Podmnožice v matematiki so osrednji koncept v študiju teorije množic, podobno kot množice. Skupina elementov, predmetov ali članov, zaprtih v zavitih oklepajih, kot je {x, y, z}, se imenuje Set , kjer je vsak član množice edinstven. Za niz {x, y, z} so možne podmnožice {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} ali { x, y, z}. Med definiranjem nabora so lahko njegovi elementi realna števila, konstante, spremenljivke ali kateri koli drugi objekti.

Ta članek podrobno raziskuje koncept podnaborov in omogoča enostavno razumevanje vsem bralcem članka, ne glede na njihovo akademsko raven. Vse podteme, kot so njihov pomen, definicija, simbol, primer in še veliko več, so v članku zajete z veliko primeri. Torej, začnimo naše potovanje v deželo teorije množic in razumemo ta koncept podmnožic.

V tem članku smo podali podrobne informacije o kaj so podmnožice v matematiki, nadmnožice v matematiki, pravilna podmnožica in nepravilna podmnožica s primeri in pogostimi vprašanji.

Kazalo

• Kaj so podmnožice v matematiki?
• Primer podnaborov
• Moč kompleta
• Vrste podmnožic
• Pravilna podmnožica
• Nepravilna podmnožica
• Pravilne in nepravilne podmnožice
• Podmnožice proti Nadmnožicam

Kaj so podmnožice v matematiki?

Množica 'A' je podmnožica množice 'B', če vsi elementi množice A spadajo pod množico B. Tudi podmnožica je lahko enaka množici v določenem primeru, ko so vsi elementi podmnožice vsebovani v set.

Da bi bolje razumeli podmnožico, pomislimo, da je množica A zbirka lihih števil, množica B pa je sestavljena iz {1,3,5}, tako da je tukaj B podmnožica A, A pa nadmnožica B.

Na primer: Če množica A vsebuje {jabolko, banano} in množica B vsebuje {vse sadje}, potem je A podmnožica B.

Poglejmo še en primer za boljše razumevanje.

Primer: Ugotovite, katera je podmnožica in katera nadmnožica, če je A = {a, e, i, o, u} in B = { Vse abecede}.

odgovor:

java naštevanja

Tukaj A vsebuje vse elemente samoglasnikov, ki so del abecede. Tukaj je torej A podmnožica B in B nadmnožica A.

Definicija podnabora

Matematično naj bi bila množica A podmnožica množice B, če vse komponente množice A obstajajo tudi v množici B. Podmnožica je torej podskupina katere koli množice. Z drugimi besedami, niz A je vsebovan v nizu B.

Na primer: Če je nabor A = {1, 2, 3} in nabor B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, potem lahko rečemo, da je nabor A podnabor nabora B, saj so na voljo vsi elementi v naboru A. v kompletu B.

Podnabor Pomen

Množica, katere elementi so vsi elementi vključujoče množice, je pomen podmnožice. Razmislite o množici X, tako da X vsebuje imena vseh rek države. Drug niz Y vključuje imena rek v vaši severni Indiji. Tukaj bo y podmnožica x, ker bi bile vse reke v severni Indiji tudi reke naše države; zato je Y podmnožica X. Obstaja samo določeno število različnih ali edinstvenih podmnožic za katero koli množico, zato so preostale nepomembne in se ponavljajo.

Primer: navedite vse podmnožice množice Q = {1, 2, 3}.

odgovor:

Podmnožice Q so {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} in {1, 2, 3}

Simbol podnabora

Podmnožica je označena s simbolom in se bere kot 'je podmnožica' v teorija množic . Podmnožica je predstavljena s simbolom, podanim z ⊆. Podmnožice se lahko izrazijo s tem simbolom na naslednji način:

A ⊆ B to pomeni, da je množica A podmnožica množice B.

igralec govinda

Primer podnaborov

Edina potreba, da je množica A podmnožica množice B, je, da je vsak element A prisoten v B. Tukaj je nekaj primerov podmnožic, ki temeljijo na tem.

• A = {2, 3, 10} je podmnožica B = {1, 2, 3, 4, 10},
• p = Množica vseh praštevil je podmnožica n = Množica vseh naravnih števil, in
• X = {a, e, i, o, u} je zbirka samoglasnikov in je podmnožica Y = Niz vseh abeced.

Omeniti velja, da je vsak niz podmnožica samega sebe, tako kot prazen niz ().

Primer: Ali je lahko ničelna množica podmnožica katere koli množice?

odgovor:

Null je podmnožica vsakega niza. Privzeto upoštevamo dejstvo, da vsi nizi vsebujejo element, imenovan ničelni niz.

Podmnožice realnega števila

Realna števila, ki jih je mogoče izraziti kot decimalna števila, spadajo v različne kategorije. Iz svojega vsakodnevnega bivanja ste nedvomno že seznanjeni z ulomki, decimalkami in štetjem števil. Naslednja števila veljajo za podmnožico realnih števil:

• Racionalna števila : poljubno število, ki ga je mogoče izraziti kot ulomek, p/q, kjer sta p in q pozitivni celi števili. To so nekončne, ponavljajoče se decimalke in zaključne decimalke v decimalni obliki. Primer: -5/9, 1/8
• Iracionalna števila : Te številke se ne končajo ali ponavljajo, če so izražene v decimalni obliki. Primer: e.
• Cela števila : Vsa števila za štetje, vključno z ničlo in njihovimi nasprotji. Primer: -2,-1,0,3
• Cela števila : Nič in vsa pozitivna števila. Primer 0, 2, 500
• Naravna števila : Vsa pozitivna števila. Primer 1,2,40

Primer: Katerim podmnožicam realnih števil pripada -5?

odgovor:

-5 je racionalno število in celo število.

