Vztrajnostni moment je lastnost telesa pri rotacijskem gibanju. Vztrajnostni moment je lastnost rotacijskih teles, ki teži k nasprotovanju spremembi rotacijskega gibanja telesa. Podobna je vztrajnosti katerega koli telesa pri translacijskem gibanju. Matematično je vztrajnostni moment podan kot vsota zmnožka mase vsakega delca in kvadrata razdalje od rotacijske osi. Meri se v enoti kgm ² .

Spoznajmo vztrajnostni moment podrobneje v spodnjem članku.

Kazalo

• Vztrajnostni moment Definicija
• Formula vztrajnostnega momenta
• Dejavniki, ki vplivajo na vztrajnostni moment
• Kako izračunati vztrajnostni moment?
• Formula za vztrajnostni moment za različne oblike
• Polmer vrtenja
• Izreki o vztrajnostnem momentu
• Vztrajnostni momenti za različne predmete

Vztrajnostni moment Opredelitev

Vztrajnostni moment je težnja telesa pri rotacijskem gibanju, ki nasprotuje spremembi njegovega rotacijsko gibanje zaradi zunanjih sil. Vztrajnostni moment se obnaša kot kotna masa in se imenuje rotacijska vztrajnost. Vztrajnostni moment je podoben mehanskemu vztrajnost telesa.

MOI je opredeljen kot količina, izražena z vsoto produkta masa vsakega delca s kvadratom njegove oddaljenosti od osi vrtenja za kateri koli delec, ki izvaja rotacijsko gibanje.

Enota za vztrajnostni moment

Vztrajnostni moment je skalarna količina in enota SI za vztrajnostni moment je kgm ² .

Dimenzijska formula vztrajnostnega momenta

Ker je vztrajnostni moment podan kot produkt mase in kvadrata razdalje. Njegovo dimenzijska formula je podana z zmnožkom dimenzijske formule mase in kvadrata dimenzijske formule dolžine. Dimenzijska formula vztrajnostnega momenta je, ML ²

Kaj je inercija?

Vztrajnost je lastnost snovi, zaradi katere se upira spremembi stanja svojega gibanja. To pomeni, da telo v mirovanju poskuša ostati v mirovanju in se upreti kakršni koli sili, ki bi ga poskušala premakniti, telo v gibanju pa poskuša nadaljevati gibanje in se upreti kateri koli sili, ki bi ga poskušala spraviti v gibanje, da bi spremenila velikost svojega gibanja. Količinsko je enaka največji sili, ki poskuša spremeniti svoje stanje gibanje .

Izvedite več o vztrajnost .

Formula vztrajnostnega momenta

Vztrajnostni moment je a skalarna količina . Matematično se zmnožek kvadrata mase delca in razdalje od vrtilne osi imenuje vztrajnostni moment delca okoli vrtilne osi.

Splošna formula za iskanje vztrajnostnega momenta katerega koli predmeta je,

jaz = g ²

kje,
m je masa predmeta'
r je razdalja od osi vrtenja

Za telo, sestavljeno iz neprekinjenih infinitezimalno majhnih delcev, se za izračun vztrajnostnega momenta uporablja integralna oblika vztrajnostnega momenta.

I = ∫dI

jaz = int_{0}^{M} r^2 dm

Vztrajnostni moment sistema delcev

Vztrajnostni moment sistema delcev je podan s formulo,

I = ∑m _jaz r _jaz ²

kje,
r _jaz je pravokotna razdalja i^thdelec z osi
m _jaz je masa i^thdelec

Zgornja enačba vztrajnostnega momenta pove, da je vztrajnostni moment za sistem delcev enak vsoti zmnožka mase vsakega delca in kvadrata razdalje od osi vrtenja vsakega delca.

Za spodnjo sliko,

Vztrajnostni moment prvega delca = m₁×r₁²

Vztrajnostni moment drugega delca = m₂×r₂²

Vztrajnostni moment tretjega delca = m₃×r₃²

Podobno,

Vztrajnostni moment n^thdelec = m_n×r_n²

Zdaj vztrajnostni moment celotnega telesa okoli osi vrtenja AB bo enak vsoti vztrajnostnih momentov vseh delcev, torej

jaz = m₁×r₁²+ m₂×r₂²+ m₃×r₃²+……+m_n×r_n²

matrično množenje v c

I = Σm _jaz ×r _jaz ²

kje,
jaz predstavljajo vztrajnostni moment telesa okoli vrtilne osi
m _jaz je masa i^thdelec,
r _jaz je polmer i^thdelec
S predstavlja vsoto.

