logo

TechCodeview

Newton Raphsonova metoda

Newton Raphsonova metoda ali Newtonova metoda je zmogljiva tehnika za numerično reševanje enačb. Najpogosteje se uporablja za aproksimacijo korenov realnih funkcij. Metodo Newton Rapson sta razvila Isaac Newton in Joseph Raphson, od tod tudi ime metode Newton Rapson.

Metoda Newton Raphson vključuje iterativno izboljšanje začetne ugibanja, da se konvergira k želenemu korenu. Vendar pa metoda ni učinkovita za izračun korenin polinomov ali enačb z višjimi stopnjami, vendar v primeru enačb majhne stopnje ta metoda daje zelo hitre rezultate. V tem članku bomo spoznali metodo Newton Raphson in korake za izračun korenin tudi s to metodo.



Kazalo

Kaj je Newton Raphsonova metoda?

Newton-Raphsonova metoda, ki je znana tudi kot Newtonova metoda, je iterativna numerična metoda, ki se uporablja za iskanje korenin funkcije z realnimi vrednostmi. Ta formula je poimenovana po siru Isaacu Newtonu in Josephu Raphsonu, saj sta neodvisno prispevala k njenemu razvoju. Newton Raphsonova metoda ali Newtonova metoda je algoritem za približevanje korenin ničel funkcij z realnimi vrednostmi z uporabo ugibanja za prvo iteracijo (x0) in nato približek naslednje ponovitve (x1), ki je blizu korenom, z uporabo naslednje formule.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



kje,

  • x 0 je začetna vrednost x,
  • f(x 0 ) je vrednost enačbe pri začetni vrednosti in
  • f'(x 0 ) je vrednost odvoda prvega reda enačbe ali funkcije pri začetni vrednosti x0.

Opomba: f'(x0) ne sme biti nič, sicer se bo ulomek v formuli spremenil v neskončnost, kar pomeni, da f(x) ne bi smela biti konstantna funkcija.

Formula metode Newton Raphson

V splošni obliki je formula metode Newton-Raphson zapisana na naslednji način:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Kje,

  • x n-1 je ocenjeno (n-1)thkoren funkcije,
  • f(x n-1 ) je vrednost enačbe pri (n-1)thocenjeni koren in
  • f'(x n-1 ) je vrednost odvoda prvega reda enačbe ali funkcije pri xn-1.

Izračun z metodo Newton Raphson

Predpostavimo enačbo ali funkcije, katerih korene je treba izračunati kot f(x) = 0.

Da bi dokazali veljavnost metode Newton Raphson, sledite naslednjim korakom:

Korak 1: Narišite graf f(x) za različne vrednosti x, kot je prikazano spodaj:

Izračun z metodo Newton Raphson

2. korak: Na f(x) pri x je narisana tangenta0. To je začetna vrednost.

3. korak: Ta tangenta bo sekala os X v neki fiksni točki (x1,0), če prvi odvod f(x) ni nič, tj. f'(x 0 ) ≠ 0.

4. korak: Ker ta metoda predvideva ponovitev korenin, ta x1velja za naslednji približek korena.

5. korak: Zdaj se koraki od 2 do 4 ponavljajo, dokler ne dosežemo dejanskega korena x*.

Zdaj vemo, da je enačba naklona-preseka katere koli premice predstavljena kot y = mx + c,

volk ​​ali lisica

Kje m je naklon črte in c je x-presek premice.

Z uporabo iste formule dobimo

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Tukaj je f(x0) predstavlja c in f'(x0) predstavlja naklon tangente m. Ker ta enačba velja za vsako vrednost x, mora veljati tudi za x1. Torej zamenjava x z x1, in enačenje enačbe na nič, saj moramo izračunati korenine, dobimo:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

koliko tednov v mesecu

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Kar je formula metode Newton Raphson.

Tako je bila metoda Newtona Raphsona matematično dokazana in sprejeta kot veljavna.

