Diferenciacija trigonometričnih funkcij je izpeljanka trigonometričnih funkcij, kot so sin, cos, tan, cot, sec in cosec. Diferenciacija je pomemben del računa. Opredeljena je kot stopnja spremembe ene količine glede na neko drugo količino. Diferenciacija trigonometričnih funkcij se v resničnem življenju uporablja na različnih področjih, kot so računalniki, elektronika in matematika.

V tem članku bomo spoznali diferenciacijo trigonometričnih funkcij skupaj s formulami, z njimi povezanimi dokazi in njihovimi aplikacijami. Rešili bomo tudi nekaj primerov in dobili odgovore na nekatera pogosta vprašanja o diferenciaciji trigonometričnih funkcij. Začnimo z učenjem na temo diferenciacije trigonometričnih funkcij.

Kaj je diferenciacija?

Diferenciacija funkcije je stopnja spremembe funkcije glede na katero koli spremenljivko. The izpeljanka od f(x) je označen kot f'(x) ali (d /dx)[f(x)].

Postopek razlikovanja trigonometrične funkcije imenujemo diferenciacija trigonometričnih funkcij. Z drugimi besedami, iskanje hitrosti spreminjanja trigonometričnih funkcij glede na kote imenujemo diferenciacija trigonometrične funkcije.

Šest osnovnih trigonometričnih funkcij je sin, cos, tan, cosec, sec in cot. Poiskali bomo odvode vseh trigonometričnih funkcij z njihovimi formulami in dokazom.

Pravilo diferenciacije za trigonometrične funkcije

Diferenciacija šestih osnovnih trigonometričnih funkcij je naslednja:

Dokaz odvoda teh šestih trigonometričnih funkcij lahko preverite na spodnjih povezavah:

Dokaz diferenciacije formule trigonometričnih funkcij

Kot smo razpravljali zgoraj o formulah za vse trigonometrične funkcije, bomo sedaj dokazali zgornje formule diferenciacije trigonometričnih funkcij z uporabo prvega principa odvoda, pravila kvocienta in verižnega pravila s pomočjo limitov.

Diferenciacija sin(x)

Za dokaz odvoda sin x bomo uporabili prvi princip diferenciacije in nekaj osnovnih trigonometričnih identitet in formulo limitov. Trigonometrične identitete in formula za meje, ki se uporabljajo v dokazu, so podane spodaj:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Začnimo z dokazom za diferenciacijo trigonometrične funkcije sin x

Po prvem principu razlikovanja

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [z uporabo 2 in 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Zato je diferenciacija sin x cos x.

Diferenciacija cos(x)

Za dokaz odvoda cos x bomo uporabili prvi princip diferenciacije in nekaj osnovnih trigonometričnih identitet in formulo za limite. Trigonometrične identitete in formula za meje, ki se uporabljajo v dokazu, so podane spodaj:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Začnimo z dokazom za diferenciacijo trigonometrične funkcije cos x

Po prvem principu razlikovanja

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(brez h/h) brez x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [z uporabo 2 in 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

tcp in ip model

Zato je diferenciacija cos x -sin x.

Diferenciacija tan(x)

Za dokaz odvoda tan x bomo uporabili pravilo kvocienta ter nekaj osnovnih trigonometričnih identitet in formulo za limite. Trigonometrične identitete in formula za meje, ki se uporabljajo v dokazu, so podane spodaj:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Začnimo z dokazom za diferenciacijo trigonometrične funkcije tan x

Ker po (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Z uporabo pravila količnika

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [Po 4 in 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sin²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [Po 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [od 2]

Zato je diferenciacija tan x sek ² x.

Diferenciacija cosec(x)

Za dokaz odvoda cosec x bomo uporabili verižno pravilo in nekaj osnovnih trigonometričnih identitet in formulo limitov. Trigonometrične identitete in formula za meje, ki se uporabljajo v dokazu, so podane spodaj:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Začnimo z dokazom za diferenciacijo trigonometrične funkcije cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [z 2]

Uporaba verižnega pravila

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [po 1 in 2]

Zato je diferenciacija cosec x – cosec x cot x.