Iz enačbe lahko rečemo, da je vztrajnostni moment telesa okoli nepremične osi enak vsoti produkta mase vsakega delca tega telesa in kvadrata njegove pravokotne oddaljenosti od nepremične osi.

Dejavniki, ki vplivajo na vztrajnostni moment

Vztrajnostni moment katerega koli predmeta je odvisen od naslednjih vrednosti:

• Oblika in velikost predmeta
• Gostota materiala predmeta
• Os vrtenja

Kako izračunati vztrajnostni moment?

Uporablja se več načinov izračunajte vztrajnostni moment katerega koli vrtečega se predmeta.

• Pri enotnih predmetih se vztrajnostni moment izračuna tako, da se masa zmnoži s kvadratom njegove oddaljenosti od vrtilne osi (r²).
• Za neenakomerne predmete vztrajnostni moment izračunamo tako, da vzamemo vsoto zmnožka mas posameznih točk pri vsakem različnem polmeru, za to je uporabljena formula

I = ∑m _jaz r _jaz ²

Formula za vztrajnostni moment za različne oblike

Ta tabela obravnava izraze za vztrajnostni moment za nekatere simetrične predmete skupaj z njihovo osjo vrtenja:

Polmer vrtenja

The Polmer vrtenja telesa je definiran kot pravokotna razdalja od osi vrtenja do točke mase, katere masa je enaka masi celotnega telesa, vztrajnostni moment pa je enak dejanskemu vztrajnostnemu momentu predmeta, kot je bil domnevamo, da je tam skoncentrirana celotna masa telesa. To je namišljena razdalja. Polmer vrtenja je označen s K.

Če sta masa in polmer vrtenja telesa M oziroma K, potem je vztrajnostni moment telesa

jaz = MK ² ……(1)

Tako je polmer vrtenja telesa pravokoten na os vrtenja, katerega kvadrat, pomnožen z maso tega telesa, daje vztrajnostni moment tega telesa okoli te osi.

Spet z enačbo (1), K²= I/M

K = √(I/m)

Tako je polmer vrtenja telesa okoli osi enak kvadratnemu korenu razmerja telesa okoli te osi.

Izreki o vztrajnostnem momentu

Obstajata dve vrsti izrekov, ki sta zelo pomembni glede na vztrajnostni moment:

• Izrek o vzporedni osi
• Izrek o pravokotni osi

Izrek o pravokotni osi

Izrek o pravokotni osi pravi, da je vsota vztrajnostnega momenta telesa okoli dveh medsebojno pravokotnih osi, ki ležita v ravnini telesa, enaka vztrajnostnemu momentu telesa okoli tretje osi, ki je pravokotna na obe osi in poteka skozi njuni točki. križišča.

Na zgornji sliki je OX in LTD sta dve osi v ravnini telesa, ki sta pravokotni druga na drugo. Tretja os je OZ ki je pravokotna na ravnino telesa in poteka skozi presečišče OX in LTD sekire. če jaz _x , JAZ _in , in jaz _z so vztrajnostni momenti telesa okoli osi OX , LTD , in OZ osi, potem po tem izreku

jaz _x + jaz _in = jaz _z

Izrek o vzporedni osi

Po navedbah Izrek o vzporedni osi , je vztrajnostni moment telesa okoli dane osi vsota vztrajnostnega momenta okoli osi, ki poteka skozi masno središče tega telesa, in produkta kvadrata mase telesa in pravokotne razdalje med dve osi.

Naj na zgornji sliki najdemo vztrajnostni moment jaz _O telesa, ki gre skozi točko O in okoli osi, pravokotne na ravnino, medtem ko je vztrajnostni moment telesa, ki gre skozi središče mase C in okoli osi, ki je vzporedna z dano osjo, je jaz _C , potem v skladu s tem izrekom

jaz _O = jaz _C + Ml ²

kje
M je masa celotnega telesa
l je pravokotna razdalja med dvema osema.

Vztrajnostni momenti za različne predmete

Vztrajnostni momenti različnih predmetov so obravnavani spodaj v tem članku

Vztrajnostni moment pravokotne plošče

Če je masa plošče M, dolžina l in širina b, potem vztrajnostni moment poteka skozi težišče in okoli osi, pravokotne na ravnino plošče.

