Prostornina krogle je količina tekočine, ki jo lahko zadrži krogla. Formula za volumen krogle je podana kot 4/3πr³. To je prostor, ki ga zaseda krogla v 3-dimenzionalnem prostoru. Meri se v enoti³tj. m³, cm³, itd. Krogla je v geometriji tridimenzionalni trden predmet okrogle oblike.

Prostornina krogle je celoten prostor, ki ga zaseda površina krogle in je sorazmeren s kubom polmera krogle. V tem članku bomo podrobno spoznali prostornino krogle, prostornino formule krogle, primere formule prostornine krogle in druge.

• Kaj je prostornina krogle?
• Formula za prostornino krogle
• Prostornina trdne krogle
• Prostornina votle krogle
• Obseg izpeljave sferne formule
• Kako izračunati prostornino krogle?

Kaj je prostornina krogle?

Prostornina krogle je količina prostora, ki jo zavzame v njej. Krogla je tridimenzionalna okrogla trdna oblika, v kateri so vse točke na površini enako oddaljene od središča. Fiksna razdalja je polmer krogle, fiksna točka pa je središče krogle. Ob obračanju kroga bomo opazili spremembo oblike. Kot rezultat vrtenja dvodimenzionalnega predmeta, znanega kot krog, dobimo tridimenzionalno obliko krogle.

Nauči se več,

• krogla
• Površina krogle

Volumen krogle Definicija

Prostornina krogle je skupna masa, ki jo obdaja površina krogle. To je 3-D prostor znotraj krogle. Odvisno je od polmera krogle. Spodaj dodana slika prikazuje kroglo s polmerom r in njeno prostornino.

Formula za prostornino krogle

Formula za prostornino krogle je formula, ki se uporablja za iskanje prostornine krogle, ko je podan njen polmer. Formula za prostornino krogle za kroglo polmera R je dodana spodaj,

Formula za prostornino krogle = 4/3πr ³

Kje,

• r je polmer krogle
• Pi je konstanta in njena vrednost je 22/7

Krogla je na splošno razvrščena v dve kategoriji:

• Prostornina trdne krogle
• Prostornina votle krogle

Spoznajmo jih podrobneje.

Prostornina trdne krogle

Trdna krogla je krogla, ki je popolnoma napolnjena do notranjosti. to pomeni, da ima maso do svojega jedra in njegova formula za prostornino, ko je njen polmer r, je,

Prostornina trdne krogle (V) = (4/3)πr ³

Prostornina votle krogle

Za votlo kroglo je njen notranji prostor prazen in predpostavimo, da je njen zunanji polmer prazen R in njen notranji radij je r, potem se njegova prostornina izračuna po formuli,

Prostornina votle krogle = (4/3)π(R ³ – r ³ )

Obseg izpeljave sferne formule

Formulo za prostornino krogle je mogoče izpeljati z naslednjimi metodami:

• Uporaba integracije
• Uporaba Arhimedovega odnosa med valjem, stožcem in kroglo

O teh metodah se podrobneje pogovorimo na naslednji način:

Prostornina krogle z uporabo integracije

Z integracijskim pristopom lahko preprosto izračunamo prostornino krogle.

Recimo, da je prostornina krogle sestavljena iz serije tankih krožnih diskov, ki so zloženi drug na drugega, kot je narisano na zgornjem diagramu. Vsak tanek disk ima polmer r in debelino dy, ki je oddaljena y od osi x.

Naj bo prostornina diska dV. Vrednost dV je podana z

dV = (πr²) ti

Tako je dV = π (R²- in²) ti

Skupna prostornina krogle bo vsota prostornin vseh teh majhnih diskov. Zahtevano vrednost lahko dobite z integracijo izraza od meje -R do R.

Torej, prostornina krogle postane,

V =int_{y=-R}^{y=R} dV

⇒ V =int_{y=-R}^{y=R}π(R^2 – y^2)dy

⇒ V =pi|(R^2y – frac{y^3}{3})dy|_{y=-R}^{y=R}

⇒ V =pi left[R^3-frac{R^3}{3}-(-R^3+frac{R^3}{3}) ight]

⇒ V =pi left[2R^3-frac{2R^3}{3} ight]

⇒ V =frac{4}{3}pi R^3

Tako je izpeljana formula za prostornino krogle.

Prostornina krogle z uporabo Arhimedovih relacij

Kot je dokazal že Arhimed, če imajo stožec, krogla in valj enak polmer r in enako višino, so njihove prostornine v razmerju 1:2:3.

Zato lahko rečemo:

Prostornina valja = prostornina stožca + prostornina krogle

Tako je prostornina krogle = prostornina valja – prostornina stožca

Kot vemo, je prostornina valja = πr²h in prostornina stožca = (1/3)πr²h

Če nadomestimo te vrednosti v enačbo, dobimo:

Prostornina krogle = πr²h – (1/3)πr²h = (2/3)πr²h

Predpostavimo, da je višina valja enaka premeru krogle, ki je 2r. Torej:

Prostornina krogle je (2/3)πr ² h = (2/3)πr ² (2r) = (4/3)πr ³

Prav tako preverite

• Formula za volumen sferične kapice
• Formula sferičnega sektorja
• Formula sferičnega segmenta

Kako izračunati prostornino krogle?

