Integracija po delih: Integracija po delih je tehnika, ki se uporablja v računstvu za iskanje integrala produkta dveh funkcij. To je v bistvu preobrat pravila izdelka za razlikovanje.

Integracija funkcije ni vedno enostavna, včasih moramo integrirati funkcijo, ki je večkratnik dveh ali več funkcij; v tem primeru, če moramo najti integracijo, moramo uporabiti koncept integracije po delih, ki uporablja dva produkta dveh funkcij in nam pove, kako najti njihovo integracijo.

Zdaj pa se poučimo o Integracija po delih, njena formula, izpeljava in drugo podrobno v tem članku.

Kaj je integracija po delih?

Integracija po delih je tehnika, ki se uporablja za iskanje integracije produkta dveh ali več funkcij, kjer integracije ni mogoče izvesti z običajnimi tehnikami. Recimo, da imamo dve funkciji f(x) in g(x) in moramo poiskati integracijo njunega produkta, tj. ∫ f(x).g(x) dx, kjer produkta tega produkta ni mogoče nadalje rešiti. f(x).g(x).

To integracijo dosežemo z uporabo formule:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kjer je f'(x) prva diferenciacija f(x).

Ta formula se bere kot:

Integracija prve funkcije, pomnožene z drugo funkcijo, je enaka (prva funkcija), pomnožena z (integracija druge funkcije) – integracija (diferenciacija prve funkcije, pomnožena z integracijo druge funkcije).

Iz zgornje formule lahko zlahka ugotovimo, da je izbira prve in druge funkcije zelo pomembna za uspeh te formule, o tem, kako izberemo prvo in drugo funkcijo, pa razpravljamo v nadaljevanju tega članka.

Kaj je delna integracija?

Delna integracija, znana tudi kot integracija po delih, je tehnika, ki se uporablja v računstvu za vrednotenje integrala produkta dveh funkcij. Formula za delno integracijo je podana z:

∫ u dv = uv – ∫ v du

kjer sta u in v diferenciabilni funkciji od x. Ta formula nam omogoča poenostavitev integrala produkta tako, da ga razdelimo na dva enostavnejša integrala. Ideja je izbrati u in dv tako, da je nov integral na desni strani lažje ovrednotiti kot izvirnega na levi strani. Ta tehnika je še posebej uporabna, ko imamo opravka s produkti funkcij, ki nimajo preprostih antiizpeljank.

Zgodovina delne integracije

Koncept integracije po delih je prvi predlagal slavni Brook Taylor v svoji knjigi leta 1715. Zapisal je, da lahko najdemo integracijo produkta dveh funkcij, katerih diferenciacijske formule obstajajo. Nekatere pomembne funkcije nimajo integracijskih formul in njihovo integracijo dosežemo z integracijo tako, da jih delno obravnavamo kot produkt dveh funkcij. Na primer, ∫ln x dx ni mogoče izračunati z običajnimi tehnikami integracije. Lahko pa ga integriramo s tehniko integracije po delih in ga vzamemo kot produkt dveh funkcij, to je ∫1.ln x dx.

Formula integracije po delih

Formula integracije po delih je formula, ki nam pomaga doseči integracijo produkta dveh ali več funkcij. Recimo, da moramo produkt dveh funkcij integrirati kot

∫u.v dx

kjer sta u in v funkciji od x, potem je to mogoče doseči z uporabo,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Vrstni red izbire prve in druge funkcije je zelo pomemben in koncept, ki se v večini primerov uporablja za iskanje prve in druge funkcije, je koncept ILATE.

Z uporabo zgornje formule in koncepta ILATE zlahka najdemo integracijo produkta dveh funkcij. Formula za integracijo po delih je prikazana na spodnji sliki,

Izpeljava formule integracije po delih

Formula integracije po delih je izpeljana z uporabo pravila diferenciacije produkta. Recimo, da imamo dve funkciji v in v in x, potem je odvod njunega produkta dosežen z uporabo formule,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Zdaj pa izpeljite formulo integracije po delih z uporabo pravila diferenciacije produkta.

Preureditev pogojev

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integracija obeh strani glede na x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

poenostavljanje,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Tako je izpeljana formula integracije po delih.

Pravilo ILATE

Pravilo ILATE nam pove, kako izbrati prvo in drugo funkcijo pri reševanju integracije produkta dveh funkcij. Recimo, da imamo dve funkciji x u in v in moramo najti integracijo njunega produkta, nato izberemo prvo funkcijo in pravilo by ILATE.

Polni obrazec ILATE je obravnavan na spodnji sliki,

Pravilo delne integracije ILATE

Pravila ILATE nam dajejo hierarhijo prevzemanja prve funkcije, tj. če je v danem zmnožku funkcije ena funkcija logaritemska funkcija, druga funkcija pa trigonometrična funkcija. Logaritemsko funkcijo zdaj vzamemo kot prvo funkcijo, saj je zgoraj v hierarhiji pravila ILATE, podobno izberemo prvo in drugo funkcijo.