I = M(l ² + b ² / 12)

Vztrajnostni moment diska

Če ima disk maso M in polmer r, je vztrajnostni moment okoli geometrijske osi diska enak

I = 1/2 (g ² )

Vztrajnostni moment palice

Če je masa palice M in dolžina l, potem vztrajnostni moment okoli osi, ki je pravokotna na dolžino palice in poteka skozi njeno težišče

poskusite strukturo podatkov

jaz = ML ² /12

Vztrajnostni moment kroga

Če je masa obroča M in polmer obroča r, potem je vztrajnostni moment okoli osi, ki poteka skozi pravokotno na središče obroča

jaz = g ²

Vztrajnostni moment krogle

Če ima trdna krogla maso M in polmer r, potem je vztrajnostni moment okoli njenega premera enak

I = 2/5 Mr ²

Vztrajnostni moment polnega valja

Vztrajnostni moment polnega valja s polmerom 'R' in maso M je podan z

I = 1/2MR ²

Vztrajnostni moment votlega valja

Votel valj ima dva polmera, in sicer notranji polmer in zunanji polmer. Vztrajnostni moment votlega valja z maso M, zunanjim polmerom R₁, in notranji polmer R₂je podan kot

I = 1/2M(R ₁ ² + R ₂ ² )

Vztrajnostni moment trdne krogle

Vztrajnostni moment trdne krogle z maso 'M' in polmerom 'R' je podan kot

I = 2/5MR ²

Vztrajnostni moment votle krogle

Vztrajnostni moment votle krogle z maso M in polmerom 'R' je podan kot

I = 2/3MR ²

Vztrajnostni moment obroča

Vztrajnostni moment obroča je podan za dva primera, ko gre vrtilna os skozi središče in ko gre vrtilna os skozi premer.

Vztrajnostni moment obroča okoli osi, ki poteka skozi središče, je podan z

pretvori niz v int

jaz = GOSPOD ²

Vztrajnostni moment obroča okoli osi, ki poteka skozi premer, je podan z

jaz = g ² /2

Vztrajnostni moment kvadrata

Vztrajnostni moment kvadrata stranice 'a' je podan kot

jaz = a ⁴ /12

Vztrajnostni moment kvadratne plošče s stranico dolžine 'l' in maso M je podan kot

I = 1/6ML ²

Vztrajnostni moment trikotnika

Vztrajnostni moment trikotnika je podan za 3 situacije, prvič, ko gre os skozi središče, drugič, ko gre os skozi osnovo in tretjo, ko je os pravokotna na osnovo. Oglejmo si formulo zanje enega za drugim. Za trikotnik z osnovo 'b' in višino 'h' je formula za vztrajnostni moment podana takole

Ko gre os skozi Centroid

jaz = bh ³ /36

Ko gre os skozi bazo

jaz = bh ³ /12

Ko je os pravokotna na osnovo

I = (hb/36)(b ² – b ₁ b + b ₁ ² )

Razlika med vztrajnostnim momentom in vztrajnostjo

Razlika med vztrajnostjo in vztrajnostnim momentom je prikazana v spodnji tabeli:

Kinetična energija rotacijskega telesa

Predpostavimo, da se telo z maso 'm' vrti s hitrostjo v na razdalji 'r' od osi vrtenja. Njegova kotna hitrost je nato podana z ω = v/r in nato v = rω. Zdaj vemo, da je Kinetična energija telesa daje

KE = 1/2mv ²

⇒ KE = 1/2m(rω)²

⇒ KE = 1/2mr²oh²

⇒ KE = 1/2Iω ²

Zato je kinetična energija rotirajočega telesa podana s polovico produkta vztrajnostnega momenta in kotna hitrost telesa. Imenuje se tudi kinetična energija vrtečega se telesa Rotacijska kinetična energija . Formula rotacijske kinetične energije je podana kot

KE = 1/2Iω ²

Vztrajnostni moment (I) je neodvisen od kotne hitrosti telesa. Je funkcija mase rotirajočega telesa in oddaljenosti telesa od osi vrtenja. Zato opazimo, da je kotno gibanje analogno linearnemu gibanju, kar pomeni, da je pomen vztrajnostnega momenta v tem, da daje predstavo o tem, kako so mase porazdeljene na različne razdalje od osi vrtenja v rotirajočem telesu.

Uporaba vztrajnostnega momenta

Vztrajnostni moment ima različne aplikacije, od katerih so nekatere obravnavane spodaj:

• Zaradi večjega vztrajnostnega momenta se zemlja vrti okoli svoje osi z enako kotno hitrostjo.
• Pod otroški igralni motor je nameščeno majhno gibljivo kolo. Ko to kolo podrgnete s tlemi in zapustite motor, zaradi vztrajnostnega momenta kolesa motor še nekaj časa deluje.
• Vsak motor je sestavljen iz velikega in težkega kolesa, pritrjenega na njegovo gred, pri čemer je večina njegove mase na njegovem obodu. Zato je njegov vztrajnostni moment visok. To kolo se imenuje vztrajnik. Navor, ki poganja gred motorja, se povečuje. Zato vrtenje gredi morda ni enakomerno, toda zaradi prisotnosti gibajočega se kolesa z večjo vztrajnostjo se gred še naprej vrti s skoraj enakomerno hitrostjo.
• V kolesu volovskih vpreg, rikš, skuterjev, koles itd. je večina mase skoncentrirana na njegovem krogu ali platišču. ta obroč ali rutina je pritrjena na os kolesa s togimi naperami. S tem se njegov vztrajnostni moment poveča. Ko se torej med kolesarjenjem noge nehajo premikati, se kolo še nekaj časa vrti.

