Izpeljanka inverzne trigonometrične funkcije se nanaša na stopnjo spremembe inverzne trigonometrične funkcije. Vemo, da je odvod funkcije hitrost spremembe funkcije glede na neodvisno spremenljivko. Preden se tega naučimo, moramo poznati formule diferenciacije trigonometričnih funkcij. Da bi našli odvod inverzne trigonometrične funkcije, bomo trigonometrično funkcijo najprej enačili z drugo spremenljivko, da bi našli njen inverz, nato pa jo diferencirali z uporabo implicitne diferenciacijske formule.

V tem članku bomo spoznali D izpeljava inverznih trigofunkcij, formule diferenciacije inverznih trigofunkcij, in na podlagi tega reši nekaj primerov. Toda preden se odpravimo naprej, obnovimo koncept jaz nverzne trigonometrične funkcije in implicitna diferenciacija.

• Inverzne trigonometrične funkcije
• Kaj je implicitna diferenciacija?
• Kaj je odvod inverznih trigonometričnih funkcij?
• Dokaz o odvodu inverznih trigonskih funkcij
• Formula inverzne trigonske izpeljanke
• Primeri inverznih trigonografskih izpeljav

Inverzne trigonometrične funkcije

Inverzne trigonometrične funkcije so inverzne funkcije trigonometričnih razmerij, tj. sin, cos, tan, cot, sec in cosec. Te funkcije se pogosto uporabljajo na področjih, kot so fizika, matematika, inženiring in druga raziskovalna področja. Tako kot sta seštevanje in odštevanje inverzi drug drugemu, enako velja za inverz trigonometričnih funkcij.

brez θ = x

⇒ i = s v ⁻¹ x ​

Predstavitev inverznih trigonometričnih funkcij

Predstavljeni so z dodajanjem lok v predponi ali z dodajanjem -1 na potenco.

Inverzni sinus lahko zapišemo na dva načina:

• brez^-1x
• arcsin x

Enako velja za cos in tan.

Opomba: Ne mešajte greha^-1x z (greh x)^-1. So drugačni. Pisanje greha^-1x je način za pisanje inverznega sinusa, medtem ko (sin x)^-1pomeni 1/sin x.

Domena inverznih trigonometričnih funkcij

Vemo, da je funkcija diferenciabilna samo, če je zvezna na tej točki in če je funkcija zvezna na dani točki, potem je ta točka domena funkcije. Zato bi se morali naučiti domene inverznih trigonometričnih funkcij za isto.

Zdaj pa se na kratko naučimo tehnike implicitnega razlikovanja.

Kaj je implicitna diferenciacija?

Implicitno razlikovanje je metoda, ki uporablja verižno pravilo za razlikovanje implicitno definiranih funkcij. Implicitna funkcija je funkcija, ki vsebuje dve spremenljivki namesto ene spremenljivke. V takem primeru lahko včasih funkcijo eksplicitno pretvorimo v eno spremenljivko, vendar to ne velja vedno. Ker na splošno ni lahko eksplicitno najti funkcije in jo nato razlikovati. Namesto tega lahko popolnoma diferenciramo f(x, y), tj. obe spremenljivki, in nato rešimo preostanek enačbe, da poiščemo vrednost f'(x).

Preberite podrobno: Račun v matematiki

Kaj je odvod inverznih trigonometričnih funkcij?

Inverzni trigonometrični odvod je odvod inverznih trigonometričnih funkcij. Šest jih je trigonometrične funkcije in obstaja inverz za vsako od teh trigonometričnih funkcij. To so grehi^-1x, cos^-1x, torej^-1x, cosec^-1x, sekunda^-1x, posteljica^-1x. Z metodo implicitne diferenciacije lahko najdemo odvod inverznih trigonometričnih funkcij. Najprej se naučimo, kaj so odvodi inverznih trigonometričnih funkcij.

