Lastne vrednosti in lastni vektorji so skalarne in vektorske količine, povezane z Matrix uporablja za linearno transformacijo. Vektor, ki se ne spremeni niti po uporabi transformacij, se imenuje lastni vektor, skalarna vrednost, pripisana lastnim vektorjem, pa se imenuje Lastne vrednosti . Lastni vektorji so vektorji, ki so povezani z nizom linearnih enačb. Lastne vektorje za matriko imenujemo tudi karakteristični vektorji in lahko najdemo lastni vektor samo kvadratnih matrik. Lastni vektorji so zelo uporabni pri reševanju različnih problemov matrik in diferencialnih enačb.

V tem članku bomo na primerih spoznali lastne vrednosti, lastne vektorje za matrike in druge.

Kazalo

• Kaj so lastne vrednosti?
• Kaj so lastni vektorji?
• Enačba lastnega vektorja
• Kaj so lastne vrednosti in lastni vektorji?
• Kako najti lastni vektor?
• Vrste lastnih vektorjev
• Desni lastni vektor
• Levi lastni vektor
• Lastni vektorji kvadratne matrike
• Lastni vektor matrike 2 × 2
• Lastni vektor matrike 3 × 3
• Eigenspace
• Uporaba lastnih vrednosti
• Diagonaliziraj matriko z uporabo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev
• Rešeni primeri o lastnih vektorjih
• Pogosta vprašanja o lastnih vektorjih

Kaj so lastne vrednosti?

Lastne vrednosti so skalarne vrednosti, povezane z lastnimi vektorji v linearni transformaciji. Beseda 'Eigen' je nemškega izvora in pomeni 'značilnost'. To so torej značilne vrednosti, ki kažejo faktor, za katerega so lastni vektorji raztegnjeni v svoji smeri. Ne vključuje spremembe smeri vektorja, razen kadar je lastna vrednost negativna. Ko je lastna vrednost negativna, se smer le obrne. Enačba za lastno vrednost je podana z

Izklopljen = λv

Kje,

• A je matrika,
• v je pridruženi lastni vektor in
• λ je skalarna lastna vrednost.

Kaj so lastni vektorji?

Lastni vektorji za kvadratne matrike so definirani kot neničelne vektorske vrednosti, ki, ko jih pomnožimo s kvadratnimi matricami, dajo skalerju mnogokratnik vektorja, tj. definiramo lastni vektor za matriko A kot v, če podaja pogoj, Izklopljen = λv

Večkratnik merilnika λ v zgornjem primeru se imenuje lastna vrednost kvadratne matrike. Vedno moramo najprej najti lastne vrednosti kvadratne matrike, preden najdemo lastne vektorje matrike.

Za katero koli kvadratno matriko A reda n × n je lastni vektor stolpčna matrika reda n × 1. Če najdemo lastni vektor matrike A z Av = λv, v se to imenuje desni lastni vektor matrike A. in se vedno pomnoži na desno stran, saj matrično množenje po naravi ni komutativno. Na splošno je, ko najdemo lastni vektor, vedno pravi lastni vektor.

Prav tako lahko poiščemo levi lastni vektor kvadratne matrike A z uporabo relacije, vA = vl

Tukaj je v levi lastni vektor in se vedno pomnoži na levo stran. Če je matrika A reda n × n, potem je v stolpčna matrika reda 1 × n.

Enačba lastnega vektorja

Enačba lastnega vektorja je enačba, ki se uporablja za iskanje lastnega vektorja katere koli kvadratne matrike. Enačba lastnega vektorja je,

Izklopljen = λv

Kje,

• A je podana kvadratna matrika,
• v je lastni vektor matrike A in
• l je vsak skaler večkratnik.

Kaj so lastne vrednosti in lastni vektorji?

Če je A a kvadratna matrika reda n × n, potem lahko zlahka najdemo lastni vektor kvadratne matrike, tako da sledimo spodaj opisani metodi,

set proti zemljevidu

Vemo, da je lastni vektor podan z enačbo Av = λv, za identitetno matriko enakega reda kot A, tj. n × n, uporabimo naslednjo enačbo,

(A-λI)v = 0

Z rešitvijo zgornje enačbe dobimo različne vrednosti λ kot λ₁, l₂, ..., l_nte vrednosti se imenujejo lastne vrednosti in dobimo posamezne lastne vektorje, povezane z vsako lastno vrednostjo.

S poenostavitvijo zgornje enačbe dobimo v, ki je stolpčna matrika reda n × 1, v pa je zapisan kot,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Kako najti lastni vektor?

Lastni vektor naslednje kvadratne matrike je mogoče enostavno izračunati z uporabo spodnjih korakov,

Korak 1: Poiščite lastne vrednosti matrike A z uporabo enačbe det |(A – λI| =0, kjer je I identitetna matrika reda, podobnega matriki A

2. korak: Vrednosti, dobljene v koraku 2, so poimenovane kot λ₁, l₂, l₃….

