De Morganov zakon je najpogostejši zakon v teoriji množic in Boolovi algebri ter teoriji množic. V tem članku bomo izvedeli več o De Morganovem zakonu, De Morganovem zakonu v teoriji množic in De Morganovem zakonu v Boolovi algebri skupaj z njegovimi dokazi, tabelami resnic in diagrami logičnih vrat. Članek vključuje tudi rešen primer De Morganovega zakona in pogosta vprašanja o De Morganovem zakonu. Spoznajmo De Morganov zakon.

Kazalo

• Kaj je De Morganov zakon
• De Morganov zakon v teoriji množic
• Prvi De Morganov zakon
• Drugi De Morganov zakon
• Dokaz z uporabo algebre množic
• De Morganov zakon v Boolovi algebri
• Iz formule Morganovega zakona
• Rešeni primeri De Morganovega zakona
• Logične uporabe De Morganovega zakona

Kaj je De Morganov zakon

De Morganov zakon je zakon, ki podaja razmerje med unijo, presekom in komplementi v teoriji množic. V Boolovi algebri podaja razmerje med IN, ALI in komplementi spremenljivke, v logiki pa podaja razmerje med IN, ALI ali zanikanjem stavka. S pomočjo De Morganovega zakona lahko optimiziramo različna logična vezja, ki vključujejo logična vrata, ki nam pomagajo izvesti isto operacijo, vendar z zelo malo aparati.

De Morganov zakon v teoriji množic

De Morganov zakon v teorija množic definira razmerje med unijo, presečiščem in komplementi množic ter je podano za komplement unije in presečišče dveh množic. V teoriji množic obstajata dva De Morganova zakona, ki sta:

• Prvi De Morganov zakon
• Drugi De Morganov zakon

Razumejmo te zakone podrobno, kot sledi:

Prvi De Morganov zakon

Prvi De Morganov zakon navaja to Komplement unije dveh množic je enak preseku komplementov vsake množice.

Naj sta A in B dve množici, potem je prvi De Morganov zakon matematično podan kot:

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Kje

• IN predstavlja operacijo Union med nizi,
• ∩ predstavlja operacijo preseka med množicami in
• ' predstavlja operacijo komplementa na množici.

Imenuje se tudi De Morganov zakon unije.

Podrobnosti o dokazu De Morganovega zakona

Dokaz z uporabo algebre množic

Dokazati moramo, (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Naj bo X = (A ∪ B)' in Y = A' ∩ B'

Naj bo p kateri koli element X, potem p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A ali p ∉ B

⇒ p ∈ A’ in p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (jo)

Ponovno naj bo q kateri koli element Y, potem je q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ in q ∈ B’

⇒ q ∉ A ali q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)'

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

Iz (i) in (ii) je X = Y

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Preberite tudi – Dokaz De-Morganovih zakonov v boolovi algebri

Dokaz z uporabo Vennovega diagrama

Vennov diagram za (A ∪ B)'

Vennov diagram za A' ∩ B'

Iz obeh diagramov lahko jasno rečemo,

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

To je prvi De Morganov zakon.

Drugi De Morganov zakon

To pravi drugi De Morganov zakon Komplement presečišča dveh množic je enak uniji komplementov vsake množice.

Naj sta A in B dve množici, potem je prvi De Morganov zakon matematično podan kot:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Kje

• IN predstavlja operacijo Union med nizi,
• ∩ predstavlja operacijo preseka med množicami in
• ' predstavlja operacijo komplementa na množici.

Imenuje se tudi De Morganov zakon presečišča .

Dokaz z uporabo algebre množic

Drugi De Morganov zakon: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Naj bo X = (A ∩ B)' in Y = A' ∪ B'

Naj bo p poljuben element X, potem p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A in p ∉ B

⇒ p ∈ A’ ali p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Ponovno naj bo q kateri koli element Y, potem je q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ ali q ∈ B’

⇒ q ∉ A in q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)'

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

Iz (i) in (ii) je X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Dokaz z uporabo Vennovega diagrama

Vennov diagram za (A ∩ B)'

Vennov diagram za A’ ∪ B’

Iz obeh diagramov lahko jasno povemo

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

java naključna matematika naključna

To je drugi De Morganov zakon.

De Morganov zakon v Boolovi algebri

Logična algebra De Morganovega zakona definira razmerje med ALI, IN in komplementi spremenljivk ter je podana za komplement IN in ALI dveh vrednosti. V Boolovi algebri obstajata dva De Morganova zakona, ki sta:

• Prvi De Morganov zakon
• Drugi De Morganov zakon

Razumejmo te zakone podrobno, kot sledi:

Prvi De Morganov zakon v Boolovi algebri

Prvi De Morganov zakon navaja to Komplement ALI dveh ali več spremenljivk je enak IN komplementa vsake spremenljivke.

Naj sta A in B dve spremenljivki, potem je matematično prvi De Morganov zakon podan kot:

(A + B)' = A'. B'

Kje

• + predstavlja operator ALI med spremenljivkami,
• . predstavlja operator IN med spremenljivkami in
• ' predstavlja operacijo komplementa na spremenljivki.

Prva logična vrata De Morganovega zakona

V kontekstu logičnih vrat in Boolove algebre De Morganov zakon navaja, da sta oba vezja logičnih vrat, tj. vrata NI dodana izhodu vrat ALI in vrata NI dodana vhodu vrat IN, enakovredna. Ti dve vezji logičnih vrat sta podani na naslednji način:

Prva tabela resnic po De Morganovem zakonu

Tabela resničnosti za prvi De Morganov zakon je podana takole:

Drugi De Morganov zakon v Boolovi algebri

To pravi drugi De Morganov zakon Komplement IN dveh ali več spremenljivk je enak ALI komplementa vsake spremenljivke.

