Formule verjetnosti so pomembna matematična orodja, ki se uporabljajo pri izračunu verjetnosti. Preden poznamo verjetnostne formule, moramo na kratko razumeti koncept verjetnosti. Možnost pojava naključnega dogodka je opredeljena z verjetnostjo. Verjetnost je možnost napovedi. Njegove aplikacije segajo na različna področja, vključno s strategijami iger, ustvarjanjem napovedi na podlagi verjetnosti v poslovanju in razvijajočim se področjem umetne inteligence.

V tem članku bomo spoznali pomen in definicijo verjetnostne formule ter kako uporabiti te formule pri izračunu verjetnosti. Vidimo tudi različne izraze, povezane z verjetnostjo, in različne formule za preprosto reševanje matematičnih problemov.

Kazalo

• Kaj je formula verjetnosti?
• Izrazi, povezani z verjetnostno formulo
• Dogodki v verjetnostni formuli
• Različne formule verjetnosti
• Primeri formule verjetnosti

Kaj je formula verjetnosti?

Verjetnostne formule se uporabljajo pri določanju možnosti dogodka tako, da se število ugodnih izidov deli s skupnim možnim izidom. Z uporabo te formule lahko ocenimo verjetnost, povezano z določenim dogodkom.

Matematično lahko to formulo zapišemo kot:

P(A) = število ugodnih izidov / skupno število možnih izidov

Verjetnostna formula izračuna razmerje med ugodnimi izidi in celotnim nizom možnih izidov. Vrednost verjetnosti je v razponu od 0 do 1, kar pomeni, da ugodni izidi ne morejo preseči skupnih izidov in negativna vrednost ugodnih izidov ni mogoča.

učiti se,

• Verjetnost v matematiki
• Teorija verjetnosti

Kako izračunati verjetnost?

Verjetnost dogodka = (Število ugodnih izidov) / (Skupno število možnih izidov za dogodek)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Tukaj P(A) označuje verjetnost dogodka A, kjer je n(E) število ugodnih izidov, n(S) pa skupno število možnih izidov za dogodek.

Če upoštevamo komplementarni dogodek, predstavljen kot P(A’), ki označuje nepojavitev dogodka A, potem bo formula:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’) je nasprotje dogodka A, kar pomeni, da se pojavi bodisi dogodek P(A) bodisi njegov komplement P(A’).

Zato lahko zdaj rečemo; P(A) + P(A’) = 1

učiti se,

• Dogodki v verjetnosti
• Vrste dogodkov v verjetnosti

Izrazi, povezani z verjetnostno formulo

Nekateri najpogostejši izrazi, povezani z verjetnostno formulo, so:

• Poskus: Eksperiment je dejanje ali postopek, ki se izvede za ustvarjanje določenega rezultata.

• Vzorčni prostor: Vzorčni prostor vključuje celotne potencialne rezultate, ki izhajajo iz poskusa. Na primer, ko vržete kovanec, vzorčni prostor vključuje {glavo, rep}.

• Ugoden izid: Ugoden izid je rezultat, ki je v skladu z načrtovanim ali pričakovanim zaključkom. V primeru metanja dveh kock so primeri ugodnih izidov, ki rezultirajo v vsoti 4, (1,3), (2,2) in (3,1).

• Preizkus: Preizkus označuje izvedbo naključnega poskusa.

• Naključni poskus: A Naključni poskus je značilen po natančno opredeljenem naboru možnih rezultatov. Primer naključnega poskusa je met kovanca, kjer je rezultat lahko glava ali rep. To pomeni, da bi bil rezultat negotov.

• dogodek: Dogodek označuje skupne rezultate iz naključnega poskusa.

• Enako verjetni dogodki: Enako verjetni dogodki so tisti dogodki, ki imajo enako verjetnost pojava. Izid enega dogodka ne vpliva na izid drugega.

• Izčrpni dogodki: Do izčrpnega dogodka pride, ko nabor vseh možnih rezultatov pokrije celoten vzorčni prostor.

