PIKČASTI IN KRIŽNI PRODUKTI NA VEKTORJIH

Količino, ki je označena ne le z velikostjo, ampak tudi s smerjo, imenujemo vektor. Hitrost, sila, pospešek, zagon itd. so vektorji.

Vektorje lahko pomnožimo na dva načina:

Skalarni produkt ali pikčasti produkt
Vektorski produkt ali navzkrižni produkt

Kazalo

Skalarni produkt/točkovni produkt vektorjev

Projekcija enega vektorja na drugega vektorja

Lastnosti skalarnega produkta
Neenakosti na osnovi pikčastega produkta
Navzkrižni/vektorski produkt vektorjev

Lastnosti navzkrižnega produkta
Navzkrižni produkt v determinantni obliki

Pikčasti in križni produkt
Pogosta vprašanja o pikčastih in križnih produktih na vektorjih

Skalarni produkt/točkovni produkt vektorjev

Rezultantni skalarni produkt/točkovni produkt dveh vektorjev je vedno skalarna količina. Razmislite o dveh vektorjih a in b . Skalarni produkt se izračuna kot produkt velikosti a, b in kosinusa kota med tema vektorjema.

Skalarni produkt = |a||b| cos α

tukaj,

|a| = velikost vektorja a,
|b| = velikost vektorja b , in
α = kot med vektorjema.

Vektorja a in b s kotom α med njima

Projekcija enega vektorja na drugega vektorja

Vektor a se lahko projicira na premico l, kot je prikazano spodaj:

CD = projekcija vektorja a na vektor b

Iz zgornje slike je razvidno, da lahko en vektor projiciramo čez drugega. AC je velikost vektorja A. Na zgornji sliki je AD narisan pravokotno na premico l. CD predstavlja projekcijo vektorja a na vektorju b .

Trikotnik ACD je torej pravokoten trikotnik in lahko uporabimo trigonometrične formule.

Če je α mera kota ACD, potem

cos α = CD/AC

ali, CD = AC cos a

Iz slike je razvidno, da je CD projekcija vektorja a na vektor b

protokol udp

Torej lahko sklepamo, da lahko en vektor projiciramo preko drugega vektorja s kosinusom kota med njima.

Lastnosti skalarnega produkta

Skalarni produkt dveh vektorjev je vedno realno število (skalar).
Skalarni produkt je komutativen, tj. a.b =b.a= |a||b| cos α
Če je α 90°, je skalarni produkt enak nič, ker je cos(90) = 0. Torej je skalarni produkt enotskih vektorjev v smereh x, y enak 0.
Če je α 0°, je skalarni produkt produkt velikosti a in b |a||b|.
Skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj je 1.
Skalarni produkt vektorja a s samim seboj je |a|²
Če je α 180⁰, je skalarni produkt za vektorja a in b -|a||b|
Skalarni produkt je distributiven nad seštevanjem

a. ( b + c ) = a.b + a.c

Za vsak skalar k in m potem

l a. (m b ) = km a.b

Če je komponentna oblika vektorjev podana kot:

a = a₁x + a₂in + a₃z

b = b₁x + b₂y + b₃z

potem je skalarni produkt podan kot

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

Skalarni produkt je enak nič v naslednjih primerih:
- Velikost vektorja a je nič
- Velikost vektorja b je nič
- Vektorja a in b sta pravokotna drug na drugega

Neenakosti na osnovi pikčastega produkta

Obstajajo različne neenakosti, ki temeljijo na pikčastem produktu vektorjev, kot so:

Cauchy – Schwartzova neenakost
Neenakost trikotnika

O njih podrobneje razpravljajmo na naslednji način:

Cauchy – Schwartzova neenakost

Po tem principu za katera koli dva vektorja a in b , je velikost pikčastega produkta vedno manjša ali enaka produktu magnitud vektorja a in vektorja b

|a.b| ≤ |a| |b|

Dokaz:

