Algebra je ena temeljnih tem matematike. Polinomi so bistveni del algebre. Vietaova formula se uporablja v polinomih. Ta članek govori o Vietovi formuli, ki poveže vsoto in produkt korenin s koeficientom polinoma. Ta formula se uporablja posebej v algebri.
Vieta formula
Vietove formule so tiste formule, ki zagotavljajo razmerje med vsoto in produktom korenin polinoma s koeficienti polinomov. Vietaova formula opisuje koeficiente polinoma v obliki vsote in produkta njegovega korena.
Vieta formula
Vietaova formula obravnava vsoto in produkt korenin in koeficienta polinoma. Uporablja se, ko moramo najti polinom, ko so podani koreni ali moramo najti vsoto ali produkt korenin.
Vietova formula za kvadratno enačbo
- če f(x) = ax 2 + bx + c je kvadratna enačba s koreni a in b potem,
- Vsota korenov = α + β = -b/a
- Produkt korenin = αβ = c/a
- Če sta podana vsota in produkt korenin, je kvadratna enačba podana z:
- x 2 – (vsota korenin)x + (zmnožek korenin) = 0
Vietova formula za kubično enačbo
- če f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d je kvadratna enačba s koreni a, b in c potem,
- Vsota korenov = α + β + γ = -b/a
- Vsota produkta dveh korenov = αβ + αγ + βγ = c/a
- Produkt korenin = αβγ = -d/a
- Če sta podana vsota in produkt korenin, je kubična enačba podana z:
- x 3 – (vsota korenov)x 2 + (vsota produkta dveh korenov)x – (produkt korenov) = 0
Vietova formula za posplošeno enačbo
če f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ……… + a 2 x 2 + a 1 x +a 0 je kvadratna enačba s koreni r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n potem,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /a n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /a n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (a 0 /a n )
Vzorčne težave
Problem 1: Če sta α , β korena enačbe : x 2 – 10x + 5 = 0 , nato poiščite vrednost (α 2 + b 2 )/(a 2 b + ab 2 ).
rešitev:
dano Enačba:
- x2– 10x + 5 = 0
Po Vitini formuli
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Kot2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(a2+b2) = 90
Zdaj vrednost (α2+ b2)/(a2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problem 2: Če sta α , β korena enačbe : x 2 + 7x + 2 = 0 , nato poiščite vrednost 14÷(1/α + 1/ β).
rešitev:
Dana enačba:
- x2+ 7x + 2 = 0
Po Vitini formuli
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Zdaj je (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Zdaj vrednost 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Problem 3: Če sta α , β korena enačbe : x 2 + 10x + 2 = 0, nato poiščite vrednost (α/β + β/α).
rešitev:
Dana enačba:
- x2+ 10x + 2 = 0
Po Vitini formuli
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Kot2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Zdaj je vrednost (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Problem 4: Če sta α in β korena enačbe in glede na to, da je α + β = -100 in αβ = -20, poiščite kvadratno enačbo.
rešitev:
podano,
- Vsota korenov = α + β = -100
- Produkt korenin = αβ = -20
Kvadratno enačbo podaja:
x2– (vsota korenin)x + (zmnožek korenin) = 0
testni primeri junitx2– (-100)x + (-20) = 0
x 2 + 100x – 20 = 0
Problem 5: Če so α , β in γ koreni enačbe in če je α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 in αβ γ = -6, potem poiščite kubično enačbo.
rešitev:
podano,
- Vsota korenov = α + β + γ = 10,
- Vsota produkta dveh korenov = αβ + αγ + βγ = -1
- Produkt korenin = avg = -6
Kubična enačba je podana z:
x3– (vsota korenov)x2+ (vsota produkta dveh korenov)x – (produkt korenov) = 0
x3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
x 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Problem 6: Če so α , β in γ koreni enačbe x 3 + 1569x 2 – 3 = 0, nato poiščite vrednost [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
rešitev:
podano,
- Vsota korenov = α + β + γ = -b/a = -1569/1 = -1569
- Vsota produkta dveh korenov = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Produkt korenin = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Ker (str3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(str2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Naj bo p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Iz enačbe (1):
(str3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
str3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)
= -3/povprečje = -3/3
= -1
Problem 7: Če sta α in β korena enačbe x 2 – 3x +2 =0 nato poiščite vrednost α 2 – b 2 .
rešitev:
podano,
- Vsota korenov = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Produkt korenin = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Kot (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Od,
a2– b2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
a 2 – b 2 = 3