Prav tako preverite

• Kinematika rotacijskega gibanja
• Gibanje togega telesa
• Kotalno gibanje

Rešeni primeri o vztrajnostnih momentih

Primer 1: Telo z maso 500 g se vrti okoli osi. oddaljenost težišča mase telesa od vrtilne osi je 1,2 m. poiščite vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja.

rešitev:

Če upoštevamo, da je M = 500 g = 0,5 kg, je r = 1,2 m.

Očitno lahko predpostavimo, da je celotna masa telesa postavljena v njegovo središče mase. Nato vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja.

jaz = g²

I = 0,5 × (1,2)²

I = 0,72 kg m²

Primer 2: Vrtilni polmer okoli osi, ki je 12 cm oddaljena od središča mase telesa z maso 1,2 kg, je 13 cm. Izračunajte vrtilni polmer in vztrajnostni moment okoli osi, ki poteka skozi središče mase.

rešitev:

Če upoštevamo, da je M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, K_CM= ?, jaz_CM= ?

Iz izreka o vzporedni osi I = I_CM+ Ml²

K²= K_CM2+ l²

ali K_CM2= K²– l²

K_CM2 = (13)²– (12)²= 25

java if izjava

K_CM= 5

Zdaj vztrajnostni moment I_CM= MK_CM2

jaz_CM= 1,0 × (0,05)²= 2,5 × 10^-3kg m²

Primer 3: Telo z maso 0,1 kg se vrti okoli osi. če je oddaljenost središča mase telesa od osi vrtenja 0,5 m, potem poiščite vztrajnostni moment telesa.

rešitev:

Glede na to je M = 0,1 kg in r = 0,5 m

torej jaz = g²

I = 0,1 × (0,5)²

I = 0,025 kg m²

Primer 4: Vztrajnostni moment obročev okoli osi, ki poteka skozi središče pravokotno na ravnino krožnega obroča, je 200 gm cm ² . Kolikšen bo vztrajnostni moment glede na njegov premer?

rešitev:

Vztrajnostni moment krožnega obroča okoli osi, ki poteka skozi drugo središče pravokotno na njegovo ravnino

GOSPOD²= 200 gm cm²

Vztrajnostni moment okoli premera

= 1/2 MR²

= 1/2 × 200 = 100 gm cm²

Pogosta vprašanja o vztrajnostnih momentih

Kako izračunati vztrajnostni moment?

Osnovna formula za iskanje vztrajnostnega momenta katerega koli enakomernega predmeta je,

jaz = g ²

kje,
m je masa predmeta'
r je razdalja od osi vrtenja

Kako izračunati vztrajnostni moment žarka?

Vztrajnostni moment nosilca vzdolž središča in osi, ki je vodoravna nanj, se izračuna po formuli,

jaz = ML ² / 12

Od česa je odvisen vztrajnostni moment telesa?

Vztrajnostni moment katerega koli predmeta je odvisen od spodaj navedenih dejavnikov:

• Masa telesa,
• Os vrtenja
• Oblika in velikost predmeta

Kaj je enota za vztrajnostni moment?

Enota za vztrajnostni moment je Kgm ²

Ali je lahko vztrajnostni moment negativen?

Ne, vztrajnostni moment nikoli ne more biti negativen.

Kaj je masni vztrajnostni moment?

Masni vztrajnostni moment je meritev odpornosti telesa na spremembo njegovega kotnega momenta ali smeri. Masni vztrajnostni moment za maso točke je podan z I = mr²in za sistem delcev je vztrajnostni moment mase podan kot I = Σ_jazm_jazr_jaz²

Kaj je vztrajnostni moment območja?

Območni vztrajnostni moment je lastnost ravnine 2D oblike, ki prikazuje, kako so točke razpršene glede na poljubno os v ravnini. Površinski vztrajnostni moment je znan tudi kot drugi ploščinski moment ali kvadratni ploščinski moment. Formula za vztrajnostni moment površine v ravnini xy je podana kot I_xy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA