Prostornina stožca lahko definiramo kot prostor, ki ga zaseda stožec. Kot vemo, je stožec tridimenzionalna geometrijska oblika, ki ima krožno osnovo in en vrh (vrh).

Naučimo se podrobneje o volumnu stožca, vključno z njegovo formulo, primeri in presekom stožca.

Kaj je volumen stožca?

Prostornina stožca je opredeljena kot količina prostora ali prostornine, ki jo zapolnjuje. Prostornina stožca se meri v kubičnih enotah, kot je cm³, m³, v³, in tako naprej. Z vrtenjem trikotnika okoli katerega koli njegovega oglišča lahko nastane stožec. Prostornino stožca lahko merimo tudi v litrih.

• Stožec lahko razdelimo na dve vrsti: pravilne krožne stožce in poševne stožce.
• Vertex of desni krožni stožec je navpično nad središčem osnovke, vendar vrh poševnega stožca ni navpično nad središčem osnovke.

Volumen stožca Formula

Stožec je trdna tridimenzionalna oblika s krožno osnovo. Ima ukrivljeno površino. Navpična višina je razdalja od vznožja do vrha.

Formula prostornine stožca:

V = 1/3 πr²h

Kje,

• r je polmer stožca
• h je polmer stožca
• Pi je konstantna z vrednostjo 22/7 ali 3,14

Poševna višina stožca

Poševna višina stožca je razdalja od njegovega vrha (vrhnje točke) do katere koli točke na obodu njegove krožne osnove. To je premočrtna razdalja vzdolž stranske površine, ne skozi notranjost stožca.

Poševna višina stožca je mogoče izpeljati z uporabo Pitagorov izrek ,

h²+ r²= L²

h = √(L²– r²)

Volumen stožca glede na poševno višino

Za stožec z višino 'h' in polmerom 'r' je poševna višina 'L' stožca podana s formulo,

trikratna zima

h²+ r²= L²

h = √(L²– r²)…(jaz)

Potem je prostornina stožca glede na poševno višino,

V = (1/3)πr²h...(ii)

Z uporabo vrednosti h v enačbi (ii) dobimo formulo za prostornino stožca kot,

V = (1/3)πr ² √(L ² – r ² )

Zvezek izpeljave stožca

Recimo, da imamo stožec s krožno osnovo, katerega polmer je r in višina je h.

Vemo, da je prostornina stožca enaka eni tretjini prostornine valja z enakim osnovnim polmerom in višino.

Glasnost torej postane,

V = 1/3 × krožna osnovna površina × višina

V = 1/3 × πr²× h

V = πr²h/3

To izpelje formulo za prostornino stožca.

Kako najti prostornino stožca?

Oglejmo si primer za določitev prostornine stožca.

primer: Določi prostornino stožca, če je polmer njegove krožne osnove 3 cm in višina 5 cm.

Korak 1: Upoštevajte polmer krožne osnove (r) in višino stožca (h).

Tukaj je polmer 3 cm in višina 5 cm.

2. korak: Izračunajte ploščino krožne osnove = πr². Nadomestite vrednost r in π v dani enačbi,

tj. 3,14 × (3)²= 28,26 cm².

3. korak: Vemo, da je prostornina stožca (1/3) × (površina osnovnega kroga) × višina stožca.

Nato zamenjajte vrednosti v enačbi = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm³.

4. korak: Zato je prostornina danega stožca 47,1 cm³.

Z uporabo zgoraj opisanih korakov je mogoče izračunati prostornino stožca.

Prostornina stožca z višino in polmerom

Prostornina stožca, če sta podana njegova višina (h) in polmer (r), se izračuna po formuli,

V = (1/3)πr ² h kubičnih enot

Prostornina stožca z višino in premerom

Prostornina stožca, ko sta podana premer in višina stožca, je izračunana spodaj. Recimo, da imamo stožec s polmerom r in premerom d.

Potem je polmer baze polovica premera baze, tj. r = d/2

Prostornina stožca, če sta podana njegova višina (h) in premer (d), se izračuna po formuli,

V = (1/12)πd ² h kubičnih enot

Prostornina stožca (če se polmer in višina podvojita)

Recimo,

• Polmer stožca (r) = 2r
• Višina stožca (h) = 2h

Nato je prostornina stožca podana kot

Prostornina stožca = (1/3)π(2r)²(2h) kubične enote

V = (⅓)π(4god²)(2h)

V = (8/3)πr ² h

torej prostornina stožca postane 8-krat večja od prvotne prostornine tj. V = (8/3)πr²h, ko se njegov polmer in višina podvojita.

Prostornina stožca (če sta polmer in višina prepolovljena)

Recimo,

• Polmer stožca (r) = r/2
• Višina stožca (h) = h/2

Nato je prostornina stožca podana kot

Prostornina stožca = (1/3)π(r/2)²(h/2) kubičnih enot

V = (1/3)π(r²/4)(h/2)

V = (1/24)πr ² h

Tako prostornina stožca postane 1/8-kratna prvotna prostornina, tj. V = (1/24)πr²h, ko sta njen polmer in višina prepolovljena.

