Lokalni maksimumi in minimumi se nanašajo na točke funkcij, ki določajo najvišje in najnižje območje te funkcije. Odvod funkcije se lahko uporabi za izračun lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov. Lokalne maksimume in minimume je mogoče najti z uporabo testa prvega odvoda in testa drugega odvoda.

V tem članku bomo razpravljali o uvodu, definiciji in pomembni terminologiji lokalnih maksimumov in minimumov ter njihovem pomenu. Razumeli bomo tudi različne metode za izračun lokalnih maksimumov in minimumov v matematiki in račun . Reševali bomo tudi različne primere in ponudili praktična vprašanja za boljše razumevanje koncepta tega članka.

Kazalo

• Kaj so lokalni maksimumi in lokalni minimumi?
• Opredelitev lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov
• Izrazi, povezani z lokalnimi maksimumi in lokalnimi minimumi
• Kako najti lokalne maksimume in minimume?
• Primeri lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov

Kaj so lokalni maksimumi in lokalni minimumi?

Lokalni maksimumi in minimumi se imenujejo največje in najmanjše vrednosti v določenem intervalu. Lokalni maksimum se pojavi, ko so vrednosti a funkcijo blizu določene točke so vedno nižje od vrednosti funkcije na isti točki. V primeru lokalnih minimumov so vrednosti funkcije blizu določene točke vedno večje od vrednosti funkcije na isti točki.

V preprostem smislu se točka imenuje lokalni maksimum, ko funkcija doseže najvišjo vrednost v določenem intervalu, točka pa se imenuje lokalni minimum, ko funkcija doseže najnižjo vrednost v določenem intervalu.

Na primer, če greste na hribovito območje in stojite na vrhu hriba, se ta točka imenuje točka lokalnega maksimuma, ker ste na najvišji točki v vaši okolici. Podobno, če stojite na najnižji točki v reki ali morju, se ta točka imenuje točka lokalnega minimuma, ker ste na najnižji točki v vaši okolici.

Opredelitev lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov

Lokalni maksimumi in minimumi so začetne vrednosti katere koli funkcije, da dobite predstavo o njenih mejah, kot sta najvišja in najnižja izhodna vrednost. Lokalni minimumi in lokalni maksimumi se imenujejo tudi lokalni ekstremi.

Lokalni maksimum

Točka lokalnega maksima je točka na kateri koli funkciji, kjer funkcija doseže največjo vrednost v določenem intervalu. Točka (x = a) funkcije f (a) se imenuje lokalni maksimum, če je vrednost f(a) večja ali enaka vsem vrednostim f(x).

pisanje json v datoteko python

Matematično, f (a) ≥ f (a -h) in f (a) ≥ f (a + h), kjer je h> 0, potem se a imenuje lokalna največja točka.

Lokalni minimumi

Točka lokalnega minimuma je točka na kateri koli funkciji, kjer funkcija doseže svojo najmanjšo vrednost v določenem intervalu. Točka (x = a) funkcije f (a) se imenuje lokalni minimum, če je vrednost f(a) manjša ali enaka vsem vrednostim f(x).

Matematično, f (a) ≤ f (a -h) in f (a) ≤ f (a + h), kjer je h> 0, potem se a imenuje lokalna minimalna točka.

Izrazi, povezani z lokalnimi maksimumi in lokalnimi minimumi

Spodaj je obravnavana pomembna terminologija, povezana z lokalnimi maksimumi in minimumi:

Največja vrednost

Če katera koli funkcija poda največjo izhodno vrednost za vhodno vrednost x. Ta vrednost x se imenuje največja vrednost. Če je opredeljen v določenem obsegu. Nato se imenuje ta točka Lokalni maksimum .

Absolutni maksimum

Če katera koli funkcija poda največjo izhodno vrednost za vhodno vrednost x vzdolž celotnega obsega funkcije. Ta vrednost x se imenuje absolutni maksimum.

Najmanjša vrednost

Če katera koli funkcija poda najmanjšo izhodno vrednost za vhodno vrednost x. Ta vrednost x se imenuje najmanjša vrednost. Če je opredeljen v določenem obsegu. Nato se imenuje ta točka Lokalni minimumi .

