INTEGRACIJA TRIGONOMETRIČNIH FUNKCIJ

Integracija je postopek seštevanja majhnih vrednosti funkcije v območju limitov. Je ravno nasprotno od diferenciacije. Integracija je znana tudi kot protiizpeljava. V tem članku spodaj smo razložili integracijo trigonometričnih funkcij.

Spodaj je primer integracije dane funkcije.

npr. Razmislite o funkciji, f(y) = y².

To funkcijo je mogoče integrirati kot:

∫y²ti =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Vendar pa an nedoločen integral je funkcija, ki prevzame protiizpeljavo druge funkcije. Predstavljen je kot integralni simbol (∫), funkcija in odvod funkcije na koncu. Nedoločen integral je lažji način za simbolizacijo antiizpeljave.

Naučimo se, kaj je matematično integracija, integracija funkcije f(x) je podana s F(x) in je predstavljena z:

∫f(x)dx = F(x) + C

Tukaj R.H.S. enačbe pomeni integral od f(x) glede na x, F(x) imenujemo protiodvod ali primitiven, f(x) imenujemo integrand, dx imenujemo integrativni agent, C imenujemo konstanta integracije oz. poljubna konstanta in x je spremenljivka integracije.

Nekaj pomembnih integralov trigonometričnih funkcij

Sledi seznam nekaterih pomembnih formul nedoločenih integralov na osnovi trigonometrične funkcije zapomniti na naslednji način:

∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sek²x dx = tan x + C
∫ cosec²x dx = -cot x + C
∫ sec x tan x dx = sec x + C
∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
∫ tan x dx = ln | sekunda x | +C
∫ cot x dx = ln | greh x | + C
∫ sec x dx = ln | sek x + tan x | + C
∫ cosec x dx = ln | cosec x – posteljica x | + C

Kjer je dx odvod x, C je konstanta integracije in ln predstavlja logaritem funkcije znotraj modula (| |).

Na splošno se problemi nedoločenih integralov, ki temeljijo na trigonometričnih funkcijah, rešujejo z metodo substitucije. Pogovorimo se torej o metodi integracije z zamenjavo, kot sledi:

Integracija z zamenjavo

Pri tej metodi integracija z zamenjavo , se kateri koli dani integral pretvori v preprosto obliko integrala z zamenjavo neodvisne spremenljivke z drugimi. Oglejmo si primer za boljše razumevanje.

Primer: Poenostavite ∫ 3x ² greh (x ³ ) dx.

odgovor:

Naj bo I = ∫ 3x²greh (x³) dx.

Da bi ovrednotili dani integral, nadomestimo katero koli spremenljivko z novo spremenljivko kot:

Naj bo x³biti t za dani integral.

Potem je dt = 3x²dx

zato

I = ∫ 3x²greh (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Zdaj nadomestite t z x³in dt za 3x²dx v zgornjem integralu.

I = ∫ sin (t) (dt)
plsql

Ker je ∫ sin x dx = -cos x + C, torej

I = -cos t + C

Ponovno zamenjajte nazaj x³za t v izrazu kot:

I = ∫ 3x ² greh (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Kar je zahtevani integral.

Zato je splošna oblika integracije z zamenjavo:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

kjer je t = g(x)

Običajno je metoda integracije s substitucijo izjemno uporabna, ko naredimo substitucijo za funkcijo, katere odvod je prisoten tudi v integrandu. S tem se funkcija poenostavi in nato se lahko za integracijo funkcije uporabijo osnovne formule integracije.

V računstvu je integracija s substitucijsko metodo znana tudi kot pravilo obrnjene verige ali U-substitucijska metoda. To metodo lahko uporabimo za iskanje integralne vrednosti, ko je nastavljena v posebnem obrazcu. To pomeni, da je dani integral v obliki:

Preberi več,

Račun v matematiki
Integrali
Integralni račun
Diferenciacija trigonskih funkcij
Trigonometrične enačbe

Vzorci nalog o integraciji trigonometričnih funkcij

1. naloga: Določite integral naslednje funkcije: f(x) = cos ³ x.

rešitev:

Vzemimo integral dane funkcije kot,
csv datoteka branje java

I = ∫ cos³x dx

Lahko se prepiše kot:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Uporaba trigonometrične identitete; cos²x = 1 – sin²x, dobimo

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Kot ∫ cos x dx = sin x + C,

Tako je I = sin x – ∫ sin²x cos x dx. . . (1)

Naj bo sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Zamenjajte t za sin x in dt za cos x dx v drugem členu zgornjega integrala.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Spet nadomestite back sin x s t v izrazu.

Zato je ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x / 3 + C.

Problem 2: Če je f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) nato določite ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

rešitev:

Vzemimo integral dane funkcije kot,

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

Uporaba trigonometrične identitete; cos²x = 1 – sin²x, dobimo

I = ∫sin²x (1 – sin²x) cos x dx

Naj sin x = t potem,

⇒ dt = cos x dx

Nadomestite jih v zgornji integral kot,

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Nadomestite nazaj vrednost t v zgornjem integralu kot,

Torej jaz = greh ³ x / 3 – brez ⁵ x / 5 + C.

Problem 3: Naj bo f(x) = sin ⁴ (x) nato poiščite ∫ f(x)dx. tj. ∫ sin ⁴ (x) dx.

rešitev:

Vzemimo integral dane funkcije kot,

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (brez²(x))²dx

Uporaba trigonometrične identitete; greh²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, dobimo

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Torej, ∫ sin ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Problem 4: Poiščite integracijo old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

string concat java

rešitev:

Vzemimo integral dane funkcije kot,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Naj bo t = tan^-1x . . . (1)

Zdaj ločite obe strani glede na x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Zato dani integral postane:

I = ∫ e^tdt

⇒ jaz = e^t+ C . . . (2)
line ukaz autocad

Nadomestite vrednost (1) v (2) kot:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Kar je zahtevana integracija za dano funkcijo.

Problem 5: Poiščite integral funkcije f (x), definirane kot,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

rešitev:

Vzemimo integral dane funkcije kot,

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Naj (x²– 5) = t . . . (1)

Zdaj ločite obe strani glede na x kot,

2x dx = dt

Če nadomestimo te vrednosti v zgornjem integralu,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Nadomestite enačbo vrednosti (1) v enačbo (2) kot,

⇒ jaz = greh (x²– 5) + C

To je zahtevana integracija za dano funkcijo.

Problem 6: Določite vrednost danega nedoločenega integrala, I = ∫ cot (3x +5) dx.

rešitev:

Dani integral lahko zapišemo kot

I = ∫ posteljica (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Naj bo t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

torej

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Zamenjajte t s sin (3x+5) v zgornjem izrazu.

I = (1/3) ln | greh (3x+5) | + C

To je zahtevana integracija za dano funkcijo.