Boolov algebra je vrsta algebre, ki je ustvarjena z delovanjem binarnega sistema. Leta 1854 je George Boole, angleški matematik, predlagal to algebro. To je različica Aristotelove propozicionalne logike, ki uporablja simbola 0 in 1 ali True in False. Logična algebra se ukvarja z binarnimi spremenljivkami in logičnimi operacijami.
Boolov algebra je temeljnega pomena pri razvoju digitalnih elektronskih sistemov, saj vsi uporabljajo koncept Boolov algebra za izvajanje ukazov. Poleg digitalne elektronike se ta algebra uporablja tudi v teoriji množic, statistiki in drugih vejah matematike.
V tem članku bomo podrobno spoznali osnovne logične operacije, logične izraze, tabele resničnosti, logične zakone in druge.
Kazalo
- Operacije Boolove algebre
- Tabela Boolean Algbera
- Logični izraz in spremenljivke
- Terminologije Boolove algebre
- Resnične tabele v Boolovi algebri
- Pravila Boolove algebre
- Zakoni za Boolovo algebro
- Teoremi Boolove algebre
- Rešeni primeri Boolove algebre
Operacije Boolove algebre
Obstajajo različne operacije, ki se uporabljajo v Boolovi algebri, vendar so osnovne operacije, ki tvorijo osnovo Boolove algebre.
- Negacija ali NE delovanje
- Konjunkcija ali IN
- Disjunkcija ali operacijo ALI

Izraz logične algebre
Preverite: Osnove Boolove algebre v digitalni elektroniki
Te operacije imajo svoje simbole in prednost, spodnja tabela pa prikazuje simbol in prednost teh operaterjev.
Operater | Simbol | Prednost primerjava leva in tigra |
---|---|---|
NE | ‘ (ali) ⇁ | najprej |
IN | . (ali) ∧ | drugič |
ALI | + (ali) ∨ | Tretjič |
Te operacije lahko enostavno definiramo z uporabo dveh logičnih spremenljivk.
Vzemimo dve logični spremenljivki A in B, ki imata lahko katero koli od dveh vrednosti 0 ali 1, kar pomeni, da sta lahko IZKLOPLJENI ali VKLOPLJENI. Potem so te operacije razložene kot,
Operacija negacija ali NE
Uporabljati NE operacija obrne vrednost logične spremenljivke z 0 na 1 ali obratno. To lahko razumemo kot:
- Če je A = 1, imamo z uporabo operacije NE (A)' = 0
- Če je A = 0, imamo z uporabo operacije NE (A)' = 1
- Operacijo negiranja predstavimo tudi kot ~A, tj. če je A = 1, je ~A = 0
Preverite: Lastnosti Boolove algebre
Konjunkcija ali operacija IN
Uporabljati IN operacija izpolnjuje pogoj, če sta obe vrednosti posameznih spremenljivk resnični in če je katera od vrednosti napačna, potem ta operacija daje negativen rezultat. To lahko razumemo kot,
- Če je A = True, B = True, potem A . B = res
- Če je A = True, B = False ali A = false, B = True, potem A . B = napačno
- Če je A = False, B = False, potem A . B = napačno
Preverite: Boolov algebrski izrek
Operacija disjunkcije (ALI).
Uporabljati ALI operacija izpolnjuje pogoj, če je katera koli vrednost posameznih spremenljivk resnična, daje negativen rezultat le, če sta obe vrednosti napačni. To lahko razumemo kot,
- Če je A = True, B = True, potem je A + B = True
- Če je A = True, B = False ali A = false, B = True, potem je A + B = True
- Če je A = False, B = False, potem je A + B = False
Tabela Boolove algebre
Spodaj je podan izraz za Boolovo algebro
Delovanje | Simbol | Opredelitev |
---|---|---|
IN delovanje | ⋅ ali ∧ | Vrne true samo, če sta oba vnosa resnična. |
ALI delovanje | + ali ∨ | Vrne true, če je vsaj en vnos resničen. |
NE delovanje | ¬ ali ~ | Obrne vnos. |
Operacija XOR | ⊕ | Vrne true, če je točno en vnos resničen. |
Delovanje NAND | ↓ | Vrne false samo, če sta oba vnosa resnična. |
NOR operacija | ↑ | Vrne false, če je vsaj en vnos resničen. |
Operacija XNOR | ↔ | Vrne true, če sta oba vhoda enaka. |
Logični izraz in spremenljivke
Logični izraz je izraz, ki proizvede logično vrednost, ko je ovrednoten, tj. proizvede bodisi resnično ali napačno vrednost. Medtem ko so logične spremenljivke spremenljivke, ki shranjujejo logična števila.
