Ostri, topi, enakokraki, enakostranični ... Ko gre za trikotnike, obstaja veliko različnih vrst, a le nekaj izbire je 'posebnih'. Ti posebni trikotniki imajo stranice in kote, ki so dosledni in predvidljivi ter se lahko uporabljajo za bližnjico pri vaših geometrijskih ali trigonometričnih težavah. In trikotnik 30-60-90 - izgovorjen 'trideset šestdeset devetdeset' - je res zelo posebna vrsta trikotnika.
V tem priročniku vas bomo popeljali skozi to, kaj je trikotnik 30-60-90, zakaj deluje in kdaj (in kako) uporabiti svoje znanje o njem. Pa pojdimo k temu!
Kaj je trikotnik 30-60-90?
Trikotnik 30-60-90 je poseben pravokoten trikotnik (pravokotni trikotnik je vsak trikotnik, ki vsebuje kot 90 stopinj), ki ima vedno stopinjske kote 30 stopinj, 60 stopinj in 90 stopinj. Ker je poseben trikotnik, ima tudi vrednosti dolžine stranic, ki so med seboj vedno v skladnem razmerju.
Osnovno razmerje trikotnikov 30-60-90 je:
Stran nasproti kota 30°: $x$
Stran nasproti kota 60°: $x * √3$
Stran nasproti kota 90°: x$
Na primer, trikotnik 30-60-90 stopinj ima lahko dolžine stranic:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
znak za niz v Javi
(Zakaj je daljši krak 3? V tem trikotniku je najkrajši krak ($x$) $√3$, torej za daljši krak je $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. In hipotenuza je 2-kratnik najkrajšega kraka ali √3$)
In tako naprej.
Stran nasproti kota 30° je vedno najmanjša , ker je 30 stopinj najmanjši kot. Stran nasproti kota 60° bo srednja dolžina , ker je 60 stopinj srednje velik stopinjski kot v tem trikotniku. In končno, stran nasproti kota 90° bo vedno največja stran (hipotenuza) ker je 90 stopinj največji kot.
Čeprav je morda videti podoben drugim vrstam pravokotnih trikotnikov, je razlog, zakaj je trikotnik 30-60-90 tako poseben, ta, da potrebujete samo tri podatke, da najdete vsako drugo meritev. Dokler poznate vrednost dveh kotnih mer in ene stranice (ni pomembno, katera stranica), veste vse, kar morate vedeti o svojem trikotniku.
Na primer, lahko uporabimo formulo trikotnika 30-60-90, da izpolnimo vse preostale prazne informacije spodnjih trikotnikov.
Primer 1
Vidimo, da je to pravokotni trikotnik, v katerem je hipotenuza dvakrat daljša od ene od katet. To pomeni, da mora biti trikotnik 30-60-90, manjša podana stranica pa je nasproti 30°.
Daljši krak mora biti torej nasproti kota 60° in meriti * √3$ ali √3$.
Primer 2
numpy seštevek
Vidimo lahko, da mora biti to trikotnik 30-60-90, ker lahko vidimo, da je to pravokotni trikotnik z eno podano meritvijo, 30°. Neoznačen kot mora biti potem 60°.
Ker je 18 mera nasproti kota 60°, mora biti enako $x√3$. Najkrajša noga mora meriti 18 $/√3 $.
(Upoštevajte, da bo dolžina kraka dejansko /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, ker imenovalec ne more vsebovati radikala/kvadratnega korena).
In hipotenuza bo (18/√3)$
(Upoštevajte, da spet ne morete imeti radikala v imenovalcu, tako da bo končni odgovor res 2-kratnik dolžine kraka √3$ => √3$).
Primer 3
Spet imamo dve meritvi kota (90° in 60°), tako da bo tretja mera 30°. Ker je to trikotnik 30-60-90 in je hipotenuza 30, bo najkrajši krak enak 15, daljši krak pa 15√3.
Ni vam treba upoštevati čarobne osmice – ta pravila vedno delujejo.
Zakaj deluje: Dokaz izreka o trikotniku 30-60-90
Toda zakaj ta posebni trikotnik deluje tako, kot deluje? Kako vemo, da so ta pravila zakonita? Oglejmo si natančno, kako deluje izrek o trikotniku 30-60-90, in dokažimo, zakaj bodo te dolžine strani vedno dosledne.
Najprej za trenutek pozabimo na pravokotne trikotnike in poglejmo an enakostranični trikotnik.
Enakostranični trikotnik je trikotnik, ki ima vse enake stranice in vse enake kote. Ker seštevek notranjih kotov trikotnika vedno znaša 180° in 0/3 = 60$, enakostranični trikotnik ima vedno tri kote po 60°.
Zdaj pa spustimo višino navzdol od najvišjega kota do osnove trikotnika.
Zdaj imamo ustvarili dva prava kota in dva skladna (enaka) trikotnika.
Kako vemo, da so enaki trikotniki? Ker smo padli z višine enakostranični trikotnika, smo osnovo razdelili točno na pol. Nova trikotnika imata tudi eno stransko dolžino (višino) in imata enako dolžino hipotenuze. Ker imajo tri skupne stranske dolžine (SSS), to pomeni trikotnika sta skladna.
dedovanje v c++
Opomba: dva trikotnika nista skladna samo na podlagi načel dolžin stranic-stranic ali SSS, ampak tudi na podlagi mer stranic-kotov-stranic (SAS), kot-kota-stranic (AAS) in kota- stranski kot (ASA). V bistvu? Zagotovo so skladni.
Zdaj, ko smo dokazali skladnost obeh novih trikotnikov, lahko vidimo, da mora biti vsak vrhnji kot enak 30 stopinj (ker ima vsak trikotnik že kota 90° in 60° in mora seštevek znašati 180°). To pomeni naredili smo dva trikotnika 30-60-90.
In ker vemo, da smo osnovo enakostraničnega trikotnika prerezali na pol, lahko vidimo, da je stranica nasproti kota 30° (najkrajša stranica) vsakega od naših 30-60-90 trikotnikov natanko polovica dolžine hipotenuze .
Torej poimenujmo prvotno stranično dolžino $x$ in razpolovljeno dolžino $x/2$.
Vse, kar nam preostane, je, da poiščemo dolžino sredinske stranice, ki si jo delita trikotnika. Za to lahko preprosto uporabimo Pitagorov izrek.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Tako nam ostane: $x/2, {x√3}/2, x$
Zdaj pa vsako mero pomnožimo z 2, da si olajšamo življenje in se izognemo vsem ulomkom. Tako nam ostane:
$x$, $x√3$, x$
Vidimo torej, da bo trikotnik 30-60-90 nenehno imajo dosledne dolžine stranic $x$, $x√3$ in x$ (ali $x/2$, ${√3x}/2$ in $x$).
Na našo srečo lahko dokažemo, da so pravila trikotnika 30-60-90 resnična brez vsega ... tega.
Kdaj uporabiti pravila trikotnika 30-60-90
Poznavanje pravil trikotnika 30-60-90 vam bo lahko prihranilo čas in energijo pri množici različnih matematičnih problemov, in sicer najrazličnejših geometrijskih in trigonometričnih problemov.
Geometrija
Pravilno razumevanje trikotnikov 30-60-90 vam bo omogočilo reševanje geometrijskih vprašanj, ki bi jih bilo bodisi nemogoče rešiti brez poznavanja teh pravil razmerja ali pa bi vsaj zahtevalo precej časa in truda za reševanje 'dolge poti'.
S posebnimi razmerji trikotnikov lahko ugotovite manjkajoče višine ali dolžine krakov trikotnika (brez uporabe Pitagorovega izreka), poiščete površino trikotnika z uporabo manjkajočih informacij o višini ali osnovni dolžini in hitro izračunate obsege.
Kadarkoli potrebujete hitrost za odgovor na vprašanje, vam bo prav prišlo zapomniti bližnjice, kot so vaša pravila 30-60-90.
Trigonometrija
Če si zapomnite in razumete razmerje trikotnikov 30-60-90, boste prav tako lahko rešili številne trigonometrične probleme, ne da bi potrebovali kalkulator ali morali približati svoje odgovore v decimalni obliki.
Trikotnik 30-60-90 ima dokaj preproste sinuse, kosinuse in tangente za vsak kot (in te meritve bodo vedno dosledne).
Sinus 30° bo vedno /2$.
Kosinus 60° bo vedno /2$.
Čeprav so drugi sinusi, kosinusi in tangenti dokaj preprosti, sta si ta dva najlažje zapomniti in se bosta verjetno pojavila na testih. Poznavanje teh pravil vam bo omogočilo, da te trigonometrične meritve najdete čim hitreje.
Nasveti za zapomnitev pravil 30-60-90
Veste, da so ta pravila razmerja 30-60-90 uporabna, toda kako ohraniti informacije v glavi? Zapomniti si pravila trikotnika 30-60-90 je stvar zapomniti si razmerje 1: √3 : 2 in vedeti, da je dolžina najkrajše stranice vedno nasproti najkrajšega kota (30°), dolžina najdaljše stranice pa je vedno nasproti kota. največji kot (90°).
