Frustum stožca je posebna oblika, ki nastane, ko stožec prerežemo z ravnino, ki je vzporedna z njegovim vznožjem. Stožec je tridimenzionalna oblika s krožno osnovo in vrhom. Frustum stožca je torej trdna prostornina, ki nastane z odstranitvijo dela stožca z ravnino, ki je vzporedna s krožno osnovo. Frustum ni definiran le za stožce, ampak ga je mogoče definirati tudi za različne vrste piramid (kvadratna piramida, trikotna piramida itd.).

Nekatere običajne oblike prisekanega stožca, ki jih odkrijemo v vsakdanjem življenju, so vedra, senčnik za svetilke in druge. V tem članku bomo izvedeli več o frustumu stožcev.

Kaj je Frustum stožca?

Frustum je latinska beseda, ki pomeni koščke, zato je frustum stožca trden kos stožca. Ko a desni krožni stožec seka z ravnino, ki je vzporedna z vznožjem stožca, tako dobljeno obliko imenujemo prisekana stožca. Spodnja slika nam prikazuje, kako ravnina reže stožec vzporedno z njegovo osnovo, da tvori prisekano konico stožca.

Sedaj je frustum stožca enostavno definiran kot,

Če je pravilen krožni stožec odrezan z ravnino, ki je vzporedna z njegovo osnovo, se oblika odseka med sečno ploskvijo in osnovno ravnino imenuje prisekana ploskev stožca.

Mreža iz kosa stožca

Če tridimenzionalno (3D) obliko razrežemo in naredimo dvodimenzionalno obliko, se tako dobljena oblika imenuje mreža. Lahko domnevamo, da ko je mreža figure pravilno zložena na pravilen način, oblikuje želeno 3D obliko. Spodnja slika prikazuje mrežo prisekanega roba stožca.

Lastnosti kosa stožca

Lastnosti prisekanega stožca so zelo podobne lastnostim stožca, nekatere pomembne lastnosti prisekanega stožca so,

• Osnova stožca prvotni stožec je vsebovan v prisekanem delu stožca, vendar njegovo oglišče ni v prisekanem stožcu.
• Formule prisekanega stožca so odvisne od njegove višine in dveh polmerov (ki ustrezata zgornji in spodnji osnovi).
• Višina prisekanega roba stožca je pravokotna razdalja med središči njegovih dveh osnov.

Formule kosa stožca

Frustum stožca je takšna oblika, ki jo pogosto vidimo v vsakdanjem življenju, na primer namizne svetilke, vedra itd. Pomembne formule za frustum stožca so,

• Prostornina kosa stožca
• Površina frustuma stožca

Spoznajmo te formule podrobneje spodaj,

Prostornina kosa stožca

Frustum stožca je odrezan del stožca, kjer je manjši stožec odstranjen iz večjega stožca. Zato je treba za izračun prostornine prisekanega stožca izračunati samo razliko med prostornino večjega in manjšega stožca.

c

Predpostavimo,

• Skupna višina stožca naj bo H + h
• Skupna nagnjena višina naj bo l’ + L
• Polmer polnega stožca je r
• Polmer prerezanega stožca je r’

Ker je prostornina stožca podana kot V = 1/3πr²h

Prostornina celotnega stožca V₁= 1/3πr²(H+h)

Prostornina manjšega stožca V₂=1/3πr’²(h)

Zdaj lahko prostornino prisekanega stožca (V) izračunamo s formulo,

V=V₁- IN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Z uporabo lastnosti podobnosti trikotnikov △OCD in △OAB lahko zapišemo,

r / (H + h) = r’ / h

r / r' = (H + h) / h

H + h = hr / r’

Nadomestite to vrednost (H+h) v enačbo (1) in poenostavite,

V = 1/3π[r²(d/r’) – r’²(h)}

= 1/3π[{ur³– ura’³} / r’]…(2)

S ponovno uporabo podobne lastnosti trikotnika v △OCD in △OAB bomo ugotovili vrednost h

r / (H + h) = r’ / h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Če nadomestimo te vrednosti v enačbi (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r’]

= 1/3π[{r³– r’³}h / r']

= 1/3π[{r³– r’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r’²+rr')

torej

Prostornina prisekanega stožca = 1/3 πH(r ² + r’ ² + rr')

Površina frustuma stožca

Površino prisekanega stožca lahko izračunamo z razliko med površina celotnega stožca in manjši stožec (odstranjen iz celotnega stožca). Površino prisekanega roba stožca je mogoče izračunati s pomočjo spodnjega diagrama, kjer je treba sešteti površine ukrivljenih površin ter površine zgornje in spodnje površine prisekanega stožca.

Podobno kot prostornina prisekanega stožca bo tudi ukrivljena površina enaka razliki med površinama večjega in manjšega stožca.