Moč kompleta

Komplet nabor moči sestoji iz vsake podmnožice, pa tudi iz prvotne množice in prazne množice. P(A) pomeni nabor moči dane množice A. Na primer, če je A = {1, 2}, potem je P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Tukaj lahko jasno vidimo, da so vse podmnožice A vsebovane v P(A), tj. potenčni množici A.

Število podmnožic množice

Za katero koli množico A je število seusset podano z naslednjo formulo

Število podnaborov = 2 ⁿ

Kje n je število elementov v nizu.

Ker niz moči vsebuje vse podmnožice katerega koli niza, torej za niz A, ki ima 'n' elementov, ima P(A) 2ⁿelementi.

Primer: Koliko elementov potenčne množice lahko sestavimo, če so v množici štirje elementi?

odgovor:

Število elementov močnostnega sklopa s tremi elementi je 2⁴= 16.

Vrste podmnožic

Obstajata dve vrsti podmnožic, ki sta:

regresijski izraz v Javi

• Pravilna podmnožica
• Nepravilna podmnožica

O teh vrstah se podrobneje pogovorimo na naslednji način:

Pravilna podmnožica

A pravilna podmnožica obsega le nekaj članov prvotnega sklopa. Pravilna podmnožica nikoli ne more biti enaka prvotni množici. V pravi podmnožici je podmnožica, ki tvori prvotni niz, izključena.

Pravilni podmnožični simbol

Pravilno podmnožico označimo z ⊂,

Pravilno podmnožico za množico A in množico B lahko izrazimo kot;

A ⊂ B

Primer pravilnih podmnožic

Naj bo množica A = {1, 3, 5}, potem so ustrezne podmnožice A {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Poleg tega je {1, 3, 5} podmnožica A, vendar ni prava podmnožica A.

Pravilna formula za podnabor

Število pravih podmnožic množice z 'n' elementi je 2ⁿ- 1.

Primer: množica vsebuje 3 elemente, koliko bo pravilnih podmnožic?

odgovor:

Število pravilnih podmnožic = 2ⁿ- 1

Tukaj je n = 3

N = 2³– 1 = 7

Nepravilna podmnožica

An nepravilna podmnožica vsebuje tako ničelno množico kot vsakega člana začetne množice. Nepravilna podmnožica je lahko enaka prvotni množici. V nepravilno podmnožico je vključena podmnožica, ki tvori prvotni niz. To je predstavljeno s simbolom ⊆ .

Primer: Kaj bo neustrezna podmnožica množice A = {1, 3, 5}?

odgovor:

Nepravilna podmnožica: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} in {1,3,5}

java jedro java

Neustrezna formula podnabora

Za zbirko 'n' elementov je število nepravilnih podmnožic vedno 1. Z drugimi besedami, število nepravilnih podmnožic množice ni odvisno od števila njenih elementov.

Nauči se več, Formule teorije množic

Pravilne in nepravilne podmnožice

Ključne razlike med pravilnimi in nepravilnimi podnabori so navedene v naslednji tabeli:

Primer: Za množico P = {1,2} poiščite pravilno in nepravilno podmnožico.

rešitev:

java pretvori celo število v niz

Pravilni nabor podajajo { }, {1} in {2}

Nepravilen niz je podan z { }, {1}, {2} in {1,2}

Podmnožice proti Nadmnožicam

Ključne razlike med obema podmnožice in nadnabori so navedeni v naslednji tabeli:

Formula podnabora

Spodaj so navedene vse formule, povezane s podmnožicami.

• Število podmnožic množice z n elementi je 2ⁿ. To vključuje pravilne in nepravilne podmnožice.
• Število pravih podmnožic množice z n elementi je 2ⁿ- 1.
• Število nepravilnih podmnožic katere koli množice je vedno 1.

Tudi Preberite

• Predstavitev Seta
• Vrste kompletov
• Univerzalni kompleti

Rešene težave na podmnožicah

Problem 1: Koliko podmnožic v množici s 4 elementi?

rešitev:

Komplet, ki vsebuje 4 elemente, bo imel 2⁴elementov v njem = 16.

Problem 2: Koliko podmnožic v množici s 5 elementi?

rešitev:

Komplet, ki vsebuje 5 elementov, bo imel 2⁵elementov v njem = 32.

Pogosta vprašanja o podnaborih

Kaj so podmnožice v matematiki?

Če je vsaka komponenta množice A prisotna tudi v množici B, potem velja, da je množica A podmnožica množice B. Povedano drugače, množica B vsebuje množico A.

Kaj so ustrezne podmnožice?

Podmnožica množice A, ki ni enaka A, je pravilna podmnožica A. Z drugimi besedami, če je B pravilna podmnožica A, potem ima A vsaj en element, ki ni v B, vendar so vsi elementi B-ja v.

Kaj so nepravilne podmnožice?

Podnabor, ki vključuje vsako komponento prvotnega nabora, se šteje za neustrezen podnabor.

Ali je podmnožica lahko enaka sama sebi?

Vsak niz je mišljen kot podmnožica samega sebe. Pravilna podmnožica nobene množice ni sama. Vsak niz ima prazno množico kot podmnožico.

Ali je podnabor lahko univerzalni nabor?

Lahko rečemo, da je množica A podmnožica množice B, če je vsak element v množici A tudi element v množici B. Potem lahko katero koli univerzalno množico uporabimo za izdelavo podmnožic. Pomembno je tudi upoštevati, da je vsak univerzalni niz dejansko podskupina samega sebe.

Ali je podnabor lahko nič?

Da, ničelni niz je privzeto podmnožica katerega koli niza.

Kakšni sta dve klasifikaciji podmnožice?

Klasifikacije podmnožic so:

• Pravilna podmnožica
• Nepravilna podmnožica