3. korak: Poiščite lastni vektor (X), povezan z lastno vrednostjo λ₁z uporabo enačbe (A – λ₁I) X = 0

4. korak: Ponovite korak 3, da poiščete lastni vektor, povezan z drugimi preostalimi lastnimi vrednostmi λ₂, l₃….

Po teh korakih dobimo lastni vektor, povezan z dano kvadratno matriko.

Vrste lastnih vektorjev

Lastni vektorji, izračunani za kvadratno matriko, so dveh vrst:

• Desni lastni vektor
• Levi lastni vektor

Desni lastni vektor

Lastni vektor, ki je pomnožen z dano kvadratno matriko z desne strani, se imenuje desni lastni vektor. Izračuna se z uporabo naslednje enačbe,

OF _R = λV _R

Kje,

• A je dana kvadratna matrika reda n×n,
• l je ena od lastnih vrednosti in
• IN _R je vektorska matrika stolpcev

Vrednost V_Rje,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Levi lastni vektor

Lastni vektor, ki je pomnožen z dano kvadratno matriko z leve strani, se imenuje levi lastni vektor. Izračuna se z uporabo naslednje enačbe,

IN _L A = V _L l

Kje,

• A je dana kvadratna matrika reda n×n,
• l je ena od lastnih vrednosti in
• IN _L je vektorska matrika vrstic.

Vrednost V_Lje,

IN _L = [v ₁ , v ₂ , v ₃ ,…, v _n ]

Lastni vektorji kvadratne matrike

Z lahkoto najdemo lastni vektor kvadratnih matrik reda n × n. Zdaj pa poiščimo naslednje kvadratne matrike:

• Lastni vektorji matrike 2 × 2
• Lastni vektorji matrike 3 × 3.

Lastni vektor matrike 2 × 2

Lastni vektor matrike 2 × 2 je mogoče izračunati z uporabo zgoraj omenjenih korakov. Primer istega je,

Primer: Poiščite lastne vrednosti in lastni vektor za matriko A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

rešitev:

Če so lastne vrednosti predstavljene z λ in je lastni vektor predstavljen kot v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Nato se lastni vektor izračuna z uporabo enačbe,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 in λ = -1

Tako sta lastni vrednosti 6 in -1. Potem sta ustrezna lastna vektorja,

Za λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

S poenostavitvijo zgornje enačbe dobimo,

5a=2b

Zahtevani lastni vektor je

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Za λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

s poenostavitvijo zgornje enačbe dobimo,

a = -b

Zahtevani lastni vektor je

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Potem so lastni vektorji dane matrike 2 × 2egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

To sta dva možna lastna vektorja, vendar je veliko ustreznih mnogokratnikov teh lastnih vektorjev mogoče obravnavati tudi kot druge možne lastne vektorje.

Lastni vektor matrike 3 × 3

Lastni vektor matrike 3 × 3 je mogoče izračunati z uporabo zgoraj omenjenih korakov. Primer istega je,

Primer: Poiščite lastne vrednosti in lastni vektor za matriko A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

rešitev:

Če so lastne vrednosti predstavljene z λ in je lastni vektor predstavljen kot v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Nato se lastni vektor izračuna z uporabo enačbe,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Če poenostavimo zgornjo determinanto, dobimo

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Za λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

S poenostavitvijo zgornje enačbe dobimo

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Naj bo b = k₁in c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Tako je lastni vektor,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

jemanje k₁= 1 in k₂= 0

lastni vektor je,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

jemanje k₁= 0 in k₂= 1

lastni vektor je,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Za λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

S poenostavitvijo zgornje enačbe dobimo,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Naj bo b = k₁in c = k₂, in ob k₁= k₂= 1,

abeceda s številkami

dobimo,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Tako je lastni vektor,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenspace

Lastni prostor matrike definiramo kot množico vseh lastnih vektorjev matrike. Vsi vektorji v lastnem prostoru so linearno neodvisni drug od drugega.

Da bi našli lastni prostor matrike, moramo slediti naslednjim korakom

Korak 1: Poiščite vse lastne vrednosti dane kvadratne matrike.

2. korak: Za vsako lastno vrednost poiščite ustrezen lastni vektor.

3. korak: Vzemite množico vseh lastnih vektorjev (recimo A). Tako oblikovana rezultantna množica se imenuje lastni prostor naslednjega vektorja.

Iz zgornjega primera podane matrike A 3 × 3 je tako oblikovan lastni prostor {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Uporaba lastnih vrednosti

Nekatere pogoste uporabe lastnih vrednosti so:

Linearna algebra

Diagonalizacija: lastne vrednosti se uporabljajo za diagonalizacijo matrik, poenostavitev izračunov in učinkovitejše reševanje linearnih sistemov.