OPOMBA: Uporaba pravila ILATE ni vedno primerna, včasih se za iskanje prve in druge funkcije uporabljajo tudi druga pravila.

Kako najti integracijo po delih?

Integracija po delih se uporablja za iskanje integracije produkta dveh funkcij. To lahko dosežemo z naslednjimi koraki,

Recimo, da moramo poenostaviti ∫uv dx

Korak 1: Izberite prvo in drugo funkcijo po pravilu ILATE. Recimo, da vzamemo u kot prvo funkcijo in v kot drugo funkcijo.

2. korak: Diferencirajte u(x) glede na x, to je, Oceni du/dx.

3. korak: Integrirajte v(x) glede na x, to je, Ocenite ∫v dx.

Uporabite rezultate, pridobljene v 1. in 2. koraku v formuli,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

4. korak: Poenostavite zgornjo formulo, da dobite zahtevano integracijo.

Ponovljena integracija po delih

Ponovljena integracija po delih je razširitev tehnike integracije po delih v računstvu. Uporablja se, ko imate produkt funkcij, ki zahteva večkratno integracijo, da bi našli protiizpeljavo. Postopek vključuje iterativno uporabo formule integracije po delih, dokler ne dosežete točke, kjer je dobljeni integral enostavno ovrednotiti ali ima znano obliko.

Pri večkratni uporabi te formule bi začeli z integralom, ki vključuje zmnožek dveh funkcij, nato pa bi uporabili integracijo po delih, da bi jo razdelili na enostavnejše integrale. Nato bi nadaljevali s tem postopkom na dobljenih integralih, dokler ne dosežete točke, kjer so nadaljnje aplikacije nepotrebne ali kjer postanejo integrali obvladljivi.

Tu je korak za korakom primer, kako deluje ponavljajoča se integracija po delih:

1. Začnite z integralom produkta dveh funkcij: ∫ u dv.
2. Uporabite formulo integracije po delih, da dobite: uv – ∫ v du.
3. Če novi integral, dobljen na desni strani, še vedno vključuje zmnožek funkcij, znova uporabite integracijo po delih, da ga še naprej razčlenite.
4. Nadaljujte s tem postopkom, dokler ne dobite enostavnejšega integrala, ki ga je mogoče zlahka ovrednotiti, ali takega, ki se ujema z znano obliko integrala.

Tabelarična integracija po delih

Tabelarična integracija, znana tudi kot tabelarična metoda ali metoda tabelarične integracije, je alternativna tehnika za vrednotenje integralov, ki vključuje ponavljajočo se uporabo integracije po delih. Ta metoda je še posebej uporabna pri obravnavanju integralov, kjer je mogoče produkt funkcij večkrat integrirati, da dosežemo preprost rezultat.

Tabelarna metoda organizira ponovljeno integracijo po delih v tabelo, kar olajša sledenje izrazom in učinkovito poenostavi integral. Tabelarna metoda deluje tako:

1. Začnite tako, da zapišete funkcije, vključene v integral, v dva stolpca: enega za funkcijo za razlikovanje (u) in drugega za funkcijo za integracijo (dv).
   • Začnite s funkcijo za integracijo (dv) v levem stolpcu in funkcijo za razlikovanje (u) v desnem stolpcu.
2. Nadaljujte z razlikovanjem funkcije v stolpcu u, dokler ne dosežete ničle ali konstante. Na vsakem koraku integrirajte funkcijo v stolpcu dv, dokler ne dosežete točke, kjer nadaljnja integracija ni potrebna.
3. Pomnožite izraze diagonalno in izmenjujte znake (+ in -) za vsak člen. Seštejte te produkte in poiščite rezultat integracije.

Tukaj je primer za ponazoritev metoda tabelarnega povezovanja :

Vrednotimo integral ∫x sin(x) dx.

• Korak 1: Ustvarite tabelo z dvema stolpcema za u (funkcija za razlikovanje) in dv (funkcija za integracijo):

• 2. korak: Razlikujte funkcijo v stolpcu u in integrirajte funkcijo v stolpcu dv:

• 3. korak: Pomnožite člene diagonalno in zamenjajte znake:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Torej, rezultat integrala ∫x sin(x) dx je -x cos(x) + sin(x).

Metoda tabularne integracije je še posebej uporabna pri obravnavanju integralov, ki vključujejo funkcije, ki se ponavljajo pri diferenciaciji ali integraciji, kar omogoča sistematičen in organiziran pristop k iskanju antiizpeljave.

Aplikacije integracije po delih

Integracija po delih ima različne aplikacije v integralnem računu, uporablja se za iskanje integracije funkcije, kjer običajne tehnike integracije odpovejo. Integracijo inverznih in logaritemskih funkcij zlahka najdemo s konceptom integracije po delih.

