Funkcija ena proti ena ali One-One Function je ena od vrste funkcij definirana nad domeno in kodomeno ter opisuje specifično vrsto razmerja med domeno in kodomeno. Funkcija ena proti ena se imenuje tudi injektivna funkcija. Funkcija ena proti ena je matematična funkcija, kjer vsak element v domeni preslika v edinstven element v kodomeni .
Ta članek podrobno raziskuje koncept funkcije ena proti ena ali funkcija ena ena, vključno z njeno definicijo in primeri, ki vam pomagajo razumeti koncept z lahkoto. Razpravljali bomo tudi o nekaterih vzorčnih problemih in ponudili nekaj praktičnih problemov, ki jih boste morali rešiti. Torej, spoznajmo ta pomemben koncept v matematiki, znan kot funkcija ena proti ena.
Kazalo
- Kaj je funkcija ena proti ena?
- Primeri funkcij ena proti ena
- Lastnosti funkcij ena proti ena
- Funkcija ena na ena in funkcija na eno
- Rešeni primeri na funkciji ena proti ena
Kaj je funkcija ena proti ena?
Funkcija ena proti ena, znana tudi kot injektivna funkcija, je tista, pri kateri imajo različni elementi A različne elemente, povezane z B, ali imajo različni elementi A različne slike v B.
Če obstajajo različne slike za funkcijo, to pomeni, da je možno samo ena proti ena, če so bile predslike različne, če ima niz B različne elemente, kar pomeni, da je to mogoče le, če ima niz različne elemente, za katere so bili ti predslike.
neurejeno prečkanje binarnega drevesa
Definicija funkcije ena proti ena
Funkcija 'f' iz množice 'A' v množico 'B' je ena proti ena, če nobena dva elementa v 'A' nista preslikana v isti element v 'B.'
Oglejmo si ta dva diagrama. Za diagram A ugotovimo, da se 10 preslika v 1, 20 v 2 in 30 v 3.
Vendar je za diagram B jasno, da se 10 in 30 preslika v 3 in nato 20 v 1.
Ker imamo elemente v domeni, ki ustrezajo različnim vrednostim v vsaki domeni za diagram A, postane funkcija ena proti ena, torej naš diagram B ni ena proti ena.
To lahko matematično izrazimo kot
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Primer funkcij ena proti ena
- Funkcija identitete: Funkcija identitete je preprost primer funkcije ena proti ena. Sprejme vhod in vrne isto vrednost kot izhod. Za vsako realno število x je funkcija identitete definirana kot:
f(x) = x
Vsak ločen vhod x ustreza ločenemu izhodu f(x), zaradi česar je funkcija ena proti ena.
- Linearna funkcija: Linearna funkcija je tista, pri kateri je največja potenca spremenljivke 1. Na primer:
f(x) = 2x + 3
To je funkcija ena proti ena, ker ne glede na to, katero vrednost x izberete, boste dobili edinstveno vrednost za f(x).
- Funkcija absolutne vrednosti: Funkcija absolutne vrednosti f(x)=∣x∣ je prav tako funkcija ena proti ena. Za katero koli realno število x funkcija absolutne vrednosti vrne nenegativno vrednost, različne vrednosti x pa bodo povzročile različne absolutne vrednosti.
Dokažimo en tak primer za funkcijo ena proti ena.
Primer: dokaži, da je funkcija f(x) = 1/(x+2), x≠2 ena proti ena.
rešitev:
Glede na funkcijo ena proti ena to vemo
f(a) = f(b)
zamenjajte a z x in x z b
f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
navzkrižno pomnožite zgornjo enačbo
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
Ker je a = b, je funkcija ena proti ena funkcija.
Lastnosti Funkcije ena proti ena
Recimo, da sta f in g dve funkciji ena proti ena, lastnosti pa so naslednje:
- Če sta f in g ena proti ena, potem f ∘ g sledi injektivnosti.
- Če je g ∘ f ena proti ena, potem je funkcija f ena proti ena, funkcija g pa morda ni.