Nekateri si razmerje zapomnijo tako, da si mislijo: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ', ker si je zaporedje '1, 2, 3' običajno enostavno zapomniti. Edini previdnostni ukrep pri uporabi te tehnike je, da si zapomnite, da je najdaljša stranica dejansko x$, ne $x$ krat $√3$.
rihanna starost
Drug način, da si zapomnite svoja razmerja, je uporabite mnemonično igro besed v razmerju 1: koren 3: 2 v njihovem pravilnem vrstnem redu. Na primer, 'Jackie Mitchell je prečrtala Louja Gehriga in 'osvojila tudi Ruthy'': ena, koren tri, dve. (In to je resnično dejstvo iz zgodovine bejzbola!)
Poigrajte se s svojimi lastnimi mnemotehničnimi napravami, če vas te ne pritegnejo – zapojte razmerje v pesmi, poiščite lastne besedne zveze »ena, koren tri, dva« ali pripravite pesem o razmerju. Lahko si celo samo zapomnite, da je trikotnik 30-60-90 polovica enakostraničnega, in od tam ugotovite mere, če vam ni všeč, da si jih zapomnite.
Vendar pa je za vas smiselno, da si zapomnite ta pravila 30-60-90, obdržite ta razmerja v glavi za prihodnja vprašanja o geometriji in trigonometriji.
Pomnjenje je vaš prijatelj, vendar ga lahko uresničite.
Primer 30-60-90 Vprašanja
Zdaj, ko smo pogledali, kako in zakaj trikotniki 30-60-90, se lotimo nekaj praktičnih problemov.
Geometrija
Gradbeni delavec nasloni 40-metrsko lestev na steno stavbe pod kotom 30 stopinj od tal. Tla so ravna in stranica stavbe je pravokotna na tla. Kako daleč navzgor po stavbi sega lestev, do najbližjega stopala?
Brez poznavanja naših posebnih pravil o trikotniku 30-60-90 bi morali uporabiti trigonometrijo in kalkulator, da bi našli rešitev tega problema, saj imamo le eno stransko meritev trikotnika. Ker pa vemo, da je to a poseben trikotnika, lahko najdemo odgovor v samo nekaj sekundah.
Če sta zgradba in tla pravokotna drug na drugega, mora to pomeniti, da zgradba in tla tvorita pravi (90°) kot. Podano je tudi, da se lestev dotika tal pod kotom 30°. Vidimo torej, da mora biti preostali kot 60°, zaradi česar je to trikotnik 30-60-90.
Zdaj vemo, da je hipotenuza (najdaljša stranica) tega 30-60-90 40 čevljev, kar pomeni, da bo najkrajša stranica polovica te dolžine. (Ne pozabite, da je najdaljša stranica vedno dvakrat — x$ — tako dolga kot najkrajša stran.) Ker je najkrajša stranica nasproti kota 30° in je ta kot stopinjska mera lestve od tal, to pomeni, da vrh lestve udari ob zgradbo 20 čevljev od tal.
Naš končni odgovor je 20 čevljev.
Trigonometrija
Če je v pravokotnem trikotniku sin Θ = /2$ in je dolžina najkrajšega kraka 8. Kolikšna je dolžina manjkajoče stranice, ki NI hipotenuza?
Ker poznate svoja pravila 30-60-90, lahko to težavo rešite brez potrebe po pitagorovem izreku ali kalkulatorju.
Povedali so nam, da je to pravokotni trikotnik, in iz naših posebnih pravil pravokotnega trikotnika vemo, da je sinus 30° = /2$. Manjkajoči kot mora biti torej 60 stopinj, zaradi česar je to trikotnik 30-60-90.
cimet vs mate
In ker je to trikotnik 30-60-90 in nam je bilo rečeno, da je najkrajša stranica 8, mora biti hipotenuza 16 in manjkajoča stranica * √3$ ali √3$.
Naš končni odgovor je 8√3.
Take-Aways
Spominjanje na pravila za trikotnike 30-60-90 vam bodo pomagala skrajšati pot skozi različne matematične težave . Vendar ne pozabite, da čeprav je poznavanje teh pravil priročno orodje, ki ga imate v pasu, lahko še vedno rešite večino težav brez njih.
Spremljajte pravila $x$, $x√3$, x$ in 30-60-90 na kakršenkoli način, ki se vam zdi smiseln, in jih poskušajte držati jasnih, če lahko, vendar brez panike, če se vam zdi izprazni, ko je čas krčenja. Kakor koli že, to imaš.
In če potrebujete več prakse, si oglejte tole Kviz o trikotniku 30-60-90 . Veselo opravljanje testov!