Našli bomo integracijo logaritemske funkcije in funkcije Arctan z uporabo pravila integracije po delu,

Integracija logaritemske funkcije (log x)

Integracijo inverzne logaritemske funkcije (log x) dosežemo s formulo za integracijo po delu. Integracija je obravnavana spodaj,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Če vzamemo log x kot prvo funkcijo in 1 kot drugo funkcijo.

Uporaba ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

datotečni sistem v linuxu

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Kar je zahtevana integracija logaritemske funkcije.

Integracija inverzne trigonometrične funkcije (tan^-1x)

Integracija inverzne trigonometrične funkcije (tan^-1x) se doseže s formulo integracije po delih. Integracija je obravnavana spodaj,

∫ torej^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Porjavitev^-1x kot prva funkcija in 1 kot druga funkcija.

Uporaba ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. torej^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. torej^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Kar je zahtevana integracija inverzne trigonometrične funkcije.

Realne aplikacije delne integracije

Nekatere običajne uporabe delne integracije v resničnem življenju so:

• Iskanje antiizpeljank
  • V tehniki in fiziki se delna integracija uporablja za iskanje protiodvodov funkcij, ki predstavljajo fizikalne količine. Na primer, v mehaniki se uporablja za izpeljavo enačb gibanja iz enačb sile in pospeška.
• Izdelek Wallis
  • Wallisov produkt, predstavitev neskončnega produkta pi, je mogoče izpeljati s tehnikami delne integracije. Ta izdelek se uporablja na področjih, kot so teorija števil, teorija verjetnosti in obdelava signalov.
• Identiteta funkcije gama
  • Funkcija gama, ki razširja funkcijo faktoriala na kompleksna števila, ima različne aplikacije v matematiki, fiziki in tehniki. Delna integracija se uporablja za dokazovanje identitet, ki vključujejo funkcijo gama, ki so ključne na področjih, kot so teorija verjetnosti, statistična mehanika in kvantna mehanika.
• Uporaba v harmonični analizi
  • Delna integracija igra pomembno vlogo v harmonični analizi, zlasti v Fourierjevi analizi. Uporablja se za izpeljavo lastnosti Fourierjevih transformacij, kot so konvolucijski izrek in lastnosti Fourierjevih vrst. Ti rezultati se uporabljajo na področjih, kot so obdelava signalov, analiza slike in telekomunikacije.

Integracija s formulami delov

Integracijo različnih funkcij lahko izpeljemo s konceptom integracije po delih. Nekatere pomembne formule, pridobljene s to tehniko, so

• ∫ in^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²– x²).dx = ½ . x.√(a²– x²) + a²/2. brez^-1x/a + C

Primeri integracije po delih

Primer 1: Poiščite ∫ e ^x x dx.

rešitev:

Naj bo I = ∫ e^xx dx

Izbira u in v z uporabo pravila ILATE

u = x
v = e^x

Razlikovanje u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Z uporabo formule Integracija po delih,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ e^xdx) dx

⇒ I = xe^x− in^x+ C

⇒ jaz = e^x(x − 1) + C

Primer 2: Izračunajte ∫ x sin x dx.

rešitev:

Naj bo I = ∫ x sin x dx

Izbira u in v z uporabo pravila ILATE

u = x
v = sin x

Razlikovanje u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Z uporabo formule Integracija po delih,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

pretvori char v int java

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Primer 3: Poiščite ∫ sin ⁻¹ x dx.

rešitev:

Naj bo I= ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Izbira u in v z uporabo pravila ILATE

u = greh⁻¹x
v = 1

Razlikovanje u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Z uporabo formule Integracija po delih,

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx

⇒ Jaz = brez⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Naj bo t = 1 − x²

Razlikovanje obeh strani

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Vadbene naloge pri integraciji po delih

1. Integrirajte xe ^x

2. Integriraj x sin(x)

3. Integrirajte x ² ln(x)

4. Vključite e ^x cos(x)

5. Integrirajte ln(x)

Pogosta vprašanja o integraciji po delih

Kaj je integracija po delih?

Integracija po delih je tehnika za iskanje integracije produkta obeh funkcij, kjer običajne tehnike integracije ne uspejo. Integracija s formulo dela je,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Kaj je formula integracije po delih?

Za dve funkciji f(x) in g(x) je integracija po delni formuli:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kje f'(x) je diferenciacija f(x).

Kako izpeljati integracijo s formulo delov?

Integracija s formulo dela je izpeljana z uporabo pravila diferenciacije produkta.

Zakaj uporabljamo formulo integracije po delih?

Integracija po delni formuli se uporablja za iskanje integracije funkcije, ko običajne tehnike diferenciacije ne uspejo. Integracijo inverznih trigonometričnih funkcij in logaritemskih funkcij lahko najdemo z uporabo formule za integracijo po delu

Kakšna je uporaba integracije po delih?

Integracija po delih ima različne aplikacije in njena osnovna uporaba je, da se uporablja za iskanje integracije funkcije, ko je funkcija podana kot produkt funkcij, ki jih ni mogoče nadalje poenostaviti. Na primer ∫ f(x).g(x) dx se doseže z integracijo po delih.