- f: X → Y je ena-ena, če in samo če je za katero koli funkcijo g, h : P → X kadarkoli f ∘ g = f ∘ h, potem je g = h. Z drugimi besedami, funkcije ena-ena so natanko monomorfizmi v kategoriji nizov.
- Če je f: X → Y ena-ena in je P podmnožica X, potem je f-1(f(A)) = P. Tako lahko P pridobimo iz njegove slike f(P).
- Če je f: X → Y ena-ena in sta P in Q obe podmnožici X, potem je f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
- Če sta X in Y omejena z enakim številom elementov, potem je f: X → Y ena-ena, če in samo če je f surjektivna ali onto funkcija.
Graf funkcije ena proti ena
Oglejmo si eno od grafičnih predstavitev funkcije ena proti ena
Zgornji graf funkcije f(x)= √x prikazuje grafično predstavitev funkcije ena proti ena.
Test vodoravne črte
Funkcija je ena proti ena, če vsaka vodoravna črta ne seka grafa v več kot eni točki.
Za primer uporabimo linearno funkcijo. Imenujmo to f(x), tako da ima f(x) inverzno funkcijo. Če želite ugotoviti, ali ima f(x) inverzno funkcijo, morate dokazati, da je funkcija ena proti ena, pokazati morate, da prestane preizkus vodoravne črte. Torej, če narišemo vodoravno črto in če se f(x) več kot enkrat dotakne vodoravne črte, to pomeni, da f(x) ni funkcija ena proti ena in nima inverzne funkcije.
V zgornjem primeru seka vodoravno črto samo v eni točki. Torej je f(x) funkcija ena proti ena, kar pomeni, da ima inverzno funkcijo.
Inverzna funkcija ena proti ena
Naj bo f funkcija ena proti ena z domeno A in obsegom B. Potem je inverzna funkcija f funkcija z domeno B in obsegom A, ki jo definira f-1(y) =x če in samo če je f(x)=y za kateri koli y v B. Vedno si zapomnite, da ima funkcija inverzijo, če in samo če je ena proti ena. Funkcija je ena proti ena, če je najvišji eksponent liho število. Če pa je največje število sodo število ali absolutna vrednost, to ni funkcija ena proti ena.
Primer: f(x)=3x+2 poiščite inverzno funkcijo
rešitev:
zapišite funkcijo v obliki y=f(x).
⇒ y=3x+2
omogoča zamenjavo spremenljivk y in x
⇒ x=3y+2
reši y glede na x
⇒ x-2=3y
deli enačbo s 3
⇒ (x-2)/3=3y/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
Funkcija ena na ena in funkcija na eno
Ključne razlike med funkcijama One to One in Onto so navedene v naslednji tabeli:
| Lastnina | Funkcija ena proti ena (injektivna). | Onto (surjektivna) funkcija |
|---|---|---|
| Opredelitev | Funkcija, pri kateri se dva različna elementa v domeni ne preslikata v isti element v kodomeni. Z drugimi besedami, vsak element v domeni se preslika v edinstven element v kodomeni. | Funkcija, pri kateri je vsak element v kodomeni preslikan v vsaj en element v domeni. Z drugimi besedami, obseg funkcije je enak celotni kodomeni. |
| Simbolična predstavitev | f(x1) ≠ f(x2), če x1≠ x2za vse x1, x2v domeni. | Za vsak y v kodomeni obstaja tak x v domeni, da je f(x) = y. |
| Grafična predstavitev | Graf funkcije ena proti ena nikoli nima vodoravne črte, ki ga seka v več kot eni točki. | Graf onto funkcije morda ne pokriva vsake točke na kodomeni, pokriva pa vsako točko, ki jo lahko, kar pomeni, da v kodomeni ni vrzeli. |
| Primer | f(x) = 2x je ena proti ena, ker nobeni dve različni vrednosti x ne ustvarita enakega rezultata. | f(x) = √x je na voljo za nenegativno realno število kot kodomeno, ker imajo vsa nenegativna realna števila v tej funkciji predsliko. |
| Inverzna funkcija | Funkcija ena proti ena ima na splošno inverzno funkcijo. | Onto funkcija ima lahko inverzno funkcijo ali pa ne. |
| Kardinalnost | Kardinalnost domene in kodomene je lahko enaka ali različna za funkcije ena proti ena. | Kardinalnost kodomene je običajno večja ali enaka kardinalnosti domene za onto funkcije. |
Naslednja ilustracija prikazuje jasno razliko med funkcijo one one in onto:
Preberi več,
- Funkcije
- Vrste funkcij
- Razmerje in funkcija
Rešene težave na funkciji ena proti ena
Rešimo nekaj problemov za ponazoritev funkcij ena proti ena:
1. naloga: Ugotovite, ali je naslednja funkcija ena proti ena: f(x) = 3x – 1
rešitev:
1. rešitev: Če želite preveriti, ali je ena proti ena, moramo pokazati, da se nobeni različni vrednosti x ne preslikata v isto vrednost y.