Absolutni minimum

Če katera koli funkcija poda najmanjšo izhodno vrednost za vhodno vrednost x vzdolž celotnega obsega funkcije. Ta vrednost x se imenuje absolutni minimum.

Točka inverzije

Če vrednost x v območju dane funkcije ne pokaže najvišjega in najnižjega izhoda, se imenuje točka inverzije.

Nauči se več, Absolutni maksimumi in minimumi

Kako najti lokalne maksimume in minimume?

Lokalni maksimumi in minimumi so določeni samo za določeno območje, to ni maksimum in minimum za celotno funkcijo in ne veljata za celotno območje funkcije.

Za izračun lokalnih maksimumov in minimumov obstaja naslednji pristop. To so:

• V prvem koraku vzamemo odvod funkcije.

• V drugem koraku nastavimo odvod enako nič in izračunamo kritične točke za c.

• V tretjem koraku uporabimo Prva izpeljanka in Preskus drugega derivata za določitev lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov.

Kaj je prvi izpeljani test?

Najprej vzamemo prvi odvod funkcije, ki daje naklon funkcije. Ko se približujemo maksimalni točki, naklon funkcije narašča, nato postane nič na maksimalni točki, nato pa se zmanjšuje, ko se od nje oddaljujemo.

Podobno v minimalni točki, ko se bližamo minimalni točki, se naklon krivulje zmanjšuje, nato postane nič na minimalni točki, nato pa narašča, ko se oddaljevamo od te točke.

Vzemimo funkcijo f(x), ki je zvezna v kritični točki c, v odprtem intervalu I in f'(c) = 0 pomeni naklon v kritični točki c = 0.

Da preverimo naravo f'(x) okoli kritične točke c, imamo naslednje pogoje za določitev vrednosti lokalnega maksimuma in minimuma iz preizkusa prvega odvoda. Ti pogoji so:

• Če f ′(x) spremeni predznak iz pozitivnega v negativnega, ko x narašča prek c, potem f(c) prikazuje najvišjo vrednost te funkcije v danem območju. Zato je točka c točka lokalnega maksimuma, če je prvi odvod f ‘(x)> 0 na kateri koli točki dovolj blizu levo od c in f ‘(x) < 0 na kateri koli točki dovolj blizu desno od c.

• Če f ′(x) spremeni predznak iz negativnega v pozitivnega, ko x narašča prek c, potem f(c) prikazuje najnižjo vrednost te funkcije v danem območju. Zato je točka c točka lokalnega minimuma, če je prvi odvod f ‘(x) 0 na kateri koli točki dovolj blizu desno od c.

• Če f'(x) bistveno ne spremeni predznaka z naraščanjem x preko c, potem točka c ne kaže najvišje (lokalni maksimum) in najnižje (lokalni minimum) vrednosti funkcije. V takem primeru je točka c imenovana točka prevoja.

Preberite več o Prvi izpeljan test .

Kaj je test druge izpeljave?

Test drugega odvoda se uporablja za ugotavljanje vrednosti absolutnega maksimuma in absolutnega minimuma katere koli funkcije v določenem intervalu. Vzemimo funkcijo f(x), ki je zvezna na kritični točki c, v odprtem intervalu I, in f'(c) = 0, pomeni naklon na kritični točki c = 0. Tu vzamemo drugi odvod f (x) funkcije f(x), ki daje naklon funkcije.

Da bi preverili naravo f'(x), imamo naslednje pogoje za določitev vrednosti lokalnega maksimuma in minimuma iz preizkusa drugega odvoda. Ti pogoji so:

• Točka c je točka lokalnega maksimuma, če je prvi odvod f'(c) = 0 in drugi odvod f(c) <0. Točka pri x= c bo lokalni maksimum in f(c) bo lokalna največja vrednost f(x).

• Točka c je točka lokalnega minimuma, če je prvi odvod f'(c) = 0 in f(c) drugi odvod> 0. Točka pri x= c bo lokalni minimum in f(c) bo Lokalna minimalna vrednost f(x).

• Test ne uspe, če je prvi odvod f'(c) = 0 in drugi odvod f(c) = 0, potem točka c ne kaže najvišje (lokalni maksimum) in najnižje (lokalni minimum) vrednosti funkcije , V tem primeru se točka c imenuje točka prevoja, točka x = c pa se imenuje točka Točka prevoja.

