Kovariančna matrika je vrsta matrike, ki se uporablja za opis vrednosti kovariance med dvema elementoma v naključnem vektorju. Znana je tudi kot matrika variance-kovariance, ker je varianca vsakega elementa predstavljena vzdolž glavne diagonale matrike, kovarianca pa je predstavljena med nediagonalnimi elementi. Kovariančna matrika je običajno kvadratna matrika. Je tudi pozitivno poldoločen in simetričen. Ta matrika je uporabna, ko gre za stohastično modeliranje in analizo glavnih komponent.

Kaj je kovariančna matrika?

The varianca -kovariančna matrika je a kvadratna matrika z diagonalnimi elementi, ki predstavljajo varianco, in nediagonalnimi komponentami, ki izražajo kovarianco. Kovarianca spremenljivke ima lahko katero koli realno vrednost - pozitivno, negativno ali nič. Pozitivna kovarianca nakazuje, da sta spremenljivki pozitivno povezani, medtem ko negativna kovarianca nakazuje, da nista. Če dva elementa ne variirata skupaj, imata ničelno kovarianco.

Nauči se več, Diagonalna matrica

Primer kovariančne matrike

Recimo, da obstajata 2 niza podatkov X = [10, 5] in Y = [3, 9]. Varianca niza X = 12,5 in varianca niza Y = 18. Kovarianca med obema spremenljivkama je -15. Kovariančna matrika je naslednja:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

Formula kovariančne matrike

Splošna oblika kovariančne matrike je podana takole:

kje,

• Varianca vzorca: kjer (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Primer kovarinacije: (x₁, in₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Varianca populacije: kjer (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Kovarianca populacije: (x_n, in_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

tukaj, m je povprečje prebivalstva

overline x je povprečje vzorca

n je število opazovanj

x _jaz je opazovanje v naboru podatkov x

Oglejmo si obliko kovariančne matrike 2 ⨯ 2 in 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 kovariančna matrika

Vemo, da v 2 ⨯ 2 matrica obstajata dve vrstici in dva stolpca. Zato lahko 2 ⨯ 2 kovariančno matriko izrazimo kotegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Kovariančna matrika

V matriki 3⨯3 so 3 vrstice in 3 stolpci. Vemo, da so v kovariančni matriki diagonalni elementi varianca, nediagonalni elementi pa kovarianca. Zato je 3⨯3 kovariančna matrika lahko podana kotegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Kako najti kovariančno matriko?

Razsežnosti kovariančne matrike so določene s številom spremenljivk v danem nizu podatkov. Če sta v nizu le dve spremenljivki, bi imela kovariančna matrika dve vrstici in dva stolpca. Podobno, če ima nabor podatkov tri spremenljivke, potem ima njegova kovariančna matrika tri vrstice in tri stolpce.

Podatki se nanašajo na ocene, ki so jih dosegle Anna, Caroline in Laura pri psihologiji in zgodovini. Naredite kovariančno matriko.

Upoštevati je treba naslednje korake:

Korak 1: Poiščite povprečje spremenljivke X. Seštejte vsa opažanja v spremenljivki X in dobljeno vsoto delite s številom členov. Tako je (80 + 63 + 100)/3 = 81.

2. korak: Od vseh opazovanj odštejte povprečje. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

3. korak: Vzemite kvadrate zgoraj dobljenih razlik in jih nato seštejte. Tako (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

4. korak: Poiščite varianco X tako, da vrednost, dobljeno v 3. koraku, delite z 1 manj kot skupno število opazovanj. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

5. korak: Podobno ponovite korake od 1 do 4, da izračunate varianco Y. Var(Y) = 633.

6. korak: Izberite par spremenljivk.