P + Q = R je logična besedna zveza, v kateri so P, Q in R logične spremenljivke, ki lahko shranijo samo dve vrednosti: 0 in 1. 0 in 1 sta sinonima za false in True in se včasih uporabljata v logični algebri uporabljamo tudi Da namesto True in Ne namesto False.
Tako lahko rečemo, da so izjave, ki uporabljajo logične spremenljivke in delujejo na logičnih operacijah, logični izrazi. Nekateri primeri logičnih izrazov so:
- A + B = res
- A.B = res
- (A)' = Napačno
Preverite: Aksiomi Boolove algebre
Terminologije Boolove algebre
Obstajajo različne terminologije, povezane z Boolovo algebro, ki se uporabljajo za razlago različnih parametrov Boolov algebra . To vključuje,
serijski v postgresu
- Boolov algebra
- Logične spremenljivke
- Logična funkcija
- Dobesedno
- Dopolnjujejo
- Tabela resnice
Zdaj bomo v spodnjem članku razpravljali o pomembni terminologiji Boolove algebre,
Boolov algebra
Veja algebre, ki se ukvarja z binarnimi operacijami ali logičnimi operacijami, se imenuje Boolov algebra. Uvedel ga je George Boole sredi 19. stoletja. Uporablja se za analizo in manipulacijo logičnih funkcij v binarnih spremenljivkah. Obširno se uporablja na različnih področjih, kot so digitalno logično načrtovanje, računalništvo in telekomunikacije.
Logične spremenljivke
Spremenljivke, ki se uporabljajo v logični algebri in shranjujejo logični vrednosti 0 in 1, se imenujejo logične spremenljivke. Uporabljajo se za shranjevanje resničnih ali lažnih vrednosti. Logične spremenljivke so temeljne pri predstavljanju logičnih stanj ali predlogov v logičnih izrazih in funkcijah.
Logična funkcija
Funkcija Boolove algebre, ki je oblikovana z uporabo logičnih spremenljivk in logičnih operatorjev, se imenuje logična funkcija. Nastane s kombiniranjem logičnih spremenljivk in logičnih izrazov, kot so IN, ALI in NE. Uporablja se za modeliranje logičnih odnosov, pogojev ali operacij.
Dobesedno
Spremenljivka ali komplement spremenljivke v Boolovi algebri se imenuje literal. Literali so osnovni gradniki logičnih izrazov in funkcij. Predstavljajo operande v logičnih operacijah.
Dopolnjujejo
Inverzna vrednost logične spremenljivke se imenuje komplement spremenljivke. Komplement 0 je 1 in komplement 1 je 0. Predstavljen je z ' ali (¬) nad spremenljivko. Komplementi se uporabljajo za predstavitev logičnih negacij v logičnih izrazih in funkcijah.
Tabela resnice
Tabela, ki vsebuje vse možne vrednosti logičnih spremenljivk in kombinacijo spremenljivke skupaj z dano operacijo, se imenuje tabela resnic. Število vrstic v tabeli resnic je odvisno od skupnega števila logičnih spremenljivk, uporabljenih v tej funkciji. Podana je z uporabo formule,
Število vrstic v tabeli resnic = 2 n
kjer je n število uporabljenih logičnih spremenljivk.
Preverite:
- Teorija množic
- Statistika
Resnične tabele v Boolovi algebri
Tabela resnic predstavlja vse kombinacije vhodnih vrednosti in izhodov v obliki tabele. V njej so prikazane vse možnosti vhoda in izhoda in od tod tudi ime tabela resnic. V logičnih problemih se tabele resnic običajno uporabljajo za predstavitev različnih primerov. T ali 1 pomeni »True« in F ali 0 pomeni »False« v tabeli resničnosti.
Primer: Narišite tabelo resničnosti pogojev A + B in A.B, kjer sta A in b logični spremenljivki.
rešitev:
Zahtevana tabela resnic je,
A | B | X = A + B | Y = A.B |
---|---|---|---|
T | T | T | T |
T | F | T | F |
F | T | T | F |
F | F | F | F |
Pravila Boolove algebre
V Boolovi algebri obstajajo različna temeljna pravila za logično izražanje.
- Binarna predstavitev: V Boolovi algebri imajo lahko spremenljivke samo dve vrednosti, 0 ali 1, kjer 0 predstavlja nizko in 1 predstavlja visoko. Te spremenljivke predstavljajo logična stanja sistema.
