A Hiperbola je gladka krivulja v ravnini z dvema vejama, ki se zrcalita in spominjata na dva neskončna loka. To je stožčasti prerez, ki nastane s presekanjem pravilnega krožnega stožca z ravnino pod takim kotom, da se sekata obe polovici stožca.

Naučimo se podrobneje o hiperboli, vključno z njeno enačbo, formulami, lastnostmi, grafi in izpeljavo.

Hiperbola

Kazalo

• Kaj je hiperbola?
• Definicija hiperbole
• Enačba hiperbole
• Deli hiperbole
• Ekscentričnost hiperbole
• Standardna enačba hiperbole
• Desna stran hiperbole
• Izpeljava enačbe hiperbole
• Formula hiperbole
• Graf hiperbole
• Konjugirana hiperbola
• Lastnosti hiperbole
• Pomožni krogi hiperbole
• Pravokotna hiperbola
• Parametrična predstavitev hiperbole
• Hiperbola 11. razred
• Rešeni primeri o hiperboli
• Vadbene naloge o hiperboli

Kaj je hiperbola?

Hiperbola je geometrijsko mesto točk, katerih razlika v razdaljah od dveh žarišč je fiksna vrednost. To razliko dobimo tako, da razdaljo bližjega žarišča odštejemo od oddaljenega žarišča.

Če je P (x, y) točka na hiperboli in sta F, F’ dve žarišči, potem je geometrijsko mesto hiperbole

PF – PF' = 2a

Opomba: Za sliko glejte diagram, dodan v izpeljavo.

Definicija hiperbole

V analitični geometriji je hiperbola vrsta stožčastega preseka, ki nastane, ko ravnina prereže obe polovici dvojnega desnega krožnega stožca pod kotom. Posledica tega presečišča sta dve ločeni, neomejeni krivulji, ki sta druga drugi zrcalni sliki in tvorita hiperbolo.

Enačba hiperbole

Enačba hiperbole v njeni standardni obliki je odvisna od njene usmerjenosti in tega, ali je središče v izhodišču ali drugi točki. Tu sta dve primarni obliki hiperbol s središčem v izhodišču, ena se odpira vodoravno in druga navpično:

x ² /a ² - in ² /b ² = 1

Ta enačba predstavlja hiperbolo, ki se odpira v levo in desno. Točke (±a,0) so oglišča hiperbole, ki se nahajajo na osi x.

Deli hiperbole

Hiperbola je stožčasti prerez, ki nastane, ko ravnina prereže dvojni desni krožni stožec pod takim kotom, da sta obe polovici stožca spojeni. Lahko ga opišemo s pojmi, kot so žarišča, direktrise, latus rektum in ekscentričnost.

Ekscentričnost hiperbole

Ekscentričnost hiperbole je razmerje med oddaljenostjo točke od žarišča in njeno pravokotno oddaljenostjo od direktrise. Označena je s črko ' je '.

• Ekscentričnost hiperbole je vedno večja od 1, tj. e>1.
• Ekscentričnost hiperbole zlahka najdemo po formuli:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

kje,

• a je dolžina velike pol osi
• b je dolžina male pol osi

Preberi več: Ekscentričnost

Standardna enačba hiperbole

Standardne enačbe hiperbole so:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ALI

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hiperbola ima dve standardni enačbi. Te enačbe hiperbole temeljijo na njeni prečni osi in konjugirani osi.

poštar

• Standardna enačba hiperbole je [(x²/a²) - (in²/b²)] = 1, kjer je os X prečna os, os Y pa konjugirana os.
• Poleg tega je druga standardna enačba hiperbole [(y²/a²)-(x²/b²)] = 1, kjer je os Y prečna os, os X pa konjugirana os.
• Standardna enačba hiperbole s središčem (h, k) in X-osjo kot prečno osjo ter Y-osjo kot konjugirano osjo je,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Poleg tega je druga standardna enačba hiperbole s središčem (h, k) in osjo Y kot prečno osjo in osjo X kot konjugirano osjo

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Desna stran hiperbole

Latus rectum hiperbole je črta, ki poteka skozi katero koli žarišče hiperbole in je pravokotna na prečno os hiperbole. Končni točki latus rektuma ležita na hiperboli, njegova dolžina pa je 2b²/a.