Matrično potenciranje: Lastne vrednosti igrajo ključno vlogo pri izračunu potenciranja matrike.

Kvantna mehanika

Schrödingerjeva enačba: lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja ustrezajo energijskim nivojem kvantnih sistemov in zagotavljajo informacije o možnih stanjih.

Vibracije in strukturna analiza:

Mehanske vibracije: lastne vrednosti predstavljajo lastne frekvence vibracijskih sistemov. Pri strukturni analizi pomagajo razumeti stabilnost in obnašanje konstrukcij.

Statistika

Kovariančna matrika: V multivariatni statistiki se lastne vrednosti uporabljajo pri analizi kovariančnih matrik, ki zagotavljajo informacije o širjenju in usmerjenosti podatkov.

Računalniška grafika

Analiza glavnih komponent (PCA): lastne vrednosti se uporabljajo v PCA za iskanje glavnih komponent nabora podatkov, pri čemer se zmanjša dimenzionalnost, hkrati pa se ohranijo bistvene informacije.

Nadzorni sistemi

Stabilnost sistema: Lastne vrednosti matrike sistema so kritične pri določanju stabilnosti krmilnega sistema. Analiza stabilnosti pomaga zagotoviti, da je odziv sistema omejen.

Diagonaliziraj matriko z uporabo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev

Lastne vrednosti in lastni vektorji se uporabljajo za iskanje diagonalnih matrik. A diagonalna matrika je matrika, ki jo lahko zapišemo kot

A = XDX ^-1

Kje,

• D je matrika, ki nastane z zamenjavo 1 v identitetni matriki z lastnimi vrednostmi in
• X je matrika, ki jo tvorijo lastni vektorji.

Koncept diagonalne matrike lahko razumemo z naslednjim primerom.

Primer: Diagonaliziraj matriko A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

rešitev:

Rešili smo že lastne vrednosti in lastne vektorje A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Lastne vrednosti A so λ = 0, λ = 0 in λ = -8

Lastni vektorji A soegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

torej

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Z lahkoto lahko najdemo inverzijo X kot,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Preberi več,

• Elementarne operacije na matricah
• Matrica identitete
• Inverzna matrika

Rešeni primeri o lastnih vektorjih

Primer 1: Poiščite lastne vektorje matrike A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

rešitev:

Lastne vrednosti matrike se najdejo z uporabo

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Tako so lastne vrednosti,

λ = 1, 1, 1

Ker so vse lastne vrednosti enake, imamo tri enake lastne vektorje. Lastne vektorje za λ = 1 bomo našli z uporabo (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

z rešitvijo zgornje enačbe dobimo,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Potem je lastni vektor,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Primer 2: Poiščite lastne vektorje matrike A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

rešitev:

Lastne vrednosti matrike se najdejo z uporabo,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Tako so lastne vrednosti,

λ = 5,5

Ker so vse lastne vrednosti enake, imamo tri enake lastne vektorje. Lastne vektorje za λ = 1 bomo našli z uporabo

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Poenostavljeno zgoraj dobimo,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Potem je lastni vektor,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Pogosta vprašanja o lastnih vektorjih

Kaj so lastni vektorji?

Lastni vektor katere koli matrike definiramo kot vektor, ki pri množenju z matriko povzroči večkratnik skalerja matrike.

Kako najti lastne vektorje?

Lastni vektor poljubne matrike A je označen z v . Lastni vektor matrike se izračuna tako, da se najprej poišče lastna vrednost matrike.

• Lastno vrednost matrike najdemo z uporabo formule |A-λI| = 0, kjer λ podaja lastne vrednosti.
• Po iskanju lastne vrednosti smo našli lastni vektor s formulo Av = λv, kjer v podaja lastni vektor.

Kakšna je razlika med Eigenvalue in Eigenvector?

Za poljubno kvadratno matriko A so lastne vrednosti predstavljene z λ in se izračunajo po formuli |A – λI| = 0. Po iskanju lastne vrednosti najdemo lastni vektor z Av = λv.

Kaj je diagonalna matrika?

Vsaka matrika, ki jo je mogoče izraziti kot zmnožek treh matrik kot XDX^-1je diagonalizabilna matrika, kjer se D imenuje diagonalna matrika.

Ali so lastne vrednosti in lastni vektorji enaki?

Ne, lastne vrednosti in lastni vektorji niso enaki. Lastne vrednosti so skaler, ki se uporablja za iskanje lastnih vektorjev, medtem ko so lastni vektorji vektorji, ki se uporabljajo za iskanje transformacij matričnih vektorjev.

Ali je lahko lastni vektor ničelni vektor?

Lahko imamo lastne vrednosti nič, vendar lastni vektor nikoli ne more biti ničelni vektor.

Kaj je formula lastnih vektorjev?

Lastni vektor katere koli matrike se izračuna z uporabo formule,

Izklopljen = λv

kje,
l je lastna vrednost
v je lastni vektor