7. korak: Odštejte povprečje prve spremenljivke (X) od vseh opazovanj; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

8. korak: Enako ponovite za spremenljivko Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

9. korak: Pomnožite ustrezne člene: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

10. korak: Poiščite kovarianco tako, da seštejete te vrednosti in jih delite z (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

11. korak: Za razporeditev izrazov uporabite splošno formulo za kovariančno matriko. Matrica postane:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Lastnosti kovariančne matrike

Lastnosti kovariančne matrike so navedene spodaj:

• Kovariančna matrika je vedno kvadratna, kar pomeni, da je število vrstic v kovariančni matriki vedno enako številu stolpcev v njej.
• Kovariančna matrika je vedno simetrična, kar pomeni, da je prestaviti kovariančne matrike je vedno enak izvirni matriki.
• Kovariančna matrika je vedno pozitivna in poldoločena.
• The lastne vrednosti kovariančne matrike so vedno realni in nenegativni.

Preberi več,

• Vrste matrik
• Matrično množenje
• Varianca in standardni odklon

Rešeni primeri na kovariančni matriki

Primer 1: Ocene, ki so jih dosegli 3 študenti pri fiziki in biologiji, so podane spodaj:

Iz zgornjih podatkov izračunajte kovariančno matriko.

rešitev:

Vzorčna kovariančna matrika je podana zfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Tukaj, μ_x= 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Torej, μ_in= 60, n = 3

var(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

Zdaj je cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Matrika kovariance populacije je podana kot:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Primer 2. Pripravite matriko kovariance populacije iz naslednje tabele:

rešitev:

Varianca populacije je podana zfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Tukaj, μ_x= 56,5, n = 4

var(x) = [(68 – 56,5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²] / 4 = 104,75

Torej, μ_in= 30, n = 4

var(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Zdaj je cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

Matrika kovariance populacije je podana kot: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

Primer 3. Interpretirajte naslednjo kovariančno matriko:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

rešitev:

1. Diagonalni elementi 60, 30 in 80 označujejo varianco podatkovnih nizov X, Y oziroma Z. Y prikazuje najnižjo varianco, medtem ko Z prikazuje največjo varianco.
2. Kovarianca za X in Y je 32. Ker je to pozitivno število, pomeni, da ko se X poveča (ali zmanjša), se poveča (ali zmanjša) tudi Y.
3. Kovarianca za X in Z je -4. Ker gre za negativno število, pomeni, da ko X narašča, se Z zmanjšuje in obratno.
4. Kovarianca za Y in Z je 0. To pomeni, da med nizoma podatkov ni predvidljivega razmerja.

Primer 4. Poiščite vzorčno kovariančno matriko za naslednje podatke:

rešitev:

Vzorčna kovariančna matrika je podana zfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

n = 5, m_x= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3

m_in= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

m_z= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Kovariančna matrika je podana kot:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

Pogosta vprašanja o kovariančni matriki

1. Definirajte kovariančno matriko

Kovariančna matrika je vrsta matrike, ki se uporablja za opis vrednosti kovariance med dvema elementoma v naključnem vektorju.

2. Kaj je formula za kovariančno matriko?

Formula za kovariančno matriko je podana kot

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

Kje, Varianca vzorca: kjer (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

povezava java mysql

• Primer kovarinacije: (x₁, in₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Varianca populacije: kjer (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Kovarianca populacije: (x_n, in_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Kakšna je splošna oblika kovariančne matrike 3 ⨯ 3?

Splošna oblika kovariančne matrike 3 ⨯ 3 je podana takole:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Kakšne so lastnosti kovariančne matrike?

Kovariančna matrika je kvadratna matrika in je tudi simetrične narave, tj. transponiranje izvirne matrike daje izvirno matriko samo

5. V katerih sektorjih je mogoče uporabiti kovariančno matriko?

Kovariančna matrika se uporablja na področju matematike, strojnega učenja, financ in ekonomije. Kovariančna matrika se uporablja v Cholskeyjevi razgradnji za izvedbo simulacije Monte Carlo, ki se uporablja za ustvarjanje matematičnih modelov.