Konvergenca Newton Raphsonove metode

Newton-Raphsonova metoda ponavadi konvergira, če velja naslednji pogoj:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Pomeni, da metoda konvergira, ko je modul produkta vrednosti funkcije pri x in drugega odvoda funkcije pri x manjši od kvadrata modula prvega odvoda funkcije pri x. Newton-Raphsonova metoda ima konvergenco reda 2, kar pomeni, da ima kvadratno konvergenco.

Opomba:

Metoda Newtona Raphsona ni veljavna, če je prvi odvod funkcije 0, kar pomeni f'(x) = 0. Možna je le, če je dana funkcija konstantna funkcija.

  • Newtonova metoda za iskanje korenin
  • Razlika med metodo Newton Raphson in navadno Falsi metodo
  • Razlika med metodo bisekcije in metodo Newton Raphson
  • Algoritem za iskanje korena

Primer metode Newton Raphson

Oglejmo si naslednji primer, če želite izvedeti več o procesu iskanja korena funkcije s pravimi vrednostmi.

Primer: Za začetno vrednost x 0 = 3, približni koren iz f(x)=x 3 +3x+1.

rešitev:

Glede na, x0= 3 in f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Uporaba metode Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Rešeni problemi metode Newton Raphson

Problem 1: Za začetno vrednost x 0 = 1, približni koren iz f(x)=x 2 −5x+1.

rešitev:

Glede na, x0= 1 in f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Uporaba metode Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1 -1

⇒ x1= 0

Problem 2: Za začetno vrednost x 0 = 2, približni koren iz f(x)=x 3 −6x+1.

rešitev:

Glede na, x0= 2 in f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Uporaba metode Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

Problem 3: Za začetno vrednost x 0 = 3, približni koren iz f(x)=x 2 −3.

rešitev:

Glede na, x0= 3 in f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

nastavite javo

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Uporaba metode Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Naloga 4: Poiščite koren enačbe f(x) = x 3 – 3 = 0, če je začetna vrednost 2.

kaj je gb

rešitev:

Glede na x0= 2 in f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Uporaba metode Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1.583

Ponovno uporabimo metodo Newton Raphson:

x2= 1,4544

x3= 1,4424

x4= 1,4422

Zato je koren enačbe približno x = 1,442.

Problem 5: Poiščite koren enačbe f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, če je začetna vrednost 3.

rešitev:

Glede na x0= 3 in f(x) = x3– 5x + 3 = 0

algebra množic

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Uporaba metode Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Ponovno uporabimo metodo Newton Raphson:

x2= 1,9705

x3= 1,8504

x4= 1,8345

x5= 1,8342

Zato je koren enačbe približno x = 1,834.

Pogosta vprašanja o metodi Newton Raphson

V1: Definirajte metodo Newton Raphson.

odgovor:

Newton Raphsonova metoda je numerična metoda za približevanje korenov katere koli dane realno vredne funkcije. Pri tej metodi smo za aproksimacijo korenin uporabili različne iteracije in večje kot je število iteracij, manjša je napaka v vrednosti izračunanega korena.

V2: Kakšna je prednost metode Newton Raphson?

odgovor:

Newton Raphsonova metoda ima prednost, saj nam omogoča, da zelo učinkovito in hitro ugibamo korenine enačbe z majhno stopnjo.

V3: Kakšna je pomanjkljivost metode Newton Raphson?

odgovor:

Pomanjkljivost metode Newton Raphson je, da postane zelo zapletena, ko stopnja polinoma postane zelo velika.

V4: Navedite morebitno uporabo metode Newtona Raphsona v resničnem življenju.

odgovor:

Metoda Newton Raphson se uporablja za analizo pretoka vode v vodovodnih omrežjih v resničnem življenju.

V5: Na kateri teoriji temelji Newton-Raphsonova metoda?

odgovor:

Metoda Newton Raphson temelji na teoriji računa in tangente na krivuljo.