Prav tako preverite

• Uporaba izvedenih finančnih instrumentov
• Relativni maksimumi in minimumi
• Formula diferenciacije in integracije

Primeri lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov

1. primer: analizirajte lokalne maksimume in lokalne minimume funkcije f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 z uporabo testa prvega odvoda.

rešitev:

Dana funkcija je f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Prvi odvod funkcije je f'(x) = 6x²– 6x – 12, bo uporabil za iskanje kritičnih točk.

Za iskanje kritične točke je f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6 (x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Zato sta kritični točki x = -1 in x = 2.

Analizirajte neposredno točko prvega odvoda do kritične točke x = -1. Točke so {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 in f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Predznak odvoda je pozitiven levo od x = -1 in negativen proti desni. Zato kaže, da je x = -1 lokalni maksimum.

Analizirajmo zdaj neposredno točko prvega odvoda do kritične točke x = 2. Točki sta {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 in f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

binarno iskalno drevo proti binarnemu drevesu

Predznak odvoda je negativen proti levi od x = 2 in pozitiven proti desni. Zato kaže, da je x = 2 lokalni minimum.

Zato je lokalni maksimum -1, lokalni minimum pa 2.

Primer 2: analizirajte lokalne maksimume in lokalne minimume funkcije f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 z uporabo testa drugega odvoda.

rešitev:

Dana funkcija je f(x) = -x³+6x²-12x +10

Prvi odvod funkcije je f'(x) = -x³+6x²-12x +10, bo uporabil za iskanje kritičnih točk.

Za iskanje kritične točke je f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Zato sta kritični točki x = 1 in x = 3

Sedaj vzemite drugi odvod funkcije,

f(x) = 6x – 12

Ocenite f(x) na kritični točki x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, zato x = 1 ustreza lokalnim maksimumom.

Ocenite f(x) na kritični točki x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0 in zato x = 3 ustreza lokalnim minimumom.

Zdaj bomo izračunali vrednosti funkcij na kritičnih točkah:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, zato je lokalni maksimum pri (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, zato je lokalni maksimum pri (3, 1)

Vprašanja za vadbo o lokalnih minimumih in maksimumih

Q1. Poiščite lokalne maksimume in lokalne minimume funkcije f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 z uporabo testa drugega odvoda.

Q2. Poiščite in analizirajte lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije f(x) = – x²+4x -5 z uporabo testa drugega odvoda.

Q3. Poiščite lokalne maksimume in lokalne minimume funkcije f(x) = x²-4x +5 z uporabo prvega testa odvoda.

Q4. Poiščite in analizirajte lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije f(x) = 3x²-12x +5 z uporabo prvega testa odvoda.

V5. Poiščite in analizirajte lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije f(x) = x³– 6x²+9x + 15 z uporabo prvega testa odvoda.

V6. Poiščite in analizirajte lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije f(x) = 2x³-9x²+12x +5 z uporabo testa drugega odvoda.

Lokalni maksimumi in lokalni minimumi – pogosta vprašanja

Kaj je Local Maxima?

Točka se imenuje lokalni maksimum, ko funkcija doseže najvišjo vrednost v določenem intervalu.

Kako lahko najdete lokalni maksimum?

Z razlikovanjem funkcije in iskanjem kritične vrednosti, pri kateri je naklon enak nič, lahko najdemo lokalni maksimum.

Kaj so lokalni minimumi?

Točka se imenuje lokalni minimum, ko funkcija doseže najnižjo vrednost v določenem intervalu.

najboljši hentai

Katere metode lahko uporabite za izračun lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov?

Preizkus prve izpeljave in preizkus druge izpeljave.

Kakšna je razlika med testom prve izpeljave in testom druge izpeljave?

Test prvega odvajanja je približna metoda za izračun vrednosti lLcal maksimumov in lokalnih minimumov, test drugega odvajanja pa je sistematična in natančna metoda za izračun vrednosti lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov.

Kaj pomeni točka inverzije?

Če vrednost točke v območju dane funkcije ne kaže najvišjega in najnižjega izhoda, se ta točka imenuje točka inverzije.

Kakšna je uporaba lokalnih maksimumov in lokalnih minimumov?

Če želite izvedeti skrajno vrednost funkcije znotraj določenega območja.