z uporabo zgoraj obravnavanih formul.

Uporaba integralov

Integralne formule so zelo uporabne formule v matematiki, ki se uporabljajo za različne naloge. Različno aplikacije integralov vključuje:

  • Iskanje dolžine krivulje
  • Iskanje površine pod krivuljo
  • Iskanje približnih vrednosti funkcije
  • Določanje poti predmeta in drugo
  • Če želite najti območje pod krivuljo
  • Poiščite površino in prostornino nepravilnih oblik
  • Za iskanje središča mase ali težišča

Te formule so v osnovi razvrščene v dve kategoriji,

  • Določene integracijske formule
  • Nedoločene integracijske formule

Dokončna integracijska formula

Formule določenega integrala se uporabljajo, ko je podana meja integracije. Pri določeni integraciji je rešitev vprašanja stalna vrednost. Na splošno je dokončna integracija rešena kot,

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Nedoločena integracijska formula

Formule za nedoločeno integracijo se uporabljajo za reševanje nedoločene integracije, kadar meja integracije ni podana. Pri neomejeni integraciji uporabljamo konstanto integracije, ki jo na splošno označujemo s C

∫f(x) = F(x) + C

  • Nedoločeni integrali
  • Definirajte lastnosti integrala
  • Integracija trigonometričnih funkcij

Primeri integralskih formul

Primer 1: Ocenite

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 x dx
  • ∫4e x dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/sin 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

rešitev:

(i) ∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 x dx

= (3x/ dnevnikje3) + C [ ∫a x dx = (a x / dnevnik je a) + C]

(v) ∫4e x dx

= 4∫exdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx, kjer je k konstanta]

= 4 inx+ C [∫e x dx = e x + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sek x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= sekunda x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -cot x + C ]

= -otroška posteljica x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– x2)] dx [to vemo, dx = sin -1 (x/a) + C]

= brez-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [to vemo,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sek-1(x/a) + C]

= (1/3)sek-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [vemo, da je ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – cot x| + C

Primer 2: Ocenite ∫{e 9log je x + in 8log je x }/{Je 6log je x + in 5log je x } dx

rešitev:

Od, je tresenje je x = x a

∫{e 9log je x + in 8log je x }/{Je 6log je x + in 5log je x } dx

= ∫{x9+ x8}/{x6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/x5dx

= ∫x3dx [to vemo, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Primer 3: Izračunajte ∫ sin x + cos x dx

rešitev:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [vemo, da je ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [vemo, da je ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Primer 4: Ocenite ∫4 x+2 dx

rešitev:

∫4 x+2 dx = ∫4x. 42dx

= ∫16. 4xdx [vemo, da ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx, kjer je k konstanta]

= 16∫ 4xdx [∫a x dx = (a x / dnevnik je a) + C]

= 16 (4x/log 4) + C

Primer 5: Ocenite ∫(x 2 + 3x + 1) dx

rešitev:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [To vemo, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Primer 6: Izračunajte ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

rešitev:

1 + cos 2x = 2cos 2 x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫sek2x dx [To vemo, ∫sek 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Primer 7: Izračunajte ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

rešitev:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, kjer je k konstanta]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫s2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Vadbene naloge na integracijskih formulah

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Pogosta vprašanja o integracijskih formulah

Kaj vse so integracijske formule?

Integracijske formule so formule, ki se uporabljajo za reševanje različnih integracijskih problemov,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ inxdx = ex+ C
  • ∫ axdx = ax/log a+ C
  • ∫ inx[f(x) + f'(x)] dx = exf(x) + C {kjer je f'(x) = d/dx[f(x)]}

Kakšne so integracijske formule uv?

Integracijska formula uv je,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Kaj pomeni integracija v matematiki?

Če je odvod funkcije g(x) f(x), potem je integracija f(x) g(x), tj. ∫f(x)dx = g(x). Integracija je predstavljena s simbolom ∫

Kako integriramo z uporabo integracijskih formul?

Integracijo lahko dosežemo z uporabo formul,

  • Določite majhen del predmeta v določenih dimenzijah, ki z neskončnim seštevanjem tvorijo celoten objekt.
  • Z uporabo integracijskih formul nad tem majhnim delom vzdolž različnih dimenzij dobimo celoten objekt.

Kaj je formula integrala po delih?

Integralna formula po delih se uporablja za reševanje integrala, kjer je podan nepravilen ulomek.

Kakšna je uporaba integracijskih formul?

Integracijske formule se uporabljajo za reševanje različnih integralnih problemov. S pomočjo integracije je mogoče zlahka rešiti različne probleme, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju, kot je iskanje središča mase katerega koli predmeta, iskanje trajektorije projektila, rakete, letala in drugo.