Prostornina krogle je prostor, ki ga zaseda krogla. Njegovo prostornino je mogoče izračunati s formulo V = 4/3πr ³ .

Koraki, potrebni za izračun prostornine krogle, so:

Korak 1: Označite vrednost polmera krogle.

2. september: Poiščite kocko polmera.

3. korak: Pomnožite kub polmera s (4/3)π

4. korak: Dodajte (enoto)³do končnega odgovora.

Primer izračuna prostornine krogle

Primer: Poiščite prostornino krogle s polmerom 7 cm.

Podano je r = 7 cm

V = (4/3)πr³

Prostornina krogle, V = ((4/3) × π × 7³) cm³

Višina = 1436,8 cm³

Tako je prostornina krogle 1436,8 cm³

Preberi več

• Prostornina stožca
• Prostornina kocke
• Prostornina cilindra

Zvezek primerov krogle

Primer 1. Poiščite prostornino krogle, katere polmer je 9 cm.

rešitev:

Imamo r = 9

Prostornina krogle = 4/3 πr³

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (9) (9) (9)

⇒ Prostornina krogle = (4) (3,14) (3) (9) (9)

⇒ Prostornina krogle = 3052 cm³

Primer 2. Poiščite prostornino krogle, katere polmer je 12 cm.

rešitev:

Imamo, r = 12

Prostornina krogle = 4/3 πr³

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (12) (12) (12)

⇒ Prostornina krogle = (4) (3,14) (4) (12) (12)

⇒ Prostornina krogle = 7234,56 cm³

Primer 3. Poiščite prostornino krogle, katere polmer je 6 cm.

rešitev:

Imamo, r = 6

Prostornina krogle = 4/3 πr³

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (6) (6) (6)

⇒ Prostornina krogle = (4) (3,14) (2) (6) (6)

⇒ Prostornina krogle = 904,32 cm³

Primer 4. Poiščite prostornino krogle, katere polmer je 4 cm.

rešitev:

Imamo, r = 4

Prostornina krogle = 4/3 πr3

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (4) (4) (4)

⇒ Prostornina krogle = (1,33) (3,14) (4) (4) (4)

⇒ Prostornina krogle = 267,27 cm³

Primer 5. Poiščite prostornino krogle s premerom 10 cm.

rešitev:

Imamo, 2r = 10

... v javi

⇒ r = 5

Prostornina krogle = 4/3 πr³

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (5) (5) (5)

⇒ Prostornina krogle = (1,33) (3,14) (5) (5) (5)

⇒ Prostornina krogle = 522,025 cm³

Primer 6. Poiščite prostornino krogle s premerom 16 cm.

rešitev:

Imamo, 2r = 16

⇒ r = 8

Prostornina krogle = 4/3 πr³

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (8) (8) (8)

⇒ Prostornina krogle = (1,33) (3,14) (8) (8) (8)

⇒ Prostornina krogle = 2138,21 cm³

Primer 7. Poiščite prostornino krogle s premerom 14 cm.

rešitev:

Imamo, 2r = 14

⇒ r = 7

Prostornina krogle = 4/3 πr³

⇒ Prostornina krogle = (4/3) (3,14) (7) (7) (7)

⇒ Prostornina krogle = (1,33) (3,14) (7) (7) (7)

⇒ Prostornina krogle = 1432,43 cm³

Zvezek vprašanj sferne vaje

V1: Poiščite prostornino krogle s premerom 34 cm.

Q2: Poiščite prostornino votle krogle, katere notranji polmer je 4 cm, zunanji polmer pa 8 cm.

Q3: Poiščite prostornino krogle s polmerom 14 cm.

Q4: Kolikšna je prostornina krogle, katere polmer je enak stranici kvadrata s ploščino 144 m².

Zbirka pogostih vprašanj Sphere

Kaj je prostornina krogle?

Prostornina krogle je prostor, ki ga zaseda površina krogle.

Kaj je formula za površino krogle?

Skupna površina krogle s polmerom r je, Površina = 4πr ²

Kakšna je formula za prostornino krogle?

Prostornina krogle s polmerom r je, Prostornina = 4/3πr ³

Kako najdemo prostornino poloble?

Prostornina poloble s polmerom r je, Prostornina = 2/3πr ³

Kakšno je razmerje med prostornino krogle in poloble?

Če imata krogla in polobla enaka polmera, je razmerje med njunima prostorninama,

IN ₁ : IN ₂ = (4/3πr ³ ) : (2/3πr ³ ) = 2 : 1

Kaj je enota prostornine krogle?

Prostornina krogle se meri v m³, cm³, litri itd. m ³ je standardna merska enota.

Kolikšna je prostornina krogle, če je njen polmer prepolovljen?

Prostornina krogle = (4/3)πr³= (4/3)π(r/2)³= (4/3)π(r³/8) = Zvezek/8. Torej prostornina krogle dobi eno osmino.