Diferenciacija sec(x)

Za dokaz odvoda sec x bomo uporabili pravilo kvocienta in nekaj osnovnih trigonometrične identitete in mejna formula . Trigonometrične identitete in formula za meje, ki se uporabljajo v dokazu, so podane spodaj:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Začnimo z dokazom za diferenciacijo trigonometrične funkcije sec x

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [z 2]

Uporaba verižnega pravila

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-brez x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [Od 1 in 2]

Zato je diferenciacija sec x sec x tan x.

Razlikovanje posteljice (x)

Za dokaz odvoda cot x bomo uporabili pravilo kvocienta in nekaj osnovnih trigonometričnih identitet in formulo limitov. Trigonometrične identitete in formula za meje, ki se uporabljajo v dokazu, so podane spodaj:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Začnimo z dokazom za diferenciacijo trigonometrične funkcije cot x

Ker po (1)

cot x = cos x / sin x

(d/dx) posteljica x = (d/dx)[cosx / sin x]

Z uporabo pravila količnika

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [Po 4 in 5]

⇒ (d/dx) posteljica x = [ -sin²x – cos²x] / greh²x

⇒ (d/dx) posteljica x = -[ sin²x + cos²x] / greh²x

java vrednost niza

⇒ (d/dx) posteljica x = -1 / sin²x [Po 3]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² x [od 2]

Zato je diferenciacija cot x -cosec ² x.

Nekatere druge izpeljanke trigonske funkcije

Diferenciacijo trigonometričnih funkcij lahko enostavno izvedemo z uporabo verižnega pravila. Kompleksne trigonometrične funkcije in sestavljene trigonometrične funkcije je mogoče rešiti z uporabo pravilo verige diferenciacije. V naslednjih naslovih bomo podrobneje preučili verižno pravilo in diferenciacijo sestavljenih trigonomičnih funkcij.

• Diferenciacija z uporabo verižnega pravila
• Diferenciacija kompozitne trigonske funkcije

O teh temah se podrobneje pogovorimo.

Verižno pravilo in trigonometrična funkcija

Verižno pravilo pravi, da če je p(q(x)) funkcija, potem je odvod te funkcije podan z zmnožkom odvoda p(q(x)) in odvoda q(x). Za razlikovanje se uporablja verižno pravilo sestavljene funkcije . Verižno pravilo se večinoma uporablja za enostavno razlikovanje sestavljenih trigonapornih funkcij.

Primer: Poiščite odvod f(x) = tan 4x

rešitev:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Z uporabo verižnega pravila

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x) (4)

Diferenciacija kompozitne trigonske funkcije

Za ovrednotenje diferenciacije sestavljenih trigonomičnih funkcij uporabimo verižno pravilo diferenciacije. Sestavljene trigonomične funkcije so funkcije, pri katerih je kot trigonometrične funkcije sam funkcija. Diferenciacijo sestavljenih trigonometričnih funkcij je mogoče enostavno ovrednotiti z uporabo verižnega pravila in diferenciacijskih formul za trigonometrične funkcije.

Primer: Poiščite odvod f(x) = cos(x ² +4)

rešitev:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Z uporabo verižnega pravila

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Kaj so inverzne trigonometrične funkcije?

The inverzne trigonometrične funkcije so inverzne funkcije trigonometričnih funkcij. Obstaja šest inverznih trigonometričnih funkcij: sin^-1, cos^-1, torej^-1, cosec^-1, odd^-1, otroška posteljica^-1. Inverzne trigonometrične funkcije se imenujejo tudi ločne funkcije.

Diferenciacija inverznih trigonometričnih funkcij

Odvodi šestih inverznih trigonometričnih funkcij so naslednji:

Primer: Poiščite odvod f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

rešitev:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Aplikacije za diferenciacijo trigonometričnih funkcij

Obstaja veliko različnih aplikacij diferenciacije trigonometričnih funkcij v resničnem življenju. Sledijo aplikacije diferenciacije trigonometričnih funkcij.