• Medsebojno izključujoči dogodki: Medsebojno izključujoči dogodki so tiste, ki se ne morejo zgoditi hkrati. Na primer, ko vržemo kovanec, bo rezultat glava ali rep, vendar ne moremo dobiti obojega hkrati.

Dogodki v verjetnostni formuli

V teoriji verjetnosti dogodek predstavlja niz možnih rezultatov, ki izhajajo iz eksperimenta. Pogosto tvori podmnožico celotnega vzorčnega prostora. Če verjetnost dogodka E predstavimo kot P(E), veljajo naslednja načela:

Ko je dogodek E nemogoč, potem je P(E) = 0.

Ko je dogodek E gotov, potem je P(E) = 1.

Verjetnost P(E) je med 0 in 1.

Razmislite o dveh dogodkih, A in B. Verjetnost dogodka A, označena kot P(A), ki je večja od verjetnosti dogodka B, P(B).

Za določen dogodek E bo verjetnostna formula:

P(E)= n(E)/ n(S)

Tu n(E) predstavlja število izidov, ki so ugodni za dogodek E.

n(S) označuje skupno število rezultatov v vzorčnem prostoru.

Različne formule verjetnosti

Spodaj so obravnavane različne verjetnostne formule:

Klasična verjetnostna formula

P(A) = število ugodnih izidov/skupno število možnih izidov

Formula pravila dodajanja

Ko imamo opravka z dogodkom, ki je zveza dveh ločenih dogodkov, na primer A in B, bo verjetnost združitve:

P(A ali B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Formula skupne verjetnosti

Predstavlja skupne elemente, ki sestavljajo različne podmnožice dogodkov A in B. Formulo lahko izrazimo kot:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Pravilo dodajanja za medsebojno izključujoče dogodke

Če se dogodka A in B medsebojno izključujeta, to pomeni, da se ne moreta zgoditi hkrati, je verjetnost, da se zgodi kateri koli dogodek, enaka vsoti njunih ustreznih verjetnosti.

P(A ali B)=P(A)+P(B)

Formula komplementarnega pravila

Če je A dogodek, potem je verjetnost, da ni A, izražena s komplementarnim pravilom:

P(ne A) = 1 – P(A) ali P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Nekatere verjetnostne formule, ki temeljijo na njih, so naslednje:

P(A.A') = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB') + P(A'B) + P(A.B)

Formula pogojnega pravila

V primeru, ko je nastop dogodka A že znan, se bo zgodil dogodek B, kar imenujemo pogojna verjetnost. Lahko se izračuna po formuli:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Verjetnost (pogojno) dogodka B, ko se dogodek A zgodi.

P (A/B): Verjetnost (pogojno) dogodka A, ko se zgodi dogodek B.

Formula relativne frekvence

Formula relativne frekvence temelji na frekvencah, opaženih v podatkih iz resničnega sveta. Ta formula je podana kot

P(A) = število pojavov dogodka A/skupno število poskusov ali opazovanj

Verjetnostna formula s pravilom množenja

V primerih, ko dogodek predstavlja hkratni pojav dveh drugih dogodkov, označenih kot dogodka A in B, je mogoče izračunati verjetnosti, da se oba dogodka zgodita hkrati, z uporabo teh formul:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (v primeru neodvisnih dogodkov)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (v primeru odvisnih dogodkov)

Ločeni dogodek

Disjunktni dogodki so dogodki, ki se nikoli ne zgodijo hkrati. Ti dogodki so znani tudi kot medsebojno izključujoči se dogodki.

P(A∩B) = 0

Bayesov izrek

Bayesov izrek izračuna verjetnost dogodka A glede na pojav dogodka B. Formula Bayesovega izreka je podana kot

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

učiti se, Bayesov izrek

Formula odvisnosti verjetnosti

Odvisne verjetnosti so dogodki, na katere vpliva pojav drugih dogodkov. Formula za odvisno verjetnost je,

P(B in A) = P(A)×P(B | A)

Neodvisna verjetnostna formula

Neodvisna verjetnost so dogodki, na katere pojav drugih dogodkov ne vpliva. Formula za neodvisno verjetnost je,

P(A in B) = P(A)×P(B)

Formula binomske verjetnosti

Formula binomske verjetnosti je podana kot

P(x) = ⁿ C _x · str ^x (1 − p) ^n−x ali P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^r (1 − p) ^n−r

Kjer je n = skupno število dogodkov

r ali x = skupno število uspešnih dogodkov.

p = verjetnost uspeha v enem poskusu.

