Pravilo kvocienta je metoda za iskanje odvoda funkcije, ki je količnik dveh drugih funkcij. Je metoda, ki se uporablja za razlikovanje problemov, kjer je ena funkcija deljena z drugo. Pravilo kvocienta uporabimo, ko moramo najti odvod funkcije oblike: f(x)/g(x).

Spoznajmo pravilo kvocienta v računstvu, njegovo formulo in izpeljavo s pomočjo rešenih primerov.

Opredelitev pravila kvocienta

Pravilo kvocienta je pravilo diferenciacija tistih funkcij, ki so podane v obliki ulomki , kjer sta oba števnik in imenovalec so posamezne funkcije. Pravilo kvocienta je temeljna tehnika v račun za iskanje odvoda funkcije, ki je količnik (razmerje) dveh diferenciabilne funkcije . Ponuja metodo za razlikovanje izrazov, kjer je ena funkcija deljena z drugo.

Recimo, da imamo funkcijo f(x) = g(x)/h(x), potem je diferenciacija f(x), f'(x) najdemo kot,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

ekspertni sistemi

Formula pravila kvocienta

Formula pravila kvocienta je formula, ki se uporablja za iskanje diferenciacije funkcije, ki je izražena kot funkcija kvocienta. Spodaj je formula pravila kvocienta,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Kje,

• u(x) je prva funkcija, ki je diferenciabilna funkcija,
• u'(x) je odvod funkcije u(x),
• v(x) je druga funkcija, ki je diferenciabilna funkcija, in
• v'(x) je odvod funkcije v(x).

Dokaz pravila kvocienta

Pravilo količnika lahko izpeljemo z naslednjimi metodami:

• Uporaba verižnega pravila
• Uporaba implicitne diferenciacije
• Uporaba izpeljanih in mejnih lastnosti

Zdaj pa se o njih podrobneje seznanimo.

Izpeljava pravila kvocienta z uporabo verižnega pravila

Dokazati: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

podano: H(x) = f(x)/g(x)

Dokaz:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Uporaba pravila izdelka,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Uporaba pravila moči,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (x)

Tako je pravilo kvocienta dokazano.

Preberi več:

• Verižno pravilo

Izpeljava pravila kvocienta z uporabo implicitne diferenciacije

Vzemimo diferenciabilno funkcijo f(x), tako da je f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

z uporabo pravila izdelka,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Zdaj rešujem za f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Zamenjava vrednosti f(x) kot, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Tako je pravilo kvocienta dokazano.

Preberi več

1 milijon številka

• Implicitna diferenciacija

Izpeljava pravila kvocienta z uporabo lastnosti izpeljave in omejitve

Vzemimo diferenciabilno funkcijo f(x), tako da je f(x) = u(x)/v(x),

Vemo, da

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Zamenjava vrednosti f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Porazdelitev meje,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/in²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/in²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Kar je zahtevano pravilo kvocienta.

Preberi več

• Lastnosti meja
• Pravila izvedenih finančnih instrumentov

Kako uporabiti pravilo kvocienta pri diferenciaciji?

Za uporabo pravila količnika sledimo naslednjim korakom,

Korak 1: Posamezne funkcije zapiši kot u(x) in v(x).

2. korak: Poiščite odvod posamezne funkcije u(x) in v(x), torej poiščite u'(x) in v'(x). Zdaj uporabite formulo pravila kvocienta,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

3. korak: Poenostavite zgornjo enačbo in dala bo diferenciacijo f(x).

Ta koncept lahko razumemo s pomočjo primera.

Primer: Poiščite f'(x), če je f(x) = 2x ³ /(x+2)

podano,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Če primerjamo s f(x) = u(x)/v(x), dobimo

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Sedaj razlikujemo u(x) in v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Z uporabo pravila kvocienta,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​​)/(x + 1)²

Pravilo zmnožka in kvocienta

Pravilo diferenciacije produkta se uporablja za iskanje diferenciacije funkcije, ko je funkcija podana kot produkt dveh funkcij.

Pravilo razlikovanja izdelkov navaja, da če je P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Medtem ko je kvocientno pravilo diferenciacije se uporablja za razlikovanje funkcije, ki je predstavljena kot delitev dveh funkcij, tj. f(x) = p(x)/q(x).

Nato izpeljava f(x) z uporabo pravilo kvocienta se izračuna kot,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Morati prebrati

• Pravilo produkta v računstvu
• Verižno pravilo
• Formula diferenciacije in integracije
• Logaritemsko diferenciranje
• Osnove računanja
• Uporaba izvedenih finančnih instrumentov

Primeri pravil kvocienta

Rešimo nekaj vzorčnih vprašanj o pravilu kvocienta.

java pridobi trenutni datum

Primer 1: Razlikovati old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

rešitev:

Funkciji števca in imenovalca sta razločljivi.

Uporaba pravila kvocienta,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Primer 2: Diferenciraj, f(x) = tan x.

rešitev:

tan x je zapisan kot sinx/cosx, tj.

kako prenesti youtube video vlc

tan x = (sin x) / (cos x)

Funkciji števca in imenovalca sta razločljivi.

Uporaba pravila kvocienta,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Primer 3: diferenciacija, f(x)= e ^x /x ²

rešitev:

Funkciji števca in imenovalca sta razločljivi.

Uporaba pravila kvocienta,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Primer 4: Razlikovanje, y=frac{cosx}{x^2}

rešitev:

Funkciji števca in imenovalca sta razločljivi.

Uporaba pravila kvocienta,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Primer 5: Diferenciraj, f(p) = p+5/p+7

rešitev:

Funkciji števca in imenovalca sta razločljivi.

Uporaba pravila kvocienta,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Vadbene težave

Tukaj je nekaj praktičnih nalog o pravilu kvocienta, ki jih morate rešiti.

P1. Poiščite odvod f(x) = (x ² + 3)/(brez x)

P2. Poiščite odvod f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Poiščite odvod f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Poiščite odvod f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Pravilo odvajanja kvocienta – pogosta vprašanja

Kaj je kvocientno pravilo diferenciacije?

Pravilo diferenciacije kvocienta je pravilo, ki se uporablja za iskanje diferenciacije funkcije, ki je podana v obliki kvocienta, tj. funkcije, podane kot delitev dveh funkcij.

Kaj je formula pravila kvocienta?

Formula pravila kvocienta je,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

niz nizov v programiranju c

Ta formula daje diferenciacijo funkcije, ki je predstavljena kot f(x)/g(x).

Kako izpeljati formulo pravila kvocienta?

Pravilo količnika je mogoče izpeljati s tremi metodami,

• Z izpeljavo in mejnimi lastnostmi
• Z implicitno diferenciacijo
• Po verižnem pravilu

Kako uporabljati pravilo kvocienta?

Pravilo kvocienta se uporablja za iskanje diferenciacije funkcije, izražene kot delitev dveh funkcij, ki vključuje vse funkcije oblike f(x) in g(x), tako da obstaja individualna diferenciacija f(x) in g(x). in g(x) nikoli ne more biti nič.

Kako najdete odvod funkcije deljenja?

Izvod funkcije deljenja zlahka najdemo s formulo pravila kvocienta, tj. če moramo najti diferenciacijo H(x), tako da je H(x) izražen kot H(x) = f(x)/g(x) potem je njegov derivat izražen kot,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Kaj je pravilo meje kvocienta?

Pravilo kvocienta za meje navaja, da je meja funkcije kvocienta enaka kvocientu meje vsake funkcije.