• Naklon tangente in normalne črte na trigonometrično krivuljo je mogoče določiti z diferenciacijo trigonometričnih funkcij.
• Uporablja se lahko tudi za določanje maksimumov in minimumov funkcije.
• Uporablja se tudi na področju računalništva in elektronike.

Prav tako preverite

• Inverzni trigonski derivat
• Protiizpeljanka
• Formule diferenciacije

Vzorci nalog o diferenciaciji trigonskih funkcij

Problem 1: Poiščite odvod f(x) = tan 2x.

rešitev:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Z uporabo verižnega pravila

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x) (2)

⇒ f'(x) = 2sek²2x

2. naloga: Poiščite odvod y = cos x / (4x ² )

rešitev:

y = cos x / (4x²)

Uporaba pravila količnika

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y' = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Problem 3: Ovrednotite odvod f(x) = cosec x + x tan x

rešitev:

f(x) = cosec x + x tan x

linux uredite datoteko

Z uporabo formule in pravila produkta

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

Naloga 4: Poiščite odvod funkcije f(x) = 6x ⁴ cos x

rešitev:

f(x) = 6x⁴cos x

Z uporabo pravila izdelka

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-brez x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴brez x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Problem 5: Ovrednotite odvod: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

rešitev:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Z uporabo pravila izdelka

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Vadbene naloge o diferenciaciji trigonometričnih funkcij

Problem 1: Poiščite odvod y = sin(x) + cos(x).

Problem 2: Izračunajte odvod y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problem 3: Poiščite odvod y = 2sin(3x).

Problem 4: Določite odvod y = tan(5x).

Problem 5: Poiščite odvod y = sin(x) cos(x).

Problem 6: Izračunajte odvod y = cos²(x).

Problem 7: Določite odvod y = tan²(x).

Problem 8: Določite odvod y = tan(x) sec(x).

Pogosta vprašanja o diferenciaciji trigonometričnih funkcij

Kaj je diferenciacija?

Diferenciacija je matematična operacija, ki izračuna hitrost, s katero se funkcija spreminja glede na svojo neodvisno spremenljivko.

Kaj je trigonometrična funkcija?

Trigonometrične funkcije so matematične funkcije, ki povezujejo kote pravokotnega trikotnika z razmerji njegovih stranic.

Kaj so običajne trigonometrične funkcije?

Pogoste trigonometrične funkcije vključujejo sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tan), kosekans (cosec), sekans (sec) in kotangens (cot).

Definirajte diferenciacijo trigonometričnih funkcij.

Metoda diferenciacije trigonometričnih funkcij se imenuje diferenciacija trigonometričnih funkcij.

Kako razlikujete sinusno funkcijo, tj. sin (x)?

Izpeljanka sin (x) je cos (x). V matematičnem zapisu je d/dx(sin(x)) = cos(x).

Kaj dobimo po diferenciaciji kosinusne funkcije, tj. cos (x)?

Izpeljanka cos (x) je -sin (x). V matematičnem zapisu je d/dx(cos(x)) = -sin(x).

b+ drevesa

Kako razlikujete tangentno funkcijo, tj. tan (x)?

Odvod tan(x) je sek²(x), kjer je sec(x) funkcija sekante. V matematičnem zapisu je d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Kakšne so formule za diferenciacijo trigonometričnih funkcij?

Formula za diferenciacijo trigonometričnih funkcij je:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) posteljica x = -cosec²x

Navedite en primer diferenciacije trigonometrične funkcije.

Vzemimo funkcijo f(x) = 2sin(3x).

Z uporabo verižnega pravila,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Katere metode se uporabljajo za izpeljavo diferenciacije trigonometričnih funkcij?

Različni načini, na katere je mogoče izpeljati formulo diferenciacije trigonometričnih funkcij, so:

• Z uporabo prvega principa izpeljank
• Z uporabo Pravilo kvocienta
• Z uporabo verižnega pravila

Kaj je protidiferenciacija trigonometričnih funkcij?

Anti-diferenciacija trigonometričnih funkcij pomeni iskanje integracije trigonometričnih funkcij.