• Izpeljanka greha^-1x je d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) za vse x ϵ (-1, 1)
• Izpeljanka cos^-1x je d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) za vse x ϵ (-1, 1)
• Izpeljanka tan^-1x je d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) za vse x ϵ R
• Izpeljanka cosec^-1x je d(cosec^-1x)/dx = -1/ za vse x ϵ R – [-1, 1]
• Izpeljanka razd^-1x je d(sek^-1x)/dx = 1/x za vse x ϵ R – [-1, 1]
• Izpeljanka otroške posteljice^-1x je d(cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) za vse x ϵ R

Slika za inverzni trigonometrični odvod je priložena spodaj:

Zdaj smo se naučili, kaj so odvodi vseh šestih inverznih trigonometričnih funkcij, zdaj se bomo naučili, kako najti odvod šestih inverznih trigonometričnih funkcij.

Dokaz o odvodu inverznih trigonskih funkcij

Inverzne trigonometrične funkcije lahko razlikujemo z uporabo prvega principa in tudi z uporabo implicitne diferenciacijske formule, ki prav tako vključuje uporabo verižnega pravila. Iskanje odvoda inverznih trigonometričnih funkcij z uporabo prvega principa je dolgotrajen postopek. V tem članku se naučimo, kako razlikovati inverzne trigonometrične funkcije z implicitno diferenciacijo. Z naslednjimi koraki lahko najdemo odvod (dy/dx) inverznih trigonskih funkcij

1. korak: Predpostavite trigonometrične funkcije v obliki sin y = x

2. korak: Poiščite odvod zgornje funkcije z implicitno diferenciacijo

3. korak: Izračunajte dy/dx

4. korak: Zamenjajte vrednost trigonometrične funkcije, ki je prisotna v 3. koraku, z uporabo trigonometričnih identitet.

Izpeljanka sin inverza x

Predpostavimo sin y = x

Razlikovanje obeh strani glede na x

⇒ cos in. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Ker vemo, da greh²in + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – sin²in

začne se z javo

⇒ udobno = √(1 – sin²y) = √(1 – x²), saj imamo sin y = x

Če to vrednost cos y vnesemo v enačbo (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²), kjer je y = sin^-1x

Izpeljanka cos inverzne X

Predpostavimo cos y = x

Razlikovanje obeh strani glede na x

⇒ -brez in. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Ker vemo, da greh²in + Cos²y = 1

⇒ brez²y = 1 – cos²in

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), saj imamo cos y = x

Če to vrednost sin y vnesemo v enačbo (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²), kjer je y = cos^-1x

Izpeljanka tan inverznega X

Predpostavimo, da je tan y = x

Razlikovanje obeh strani glede na x

⇒ odd²l. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s²in →(i)

Ker vemo, da sek²in tako²y = 1

⇒ odd²y = 1 + tan²in

⇒ odd²y = (1 + tan²y) = (1 + x²), saj imamo tan y = x

Če to vrednost sek²y v enačbi (i)

dy/dx = 1/(1 + x²), kjer je y = tan^-1x

Izpeljanka inverzne otroške posteljice X

Predpostavimo, da je cot y = x

Razlikovanje obeh strani glede na x

⇒ -cosec²l. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²in →(i)

Ker vemo, da csec²in – posteljica²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + posteljica²in

⇒ cosec²y = (1 + otroška posteljica²y) = (1 + x²), saj imamo cot y = x

Če postavimo to vrednost cosec²y v enačbi (i)

dy/dx = -1/(1 + x²), kjer je y = posteljica^-1x

Izpeljanka sekundnega inverza X

Predpostavimo, da je sec y = x

Razlikovanje obeh strani glede na x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Ker vemo, da sek²in tako²y = 1