Ker je a.b = |a| |b| cos α

Vemo, da 0

Torej sklepamo, da je |a.b| ≤ |a| |b|

Neenakost trikotnika

Za poljubna dva vektorja a in b , vedno imamo

| a + b | ≤ | a | + | b |

Neenakost trikotnika

Dokaz:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(točkovni produkt je komutativen)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

To dokazuje, da | a + b | ≤ | a | + | b|
ascii od a v Javi

Primeri pikčastega produkta vektorjev

Primer 1. Razmislite o dveh vektorjih, tako da je |a|=6 in |b|=3 ter α = 60°. Poiščite njihov produkt.

rešitev:

a.b = |a| |b| cos α

Torej, a.b = 6.3.cos(60°)

=18(1/2)
hitrost prenosa v arduinu

a.b = 9

Primer 2. Dokaži, da sta vektorja a = 3i+j-4k in vektor b = 8i-8j+4k pravokotna.

rešitev :

Vemo, da so vektorji pravokotni, če je njihov produkt enak nič

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Ker je skalarni produkt enak nič, lahko sklepamo, da sta vektorja pravokotna drug na drugega.

Navzkrižni zmnožek/vektorski zmnožek vektorjev

Bralci so že seznanjeni s tridimenzionalnim desnim pravokotnim koordinatnim sistemom. V tem sistemu vrtenje osi x v nasprotni smeri urinega kazalca v pozitivno os y kaže, da bi desni (standardni) vijak napredoval v smeri pozitivne osi z, kot je prikazano na sliki.

3D pravokotni koordinatni sistem

The vektorski produkt ali navzkrižni produkt dveh vektorjev a in b s kotom α med njima se matematično izračuna kot

a × b = |a| |b| brez α

Upoštevati je treba, da je navzkrižni produkt vektor z določeno smerjo. Rezultanta je vedno pravokotna na a in b.

Tudi, če sta dana dva vektorja,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)inmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), se njihov navzkrižni produkt, označen z a × b, izračuna kot:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Če sta a in b vzporedna vektorja, mora biti rezultanta nič, ker je sin(0) = 0

Lastnosti navzkrižnega produkta

Navzkrižni produkt ustvari vektorsko količino. Rezultanta je vedno pravokotna na a in b.
Navzkrižni produkt vzporednih vektorjev/kolinearnih vektorjev je nič, ker je sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

Navzkrižni zmnožek dveh medsebojno pravokotnih vektorjev z enotsko veličino je enota. (Ker greh(0)=1)
Navzkrižni produkt ni komutativen.

a × b ni enako b × a

Navzkrižni produkt je distribucijski nad seštevanjem

a × ( b + c ) = a × b + a × c

Če je k skalar,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

Če se premikamo v smeri urinega kazalca in vzamemo navzkrižni produkt poljubnih dveh parov enotskih vektorjev, dobimo tretjega, v nasprotni smeri urinega kazalca pa dobimo negativno rezultanto.

Križni produkt v smeri urinega kazalca in nasprotni smeri urinega kazalca

Določiti je mogoče naslednje rezultate:

i × j = k	j × k = i	k × i = j
j × i = -k	i × k= -j	k × j = -i

Navzkrižni produkt v determinantni obliki

Če vektor a je predstavljen kot a = a1x + a2y + a3z in vektor b je predstavljen kot b = b1x + b2y + b3z

Nato navzkrižni produkt a × b se lahko izračuna z uporabo determinantne oblike

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

potem, a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Če sta a in b sosednji stranici paralelograma OXYZ in je α kot med vektorjema a in b.

Potem je površina paralelograma podana z | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektorja a in b kot sosednji stranici paralelograma

java hashset

Primeri od C ross izdelek Vectors

Primer 1. Poiščite navzkrižni produkt dveh vektorjev a in b, če sta njuni velikosti 5 oziroma 10. Glede na to, da je kot med njima 30°.

rešitev:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 pravokotno na a in b

Primer 2. Poiščite ploščino paralelograma, katerega sosednji strani sta

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

rešitev :

Ploščino izračunamo tako, da poiščemo navzkrižni produkt sosednjih stranic

a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Zato je velikost površinesqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}