Izpeljava enačbe hiperbole

Vzemimo točko P na hiperboli, katere koordinate so (x, y). Iz definicije hiperbole vemo, da je razlika med oddaljenostjo točke P od dveh žarišč F in F’ 2a, to je PF’-PF = 2a.

Naj bosta koordinati žarišč F (c, o) in F '(-c, 0).

Zdaj lahko z uporabo formule za koordinatno razdaljo najdemo razdaljo točke P (x, y) do žarišč F (c, 0) in F '(-c, 0).

√[(x + c)²+ (in – 0)²] – √ [(x – c)²+ (in – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ in²] = 2a + √[(x – c)²+ in²]

S kvadriranjem obeh stranic dobimo

(x + c)²+ in²= 4a²+ (x – c)²+ in²+ 4a√[(x – c)²+ in²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ in²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ in²]

Zdaj, s kvadriranjem obeh stranic in poenostavitvijo, dobimo

[(x²/a²) - (in²/(c²– a²))] = 1

Imamo, c²= a²+ b², tako da z zamenjavo tega v zgornji enačbi dobimo

x²/a²- in²/b²= 1

Tako je izpeljana standardna enačba hiperbole.

Podobno lahko izpeljemo standardne enačbe druge hiperbole, tj. [y²/a²– x²/b²] = 1

Formula hiperbole

Naslednje formule za hiperbolo se pogosto uporabljajo pri iskanju različnih parametrov hiperbole, ki vključujejo enačbo hiperbole, veliko in malo os, ekscentričnost, asimptote, oglišče, žarišča in semi-latus rektum.

Kje,

• (x₀in₀​) je središčna točka
• a je pol-velika os
• b je manjša pol os.

Graf hiperbole

Hiperbola je krivulja, ki ima dve neomejeni krivulji, ki sta druga drugi zrcalni podobi. Graf hiperbole prikazuje to krivuljo v 2-D ravnini. Opazujemo lahko različne dele hiperbole v grafih hiperbole za standardne enačbe, podane spodaj:

Enačba hiperbole	Graf hiperbole	Parametri hiperbole
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinate središča: (0, 0) Koordinate oglišča: (a, 0) in (-a, 0) Koordinate žarišč: (c, 0) in (-c, 0) Dolžina prečne osi = 2a Dolžina konjugirane osi = 2b Dolžina latus rektuma = 2b2/a Enačbe asimptot: y = (b/a) x in y = -(b/a) x Ekscentričnost (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinate središča: (0, 0) Koordinate oglišča: (0, a) in (0, -a) Koordinate žarišč: (0, c) in (0, -c) Dolžina prečne osi = 2b Dolžina konjugirane osi = 2a Dolžina latus rektuma = 2b2/a Enačbe asimptot: y = (a/b) x in y = -(a/b) x Ekscentričnost (e) = √[1 + (b2/a2)]

Konjugirana hiperbola

Konjugirana hiperbola sta 2 hiperboli, tako da sta prečna in konjugirana os ene hiperbole konjugirana oziroma konjugirana os druge hiperbole.

Konjugirana hiperbola (x²/ a²) - (in²/b²) = 1 je,

(x ² / a ² ) - (in ² / b ² ) = 1

Kje,

• a je velika pol os
• b je manjša pol os
• je je ekscentričnost parabole
• a ² = b ² (Je ² − 1)

Lastnosti hiperbole

• Če sta ekscentričnosti hiperbole in njenega konjugata npr₁in e₂potem,

(1 in ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Žarišča hiperbole in njenega konjugata so konciklična in tvorijo oglišča kvadrata.
• Hiperbole so enake, če imajo enak latus rektum.