Recimo, da je f(a) = f(b), kjer je a ≠ b.
3a – 1 = 3b – 1
3a = 3b
a = b
Ker je edina možnost za f(a) = f(b) a = b, je ta funkcija res ena proti ena.
Problem 2: Ugotovite, ali je naslednja funkcija ena proti ena: g(x) = x 2
rešitev:
2. rešitev: Uporabili bomo test vodoravne črte z grafom funkcije. Če katera koli vodoravna črta seka graf več kot enkrat, ni ena proti ena.
Graf g(x) = x^2 je parabola, ki se odpira navzgor. Vsaka vodoravna črta samo enkrat seka graf, zato ta funkcija ni ena proti ena.
Vadite naloge na funkcijah ena proti ena
Problem 1: Ugotovite, ali je naslednja funkcija ena proti ena:
- f(x) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- h(x) =3√x
Problem 2: Poiščite funkcijo, ki je ena proti ena od množice realnih števil do množice realnih števil.
Problem 3: Dana je funkcija g(x) = x2+ 1, ugotovi, ali je ena proti ena na celotni domeni.
Problem 4: Razmislite o funkciji h(x) = ex. Je to funkcija ena proti ena?
Problem 5: Poiščite inverzno funkcijo f(x) = 4x – 7 in določite njeno domeno.
Problem 6: Ugotovite, ali je funkcija p(x) = √x ena proti ena.
Problem 7: Glede na q(x) = x/2 poiščite domeno in obseg funkcije.
Problem 8: Preverite, ali je funkcija r(x) = sin (x) ena proti ena v intervalu [0, π].
Problem 9: Razmislite o funkciji s(x) = |x|. Je to funkcija ena proti ena?
Problem 10: Ugotovite, ali je funkcija t(x) = 1/x ena proti ena in poiščite njeno domeno.
Funkcije ena na ena – pogosta vprašanja
1. Kaj je funkcija ena proti ena?
Funkcija ena proti ena je matematična funkcija, ki preslika vsak element v svoji domeni v edinstven element v svoji kodomeni. Z drugimi besedami, dveh različnih elementov v domeni ne preslika v isti element v kodomeni.
2. Kako lahko ugotovim, ali je funkcija ena proti ena?
Uporabite lahko test vodoravne črte. Če nobena vodoravna črta ne seka grafa funkcije več kot enkrat, je to funkcija ena proti ena.
3. Kakšna je razlika med funkcijo ena proti ena in funkcijo onto?
Funkcija ena proti ena zagotavlja, da nobena dva različna elementa v domeni ne preslikata v isti element v kodomeni, medtem ko funkcija onto, znana tudi kot surjektivna funkcija, zagotavlja, da je vsak element v kodomeni preslikan z vsaj en element v domeni.
4. Ali so vse linearne funkcije ena proti ena?
Ne, niso vse linearne funkcije ena proti ena. Na primer, f(x) = 2x je ena proti ena, vendar g(x) = 2x + 1 ni, ker dve različni vrednosti x preslika v isto vrednost y (npr. g(1) = 3 in g(2) = 5).