ⁿC_r= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = verjetnost neuspeha.

učiti se, Binomska porazdelitev

Formula normalne verjetnosti

Formula normalne verjetnosti je podana z:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

učiti se, Normalna porazdelitev

Eksperimentalna verjetnostna formula

Formula za eksperimentalno verjetnost je;

Verjetnost P(x) = število ponovitev dogodka / skupno število poskusov.

Teoretična verjetnostna formula

Teoretična verjetnostna formula je,

P(x) = število ugodnih izidov/ število možnih izidov.

Formula verjetnosti standardnega odklona

Formula verjetnosti standardnega odklona je podana kot

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernoullijeva verjetnostna formula

Naključna spremenljivka X bo imela Bernoullijevo porazdelitev z verjetnostjo p, formula je,

P(X = x) = p ^x (1 – p) ^1−x , za x = 0, 1 in P(X = x) = 0 za druge vrednosti x

Tu je 0 neuspeh in 1 uspeh.

učiti se, Bernoullijeva porazdelitev

10. razred verjetnostne formule

V 10. razredu moramo preučiti osnovno verjetnost, kot je verjetnost metanja kovanca, metanja 2 kovancev, metanja treh kovancev, metanja kocke, metanja dveh kock, verjetnosti izvlečenja karte iz dobro premešanega kompleta. Vsa ta vprašanja je mogoče rešiti z eno samo formulo. Verjetnostna formula razreda 10 je podana kot

P(E) = n(E)/n(s)

Kje,

P(E) je verjetnost dogodka

n(E) je število poskusov, v katerih se je zgodil dogodek

n(S) je število vzorčnega prostora

Verjetnostna formula za 12. razred

Različne formule, uporabljene v verjetnostnem razredu 12, so prikazane spodaj:

Prav tako preverite

• Verjetnost meta kovanca
• Verjetnost kartice
• Statistične formule

Primeri formule verjetnosti

Primer 1: Naključno izberite karto iz standardnega kompleta. Kakšna je verjetnost, da izvlečete karto z ženskim obrazom?

rešitev:

V standardnem kompletu, ki vsebuje 52 kart: Skupni možni rezultati = 52

Število ugodnih dogodkov (ob upoštevanju samo kraljic kot ženskih obrazov) = 4

Zato se verjetnost P(A) izračuna po formuli:

P(A) = število ugodnih izidov ÷ skupno število izidov

= 4/52

= 1/13.

Primer 2: Če je verjetnost dogodka E, označena kot P(E)=0,35, kakšna je verjetnost komplementarnega dogodka 'ni E'?

rešitev:

Glede na to, da je P(E)=0,35, lahko uporabimo komplementarno verjetnostno formulo:

P(E) + P(ne E) = 1

Zamenjava znane vrednosti:

P(ne E) = 1 – P(E)

P(ne E) = 1 – 0,35

Zato je P(ne E) = 0,65

Primer 3: Nevarni požari so zelo redki okoli 1 %, vendar je dim precej pogost okoli 20 % zaradi žarov. Poiščite nevaren ogenj, ko 80% nevarnih požarov proizvaja dim.

rešitev:

Verjetnost nevarnega požara, ko je dim z uporabo Bayesovega izreka:

P(Ogenj|Dim) = {P(Ogenj)P(Dim Ogenj)}/P(Dim)

P(Ogenj)=0,01(1%) in P(Dim|Ogenj)= 0,80 (80%), lahko te vrednosti nadomestimo:

P(Ogenj | Dim)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Ogenj | Dim)=0,018/0,30

(Ogenj | Dim) = 0,06 = 6 %.