Pomožni krogi hiperbole

Pomožni krog je krog, ki je narisan s središčem C in premerom kot prečno osjo hiperbole. Pomožni krog enačbe hiperbole je,

x ² + in ² = a ²

Pravokotna hiperbola

Hiperbolo s prečno osjo 2a enot in konjugirano osjo 2b enot enake dolžine imenujemo pravokotna hiperbola. v pravokotni hiperboli,

2a = 2b

⇒ a = b

Enačba pravokotne hiperbole je podana na naslednji način:

x ² - in ² = a ²

Opomba: Ekscentričnost pravokotne hiperbole je √2.

Parametrična predstavitev hiperbole

Parametrična predstavitev pomožnih krožnic hiperbole je:

x = a s θ, y = b tan θ

Ljudje tudi berejo

• Stožčasti prerez
• Parabola
• Krog
• Elipsa

Hiperbola 11. razred

V 11. razredu matematike preučevanje hiperbol tvori del koničnih prerezov v analitični geometriji. Razumevanje hiperbol na tej ravni vključuje raziskovanje njihove definicije, standardnih enačb, lastnosti in različnih elementov, povezanih z njimi.

Učni načrt za 11. razred običajno vključuje izpeljavo teh enačb in lastnosti, skiciranje hiperbol na podlagi danih enačb in reševanje problemov, povezanih z elementi in položaji hiperbole. Obvladovanje teh konceptov zagotavlja trdne temelje v analitiki geometrija , ki študente pripravlja na nadaljnji študij matematike in sorodnih področij.

Povzetek – Hiperbola

Hiperbola je vrsta stožčastega preseka, ki nastane, ko ravnina seka stožec pod takim kotom, da nastaneta dve ločeni krivulji. Hiperbola, za katero je značilna zrcalna simetrija, je sestavljena iz dveh nepovezanih vej, ki se ukrivljata stran od druge. Matematično ga je mogoče definirati v koordinatni ravnini s standardno enačbo, ki se spreminja glede na njegovo orientacijo – vodoravno ali navpično – in glede na to, ali je središče v izhodišču ali drugi točki.

Standardni obrazci so x ² /a ² - in ² /b ² = 1 za hiperbolo, ki se odpira vodoravno in in ² /a ² – x ² /b ² = 1 za eno odprtino navpično, z različicami za namestitev središča, premaknjenega na (h,k). Ključne značilnosti hiperbol vključujejo oglišča, najbližje točke na vsaki veji središču; žarišča, točke, od katerih imajo razdalje do katere koli točke na hiperboli konstantno razliko; in asimptote, črte, ki se jim veje približajo, vendar se jih nikoli ne dotaknejo.

Zaradi lastnosti hiperbol so pomembne na različnih področjih, vključno z astronomijo, fiziko in inženiringom, za modeliranje in analizo hiperboličnih tirnic in vedenja.

Rešeni primeri o hiperboli

1. vprašanje: Določite ekscentričnost hiperbole x ² /64 – in ² /36 = 1.

rešitev:

Enačba hiperbole je x²/64 – in²/36 = 0

S primerjavo dane enačbe s standardno enačbo hiperbole x²/a²- in²/b²= 1, dobimo

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Imamo,

Ekscentričnost hiperbole (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Zato je ekscentričnost dane hiperbole 1,25.