- Predstavitev dopolnila: Komplement spremenljivk je predstavljen z (¬) ali (‘) nad spremenljivko. To kaže na logično zanikanje ali inverzijo vrednosti spremenljivke. Torej je komplement spremenljivke A mogoče predstaviti z
overline{A} , če je vrednost A=0, potem je njegov komplement 1. - ALI operacija: Operacija ALI je predstavljena z (+) med spremenljivkami. Operacija ALI vrne true, če je vsaj eden od operandov resničen. Za primere vzemimo tri spremenljivke A,B,C, operacijo ALI lahko predstavimo kot A+B+C.
- IN delovanje: Operacija IN je med spremenljivkami označena z (.). Operacija IN vrne true le, če so vsi operandi resnični. Za primere vzemimo tri spremenljivke A,B,C in operacijo IN lahko predstavimo A.B.C ali ABC.
Zakoni za Boolovo algebro
Osnovni zakoni Boolove algebre so dodani v spodnji tabeli,
Zakon | ALI oblika | IN obrazec |
---|---|---|
Zakon o identiteti | P + 0 = P | P.1 = P |
Idempotentni zakon | P + P = P | P.P = P |
Komutativno pravo | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
Asociativno pravo | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
Distributivni zakon | P + QR = (P + Q). (P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
Inverzijski zakon | (A')' = A | (A')' = A |
Iz Morganovega zakona | (P + Q)' = (P)'. (Q)' | (P.Q)' = (P)' + (Q)' |
Spoznajmo te zakone podrobneje.
Zakon o identiteti
V Boolovi algebri imamo istovetne elemente za operacije IN(.) in ALI(+). Zakon identitete navaja, da imamo v boolovi algebri takšne spremenljivke, da pri operaciji IN in ALI dobimo enak rezultat, tj.
- A + 0 = A
- A.1 = A
Komutativno pravo
Binarne spremenljivke v Boolovi algebri sledijo komutativnemu zakonu. Ta zakon navaja, da je delovanje logičnih spremenljivk A in B podobno delovanju logičnih spremenljivk B in A. To pomeni,
- A. B = B. A
- A + B = B + A
Asociativno pravo
Asociativni zakon pravi, da je vrstni red izvajanja Boolovega operatorja nelogičen, saj je njihov rezultat vedno enak. To lahko razumemo kot,
- ( A. B ) . C = A. (B.C)
- (A + B) + C = A + (B + C)
Distributivni zakon
Logične spremenljivke prav tako sledijo zakonu distribucije in izraz za zakon distribucije je podan kot:
- A . (B + C) = (A . B) + (A . C)
Inverzijski zakon
Inverzijski zakon je edinstven zakon Boolove algebre, ki pravi, da je komplement komplementa katerega koli števila število samo.
- (A')' = A
Poleg teh so spodaj navedeni drugi zakoni:
IN zakon
Zakon IN Boolove algebre uporablja operator IN in zakon IN je,
- A . 0 = 0
- A . 1 = A
- A . A = A
ALI zakon
Zakon ALI Boolove algebre uporablja operator ALI in zakon ALI je,
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
Imenujejo se tudi De Morganovi zakoni Iz Morganovega izreka . So najpomembnejši zakoni v Boolov algebra in ti so dodani spodaj pod naslovom Teorem Boolove algebre
Teoremi Boolove algebre
V Boolovi algebri sta zelo pomembna dva osnovna izreka, in sicer De Morganovi prvi zakoni in De Morganovi drugi zakoni. Imenujejo se tudi De Morganovi izreki. Zdaj pa se podrobneje seznanimo z obema.
De Morganovi prvi zakoni
zbirke java
Tabela resnice za isto je navedena spodaj:
p | Q | (P)' | (Q)' | (P.Q)' | (P)' + (Q)' |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | T | T |
F | T | T | F | T | T |
F | F | T | T | T | T |
Jasno lahko vidimo, da so resničnostne vrednosti za (P.Q)' enake resničnostnim vrednostim za (P)' + (Q)', kar ustreza istemu vnosu. Tako je De Morganov prvi zakon resničen.
Iz Morganovih drugih zakonov
Izjava: Komplement vsote (ALI) dveh logičnih spremenljivk (ali izrazov) je enak produktu (AND) komplementa vsake logične spremenljivke (ali izraza).