Primer 4: V vrečki sta 2 zeleni čebulici, 4 oranžne čebulice in 6 belih čebulic. Ko iz vrečke naključno izberemo čebulico, kakšna je verjetnost, da izberemo bodisi zeleno ali belo čebulico?

rešitev:

Skupno število žarnic v vrečki je 2 zeleni + 4 oranžne + 6 belih = 12 žarnic

Število zelenih žarnic = 2 in število belih žarnic = 6

Verjetnost = (Število zelenih čebulic + Število belih čebulic) / Skupno število čebulic

Verjetnost = (2+6)/12

Verjetnost = 8/12

Verjetnost = 2/3.

Vprašanja za vadbo o verjetnostni formuli

Q1. Iz zbirke frnikol v vrečki – 8 rdečih, 9 modrih in 6 zelenih – se naključno izbereta dve frnikoli brez zamenjave. Kakšna je verjetnost, da sta obe izbrani frnikoli modri?

Q2. V predalu, v katerem je 6 črnih pisal, 4 modra pisala in 7 rdečih pisal, je naključno izžrebano pisalo. Kakšna je verjetnost, da je pero črno ali modro?

Q3. Izvlecite eno karto iz temeljito premešanega kompleta 52 kart in določite verjetnost, da bo karta:

• Bodi kralj.
• Ne biti kralj.

Q4. Po raziskavi 70 % posameznikov uživa v čokoladi, med tistimi čokoladnimi navdušenci pa jih 60 % obožuje tudi vanilijo. Kakšna je verjetnost, da ima posameznik rad vanilijo, glede na njegovo naklonjenost čokoladi?

V5. Določite verjetnost vrženja lihe številke, ko vržete šeststransko kocko.

Formula verjetnosti – pogosta vprašanja

1. Kaj pomeni beseda verjetnost?

Možnost pojava naključnega dogodka je opredeljena z verjetnostjo. Verjetnost je možnost napovedi.

2. Kaj pomeni verjetnostna formula?

Verjetnostne formule se uporabljajo pri določanju možnosti dogodka tako, da se število ugodnih izidov deli s skupnim možnim izidom. Vrednost verjetnosti je v razponu od 0 do 1, kar pomeni, da ugodni izidi ne morejo preseči skupnih izidov in negativna vrednost ugodnih izidov ni mogoča.

3. Kaj pomenita zapis U in ∩ povprečje v verjetnosti?

Simbol U v verjetnosti označuje enakomerno porazdelitev. Po drugi strani pa simbol ∩ označuje presečišče množic. Preprosteje rečeno, presečišče dveh množic je najobsežnejša množica, ki vključuje vse elemente, ki si jih delita obe množici.

4. Kakšna je konvencionalna formula za izračun verjetnosti?

Verjetnost dogodka = (Število ugodnih izidov) / (Skupno število možnih izidov za dogodek)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Tukaj P(A) označuje verjetnost dogodka A, kjer je n(E) število ugodnih izidov, n(S) pa skupno število možnih izidov za dogodek.

5. Kaj je komplementarna formula?

Če je A dogodek, potem je verjetnost, da ni A, izražena s komplementarnim pravilom:

P(ne A) = 1 – P(A) ali P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

markdown podčrtaj

6. Kaj je disjunktni dogodek?

Disjunktni dogodki so dogodki, ki se nikoli ne zgodijo hkrati. Ti dogodki so znani tudi kot medsebojno izključujoči se dogodki.

P(A∩B) = 0.

7. Kaj je Bayesov izrek?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Bayesov izrek izračuna verjetnost dogodka A glede na pojav dogodka B.

8. Kaj je pogojna formula?

V primeru, ko je nastop dogodka A že znan, se bo zgodil dogodek B, kar imenujemo pogojna verjetnost. Lahko se izračuna po formuli:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Verjetnost (pogojno) dogodka B, ko se dogodek A zgodi.

P (A/B): Verjetnost (pogojno) dogodka A, ko se zgodi dogodek B.

9. Kateri so primeri verjetnosti iz resničnega življenja?

Napovedovanje vremena, igre s kartami, politično glasovanje, igre s kockami in metanje kovanca itd. so nekateri primeri verjetnosti