Naj sta A in B dve spremenljivki, potem je matematično drugi De Morganov zakon podan kot:

(A . B)' = A' + B'

Kje

• + predstavlja operator ALI med spremenljivkami,
• . predstavlja operator IN med spremenljivkami in
• ' predstavlja operacijo komplementa na spremenljivki.

Drugi De Morganov zakon Logic Gates

V kontekstu logičnih vrat in Boolove algebre De Morganov zakon navaja, da sta oba vezja logičnih vrat, tj. vrata NI dodana izhodu vrat IN in vrata NI dodana vhodu vrat ALI, enakovredna. Ti dve vezji logičnih vrat sta podani na naslednji način:

Druga tabela resnic po De Morganovem zakonu

Tabela resnic za drugi De Morganov zakon je podana takole:

Iz Morganove zakonske logike

V De Morganovem zakonu za logiko so spodnji predlogi tavtologija:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Kje,

• ∧ predstavlja konjunkcijo izjav,
• ∨ predstavlja disjunkcijo izjav,
• ~ predstavlja zanikanje izjave in
• ≡ predstavlja enakovrednost izjav.

Iz formule Morganovega zakona

Zberimo vse formule za De Morganov zakon na naslednjem seznamu.

Za teorijo množic:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Za Boolovo algebro:

• (A + B)' = A'. B'
• (A . B)' = A' + B'

Za logiko:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Rešeni primeri De Morganovega zakona

1. problem: če je U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} in B = {2, 3, 9}. Dokažite De Morganov drugi zakon.

rešitev:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} in B = {2, 3, 9}

Dokazati: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A’ = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Problem 2: Glede na to, da je U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} in B = {4, 6, 9}. Dokaži De Morganov prvi zakon.

rešitev:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} in B = {4, 6, 9}

Dokazati: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A’ = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Zato dokazano

Problem 3: Poenostavite logični izraz: Y = [(A + B).C]’

rešitev:

Y = [(A + B).C]'

Uporaba De Morganovega zakona (A. B)' = A' + B'

Y = (A + B)' + C'

Uporaba De Morganovega zakona (A + B)' = A'. B'

Y = A'. B' + C'

Problem 4: Poenostavite logični izraz: X = [(A + B)’ + C]’

rešitev:

X = [(A + B)' + C]'

Uporaba De Morganovega zakona (A + B)' = A'. B'

X = [(A + B)’]’. C’

X = (A + B). C’

Preverite te vire za več:

Predstavite primere De Morganovega zakona

Iz praktičnih primerov Morganovega zakona

Primer 1: nadevi za pico

Predstavljajte si, da ste na zabavi s pico in vam rečejo, da lahko izberete kateri koli preliv, razen gob in oliv skupaj.

• Uporaba De Morganovega zakona : To pomeni, da če ne želite gob in oliv (Ne (Mushrooms and Olives)), lahko na vaši pici ne boste imeli gob (Not Mushrooms) ali ne boste imeli oliv (Not Olives). Torej, lahko bi imeli pico samo z gobami, samo z olivami ali nič!

Primer 2: Knjižnične knjige

Vaš učitelj pravi, da v učilnico ne smete prinašati knjig o čarovnikih ali zmajih.

• Uporaba De Morganovega zakona : To pomeni, da če vam niso dovoljene knjige o čarovnikih ali zmajih (Ne (Čarovniki ali Zmaji)), ne morete prinesti knjig o čarovnikih (Ne čarovniki) in ne morete prinesti knjig o zmajih (Ne zmaji). Torej, knjige o vesolju ali živalih so še vedno v redu!

Primer 3: Igranje zunaj

Tvoja mama pravi, da se ne moreš igrati zunaj, če dežuje in je hkrati hladno.

• Uporaba De Morganovega zakona : To pomeni, da če ne greste ven, ker dežuje in je hladno (Not (Raining and Cold)), ne bi šli ven, če samo dežuje (Not Raining) ali samo hladno (Not Cold). Če pa je sončno in toplo, ste pripravljeni!

Primer 4: Izbira filma

Vaš prijatelj pravi, da ne želi gledati filma, ki je grozljiv ali dolgočasen.

• Uporaba De Morganovega zakona : To pomeni, da če vaš prijatelj ne želi strašljivega ali dolgočasnega filma (Not (Scary or Boring)), noče grozljivega filma (Not Scary) in noče dolgočasnega filma (Not Boring) . Torej bi bil smešen ali vznemirljiv film popoln!

Logične uporabe De Morganovega zakona

Iz Morganovega zakona – pogosta vprašanja

Navedite De Morganov prvi zakon v teoriji množic.

De Morganov prvi zakon v teoriji množic pravi, da je komplement združitve dveh množic enak preseku njunih posameznih komplementov.

Navedite drugi De Morganov zakon v Boolovi algebri.

Drugi De Morganov zakon v Boolovi algebri pravi, da je komplement IN dveh ali več spremenljivk enak ALI komplementa vsake spremenljivke.

Zapišite formulo za De Morganov zakon v teoriji množic.

Formula za De Morganov zakon v teoriji množic:

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Zapišite formulo za De Morganov zakon v Boolovi algebri.

Formula za De Morganov zakon v Boolovi algebri:

(i) (A + B)' = A'. B'

(ii) (A. B)' = A' + B'

Napišite nekaj aplikacij De Morganovega zakona.

Nekatere uporabe De Morganovega zakona so minimiziranje zapletenega Boolovega izraza in njegovo poenostavljanje.

Kako dokazati De Morganov zakon?

De Morganov zakon v teoriji množic je mogoče dokazati z Vennovimi diagrami, De Morganov zakon v Boolovi algebri pa z resnicnimi tabelami.