Na zgornji sliki sta si trikotnika OAB in OCD podobna. Zato lahko z uporabo kriterijev podobnosti zapišemo,

l’ / l = r’ / r…(1)

Ker je l’ = l – L, torej iz enačbe (1),

(l – L) / l = r’ / r

Po navzkrižnem množenju,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Ukrivljena površina celotnega stožca = πrl

Ukrivljena površina manjšega stožca = πr’l’

Razlika med ukrivljenimi površinami celotnega stožca in manjšega stožca = π (rl – r’l’)

Tako je ukrivljena površina (CSA) prisekanega roba stožca = πl (r – r’l’/l)

Uporabite enačbo (1), da nadomestite vrednost l’/l v zgornji enačbi in poenostavite,

CSA prisekanega stožca = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²– r’²)/r

Zdaj nadomestite vrednost l iz enačbe (2) in poenostavite,

CSA prisekane stožce = πlr/(r – r’)× (r²– r’²)/r = πl (r + r')

Tako lahko zapišemo,

Ukrivljena površina prisekanega stožca = πl (r + r’)

Zdaj pa izračunajmo površino zgornje in spodnje osnove prisekane stožce, tako da

Površina zgornje osnove prisekanega stožca s polmerom r’ = πr’²

Površina spodnje osnove prisekanega stožca s polmerom r = πr²

Torej,

Skupna površina prisekanega roba stožca = ukrivljena površina prisekanega roba stožca + površina zgornje baze + površina spodnje osnove

zato

Skupna površina prisekanega stožca = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r’²)

Tako je skupna površina prisekanega roba stožca = πl (r + r’) + π (r²+ r’²)

To formulo lahko zapišemo tudi kot,

Skupna površina prisekanega roba stožca je = πl (r²– r’²)/r + π (r²+ r’²)

Torej, lahko pišete,

Skupna površina prisekanega stožca = πl(r + r’) + π (r ² + r’ ² )

oz

Skupna površina prisekanega stožca = πl (r ² – r’ ² )/r + π (r ² + r’ ² )

Upoštevajte, da je l poševna višina manjšega stožca, ki ga je mogoče podati kot

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Preberi več

• Prostornina stožca
• Prostornina cilindra
• Prostornina krogle

Rešeni primeri na odlomku stožca

Primer 1: Ugotovite prostornino prisekanega stožca, ki je visok 15 cm in ima polmera obeh osnov 5 cm in 8 cm.

rešitev:

Z uporabo zgoraj preučene formule lahko zapišemo,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr')

podano,

V = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Primer 2: Ugotovite površino in skupno površino prisekanega stožca, ki je visok 10 cm in ima polmera obeh osnov 4 cm in 8 cm.

rešitev:

Poznamo formulo za površino in skupno površino frustuma. Vstaviti moramo zahtevane vrednosti.

Ukrivljena površina frustuma = πl(r+r’)

kje,
L = √ [H²+ (R – r)²]

podano,
V = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Izračun vrednosti L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Ukrivljena površina frustuma = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Skupna površina = ukrivljena površina frustuma + površina obeh baz

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Primer 3: Recimo, da imamo odprto kovinsko vedro, katerega višina je 50 cm, polmera osnov pa 10 cm in 20 cm. Poiščite območje kovinska pločevina, ki se uporablja za izdelavo vedra.

rešitev:

Vedro je v obliki frustuma, ki se od spodaj zapira. Izračunati moramo celotno površino tega frustuma.

dano
V = 50 cm
r '= 10 cm
r = 20 cm

Ukrivljena površina frustuma = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

strune v c

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Ukrivljena površina frustuma = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Skupna površina = ukrivljena površina frustuma + površina obeh baz

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Primer 4: Ugotovite izraz prostornine za prisekano steno, če je njena višina 6y, polmeri pa y oziroma 2y.

rešitev:

Z uporabo formule, preučene zgoraj,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr')

podano,

H = 6 let
r'= y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (in)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³enota³

Pogosta vprašanja o Piece of Cone

Vprašanje 1: Kaj je frustum stožca?

odgovor:

Ko stožec odrežemo tako, da je rezalna ravnina vzporedna z vznožjem stožca. Tako dobljena slika se imenuje frustum stožca.

Vprašanje 2: Kaj so frustum stožčastih formul?

odgovor:

Spodaj so obravnavane formule prisekanega stožca. Vzemimo frustum z osnovnim polmerom 'R' in zgornjim polmerom 'r', višino 'H' in poševno višino,

• Prostornina kosa stožca (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Skupna površina prisekanega stožca = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Vprašanje 3: Kaj je CSA frustuma?

odgovor:

Ukrivljeno površino prisekanega roba stožca izračunamo po formuli,

CSA = πl (r + r')

kje,
r' je polmer zgornjega kroga frustuma
r je osnova polmera
l je poševna višina

Vprašanje 4: Kakšna je površina prisekanega stožca?

odgovor:

Površina prisekanega roba stožca se izračuna po formuli,

• CSA kosa stožca = πl [ (r²– r’²) / r’]
• TSA prisekanega stožca = π (r²+ r’²) + πl [ (r²– r’²) / r']

Vprašanje 5: Kolikšna je prostornina prisekanega stožca?

odgovor:

Prostornina prisekanega stožca se izračuna po formuli,

• V = 1/3πh[ (r³– r’³) / r']
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)