(P + Q)' = (P)'. (Q)'
Dokaz:
Tabela resnice za isto je navedena spodaj:
p | Q | (P)' | (Q)' | (P + Q)' | (P)'. (Q)' |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | F | F |
F | T | T | F | F | F |
F | F | T | T | T | T |
Jasno lahko vidimo, da so resničnostne vrednosti za (P + Q)' enake resničnostnim vrednostim za (P)'.(Q)', kar ustreza istemu vnosu. Tako je De Morganov drugi zakon resničen.
Preberi več,
Rešeni primeri Boolove algebre
Narišite tabelo resnic za P + P.Q = P
rešitev:
Resnična tabela za P + P.Q = P
p Q P.Q P + P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F V tabeli resnic lahko vidimo, da so resničnostne vrednosti za P + P.Q popolnoma enake kot P.
Narišite tabelo resnic za P.Q + P + Q
rešitev:
Tabela resnic za P.Q + P + Q
p Q P.Q P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Rešiti
rešitev:
Uporaba De Morganovega zakona
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Uporaba distribucijskega zakona
kaj je hibernacija
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Torej, poenostavljeni izraz za dano enačbo
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Zaključek
Boolean Algebra služi kot temeljni okvir za predstavljanje in manipuliranje logičnih izrazov z uporabo binarnih spremenljivk in logičnih operatorjev. Ima ključno vlogo na različnih področjih, kot so načrtovanje digitalne logike, računalniško programiranje in analiza vezij. Z zagotavljanjem sistematičnega načina za opisovanje in analizo logičnih odnosov Boolean Algebra omogoča razvoj kompleksnih sistemov in algoritmov. Njegova načela in operacije, vključno z IN, ALI, NE, XOR, NAND, NOR in XNOR, tvorijo gradnike za načrtovanje logičnih vezij, pisanje učinkovite kode in reševanje logičnih problemov.
Boolov algebra - pogosta vprašanja
Kaj je Boolov algebra?
imenovana tudi Boolov algebra Logična algebra je veja matematike, ki se ukvarja z logičnimi spremenljivkami, kot sta 0 in 1.
Kaj so glavni logični operatorji?
Obstajajo trije glavni logični operaterji, ki so,
- IN (veznik)
- ALI (disjunkcija)
- NE (negacija)
Kako minimizirati logično funkcijo?
Obstaja več metod za minimiziranje logičnih funkcij, vključno z:
- Algebrska poenostavitev:
- Zemljevidi Karnaugh (K-Maps):
- Algoritem Quine-McCluskey:
- Metoda tabeliranja:
- Pogoji brez skrbi:
Kakšne so aplikacije Boolove algebre?
Boolov algebra ima različne aplikacije. Uporablja se za poenostavitev logičnih vezij, ki so hrbtenica sodobne tehnologije.
Kaj 0 predstavlja v Boolovi algebri?
0 in Boolov algebra predstavlja pogoj False ali predstavlja pogoj za izklop.
Kaj 1 predstavlja v Boolovi algebri?
1 in Boolov algebra predstavlja pogoj True ali pogoj vklopa.
Kaj so zakoni Boolove algebre?
Zakoni Boolove algebre so pravila za manipulacijo logičnih izrazov z binarnimi spremenljivkami, zagotavljanje doslednosti in poenostavitve pri operacijah, kot so seštevanje, množenje in dopolnjevanje, kar je ključnega pomena na področjih, kot sta digitalna elektronika in računalništvo.
Katerih je 5 zakonov Boolove algebre?
Boolov algebra ureja pet primarnih zakonov, ki služijo kot osnova za manipulacijo logičnih izrazov:
1. Pravo identitete za IN
2. Zakon o identiteti za OR
3. Zakon o dopolnitvi za AND
4. Dopolnilni zakon za OR
5. Idempotentni zakon
Kateri so 3 zakoni Boolove logike?
Trije temeljni zakoni Boolove logike so
- Zakon o identiteti (dodajanje ničle ali množenje z ena ohrani spremenljivko nespremenjeno)
- Zakon o prevladi (če dodamo spremenljivko njenemu komplementu, dobimo 1, če jo pomnožimo z njenim komplementom, dobimo 0)
- Komutativni zakon (vrstni red spremenljivk lahko zamenjate pri seštevanju ali množenju, ne da bi spremenili rezultat).
Kaj je De Morganov izrek?
De Morganov izrek trdi, da t je komplement logične operacije IN enakovreden operaciji ALI komplementov posameznih členov, in obratno. To je temeljno načelo Boolove algebre, ki se uporablja za poenostavitev logičnih izrazov in optimizacijo logičnih vezij.