⇒ torej²y = sek²in – 1

⇒ tan y = √(sek²y – 1) = √(x²– 1), saj imamo sec y = x

Če to vrednost tan y vnesemo v enačbo (i)

dy/dx = 1/x, kjer je sec y = x in y = sec^-1x

Izpeljanka cosec inverznega X

Predpostavimo cosec y = x

Razlikovanje obeh strani glede na x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Ker vemo, da cosec²in – posteljica²y = 1

⇒ posteljica²y = cosec²in – 1

⇒ posteljica y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1), saj imamo cosec y = x

Če to vrednost tan y vnesemo v enačbo (i)

dy/dx = -1/x kjer je cosec y = x in y = cosec^-1x

Formula inverzne trigonske izpeljanke

Zdaj smo se naučili razlikovati inverzne trigonometrične funkcije, zato si bomo zdaj ogledali formule za odvod inverznih trigonometričnih funkcij, ki jih lahko uporabimo neposredno v nalogah. Spodaj je podana tabela odvoda formule inverzne trigonometrične funkcije.

Preberi več,

• Izpeljava v parametrični obliki
• Izpeljane formule
• Uporaba izpeljanke
• Odvod eksponentne funkcije

Primeri inverznih trigonografskih izpeljav

Primer 1: Razlikovati greh ^-1 (x)?

rešitev:

Pustiti, in = brez ⁻¹( x )

Če vzamemo sinus na obeh straneh enačbe, dobimo

sin y = sin(sin^-1x)

Z lastnostjo inverzne trigonometrije poznamo sin(sin^-1x) = x

sin y = x

Zdaj razlikujemo obe strani glede na x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Lahko ga bolj poenostavimo z uporabo spodnjega opažanja:

brez²in + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {Kot sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Če zamenjamo vrednost, dobimo

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Primer 2: Diferenciraj cos ^-1 (x)?

rešitev:

Pustiti,

primerjaj niz java

in = cos⁻¹( x )

Če vzamemo kosinus na obeh straneh enačbe, dobimo

cos y = cos(cos^-1x)

Z lastnostjo inverzne trigonometrije vemo, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Zdaj razlikujemo obe strani glede na x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Lahko ga bolj poenostavimo z uporabo spodnjega opažanja:

brez²in + cos²y = 1

brez²y + x²= 1 {Kot cos y = x}

brez²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Če zamenjamo vrednost, dobimo

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Primer 3: Razlikujte porjavelost ^-1 (x)?

rešitev:

Pustiti, in = torej⁻¹( x )

pretvori str v int

Če vzamemo porjavelost na obeh straneh enačbe, dobimo

tan y = tan(tan^-1x)

Z lastnostjo inverzne trigonometrije poznamo tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Sedaj razlikujemo obe strani glede na x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sek²x

Lahko ga bolj poenostavimo z uporabo spodnjega opažanja:

sek²in tako²y = 1

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Če nadomestimo vrednost, dobimo

dy/dx = 1/sek²in

dy/dx = 1/(1 + x²)

Primer 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Najdi dy/dx pri x = 1/2?

rešitev:

1. metoda (uporaba implicitnega razlikovanja)

podano, in = cos ⁻¹(–2 x ²)

⇒ cos in = −2 x ²

Razlikovanje obeh strani glede na x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Poenostavljanje

brez²in + cos²y = 1

brez²in + (-2x²)²= 1 {Kot je cos y = -2x²}

brez²y + 4x⁴= 1

brez²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Če dodamo dobljeno vrednost, dobimo

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

2. metoda (uporaba verižnega pravila, kot poznamo diferenciacijo cos obratnega x)

podano, in = cos ⁻¹(–2 x ²)

Razlikovanje obeh strani glede na x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Primer 5: Razlikovati egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

rešitve:

Pustiti,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Razlikovanje obeh strani glede na x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Vprašanja o inverznem trigonu

Preizkusite naslednja vprašanja o Inverse Trig Derivative Questions

V1: Razlikovati greh ^-1 (3x – 4x ³ ) za x ϵ -1/2