Košček stožca

Frustum je narezan del stožca, prostornina prisečenega stožca pa je količina tekočine, ki jo lahko zadrži vsak frustum.

Za izračun prostornine moramo najti razlika v prostorninah dveh stožcev.

Prostornina kosa stožca

Formulo prostornine prisekanega stožca dobimo tako, da prostornino manjšega stožca odštejemo od večjega.

Iz zgornje slike imamo,

• Skupna višina H’ = H + h
• Višina naklona L = l₁+ l₂
• Polmer stožca = r
• Polmer rezanega stožca = r’

Zdaj je prostornina večjega stožca = 1/3 π r²H' = 1/3 π r²(H+h)

Prostornina manjšega stožca = 1/3 π(r’)²h. Volumen frustuma lahko izračunamo z razliko med obema stožcema, tj.

Prostornina kosa = 1/3 π r²H' -1/3 π(r')²h

V = 1/3π r²(H+h) – 1/3 π(r’)²h

v = 1/3 π [ r²(H+h) – (r’)²h ] ………(1)

Uporaba lastnosti podobnih trikotnikov v Δ QPS in Δ QAB. imamo,

r/r’ = H+h/h

H+h = (desna)/r’

Če nadomestimo vrednost H+h v formuli za prostornino frustuma, dobimo,

Prostornina kosa = 1/3 π [r²(d/d') – (r')²h]

V = 1/3 π [r³h/r’ – (r’)²h]

V = 1/3 π h (r³/r – (r’)²)

V = 1/3 π h [{r³– (r’)³} / r]

Prostornina kosa stožca = 1/3 π h [{r ³ – (r’) ³ } / r]

Kje,

posodabljanje jave

• r je polmer spodnje osnove prisekanega stožca
• r' je polmer zgornje osnove prisekanega stožca
• h je višina manjšega stožca
• Pi je konstantna z vrednostjo 22/7 ali 3,14

Preberi več

• Košček stožca
• Stožec: formula, vrste in lastnosti
• Površina stožca
• Površine in prostornine
• Prostornina kocke
• Prostornina kvadra
• Prostornina krogle
• Prostornina cilindra

Rešeni primeri o prostornini stožca

Rešimo nekaj vprašanj o formulah za prostornino stožca.

Primer 1. Poiščite prostornino stožca s polmerom 7 cm in višino 14 cm.

rešitev:

Imamo,

kakšna je velikost zaslona mojega monitorja

• r = 7
• h = 14

Prostornina stožca = 1/3 πr²h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)

V = (1/3) (7) (7) (2)

V = 32,66 cm³

Primer 2. Poiščite prostornino stožca za a polmer 5 cm in višina 9 cm.

rešitev:

Imamo,

• r = 5
• h = 9

Prostornina stožca = 1/3 πr²h

V = (1/3) (3,14) (5) (5) (9)

V = (3,14) (5) (5) (3)

Višina = 235,49 cm³

Primer 3. Poiščite prostornino a stožec za a polmer 7 cm in višina 12 cm.

rešitev:

Imamo,

• r = 7
• h = 12

Prostornina stožca = 1/3 πr²h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)

V = (22) (7) (4)

Višina = 616 cm³

Primer 4. Poiščite prostornino stožca za a polmer 8 cm in višina 15 cm.

rešitev:

Imamo,

• r = 8
• h = 15

Prostornina stožca = 1/3 πr²h

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)

Višina = 335,02 cm³

Vadbena vprašanja o prostornini stožca

Q1. Poiščite polmer stožca, če je njegova prostornina 121 cm ² in njegova višina je 2 cm.

Q2. Poiščite prostornino stožca za višino 12 cm in poševno višino 7 cm.

Q3. Poiščite prostornino stožca z višino 21 cm in premerom osnove 12 cm.

Q4. Poiščite prostornino stožca s polmerom 12 cm in višino 5 cm.

Volumen stožca – pogosta vprašanja

Določite prostornino stožca.

Prostornina stožca je definirana kot skupna prostornina tekočine, ki jo stožec lahko zadrži v 3-dimenziji. To je skupni prostor, ki ga zaseda stožec.

Kaj je formula za volumen stožca?

Prostornina stožca je podana z naslednjo formulo,

Prostornina stožca = ⅓ πr ² h kubičnih enot.

Kako najti prostornino stožca s poševno višino?

Prostornina stožca, če sta podana njegova poševna višina (L) in polmer (r), se izračuna po formuli, V = (1/3)πr ² √(L ² – r ² )

Kakšna je skupna površina (TSA) formule stožca?

Skupna površina stožca je podana s formulo, TSA stožca = πr(l + r) kvadratnih enot .

Kakšno je razmerje med prostornino valja in stožca?

IN prostornina stožca je 1/3 prostornine valja.

Kaj je formula za poševno višino stožca?

Nagnjena višina (l) stožca se izračuna po formuli, l = √(h ² + r ² ) .

Kaj je prostornina stožca, če sta podana višina in premer?

Prostornina stožca, če sta podana njegova višina (h) in premer osnove (d), je, V = (1/12)πd ² h kubičnih enot .

Kako najti prostornino tekočine v stožcu?

Prostornina tekočine v stožcu se izračuna z zgoraj dodano formulo za prostornino stožca.