2. vprašanje: Če je enačba hiperbole [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, poiščite dolžine velike osi, male osi in latus rektuma.

rešitev:

Enačba hiperbole je [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

S primerjavo dane enačbe s standardno enačbo hiperbole, (x – h)²/a²– (in – k)²/b²= 1

Tukaj je x = 4 velika os, y = 3 pa pomožna os.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Dolžina glavne osi = 2a = 2 × (5) = 10 enot

Dolžina pomožne osi = 2b = 2 × (3) = 6 enot

Dolžina latus rektuma = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 enote

3. vprašanje: Poiščite oglišče, asimptoto, veliko os, malo os in direktriso, če je enačba hiperbole [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

rešitev:

Enačba hiperbole je [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

S primerjavo dane enačbe s standardno enačbo hiperbole, (x – h)²/a²– (in – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Oglišče hiperbole: (h + a, k) in (h – a, k) = (13, 2) in (-1, 2)

Velika os hiperbole je x = h x = 6

Mala os hiperbole je y = k y = 2

Enačbe asimptote hiperbole so

y = k − (b / a)x + (b / a)h in y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 in y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 in y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x in y = -1,43 + 0,57x

Enačba direktrise hiperbole je x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Vprašanje 4: Poiščite ekscentričnost hiperbole, katere latus rectum je polovica njene konjugirane osi.

rešitev:

Dolžina latus rektuma je polovica njegove konjugirane osi

Naj bo enačba hiperbole [(x²/ a²) - (in²/ b²)] = 1

Konjugirana os = 2b

Dolžina Latus rektuma = (2b²/ a)

Iz navedenih podatkov (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Imamo,

Ekscentričnost hiperbole (e) = √[1 + (b²/a²)]

Sedaj nadomestite a = 2b v formuli ekscentričnosti

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Zato je zahtevana ekscentričnost √5/2.

Vadbene naloge o hiperboli

P1. Poiščite standardno obliko enačbe hiperbole z oglišči na (-3, 2) in (1, 2) in goriščno razdaljo 5.

P2. Določite središče, oglišča in žarišča hiperbole z enačbo 9x ² – 4 leta ² = 36.

P3. Glede na hiperbolo z enačbo (x – 2) ² /16 – (in + 1) ² /9 = 1, poiščite koordinate njegovega središča, oglišč in žarišč.

P4. Zapišite enačbo hiperbole z vodoravno veliko osjo, središčem na (0, 0), vrhom na (5, 0) in goriščem na (3, 0).

Hiperbola – pogosta vprašanja

Kaj je hiperbola v matematiki?

Geografsko mesto točke v ravnini, tako da je razmerje med njeno oddaljenostjo od fiksne točke in tiste od fiksne črte konstanta, večja od 1, se imenuje hiperbola.

Kaj je standardna enačba hiperbole?

Standardna enačba hiperbole je

(x ² /a ² ) - (in ² /b ² ) = 1

Kaj je ekscentričnost hiperbole?

Ekscentričnost hiperbole je razmerje med oddaljenostjo točke od žarišča in njeno pravokotno oddaljenostjo od direktrise. Za hiperbolo je ekscentričnost vedno večja od 1.

Kaj je formula ekscentričnosti hiperbole?

Formula za ekscentričnost hiperbole je e = √(1 + (b ² /a ² ))

Kaj so Foci od hiperbole?

Hiperbola ima dve žarišči. Za hiperbolo (x²/a²) - (in²/b²) = 1, so žarišča podana z (ae, 0) in (-ae, 0)

Kaj je prečna os hiperbole?

Za hiperbolo (x²/a²) - (in²/b²) = 1, prečna os je vzdolž osi x. Njegova dolžina je podana z 2a. Premica, ki poteka skozi središče in žarišča hiperbole, se imenuje prečna os hiperbole.

Kaj so asimptote hiperbole?

Premice, vzporedne s hiperbolo, ki se s hiperbolo srečajo v neskončnosti, se imenujejo asimptote hiperbole.

Koliko asimptot ima hiperbola?

Hiperbola ima 2 asimptoti. Asimptota je premica, ki se tangenta na hiperbolo sreča s hiperbolo v neskončnosti.

Za kaj se uporablja hiperbola?

Hiperbole najdejo aplikacije na različnih področjih, kot so astronomija, fizika, inženiring in ekonomija. Med drugim se uporabljajo v satelitskih trajektorijah, vzorcih radijskega prenosa, topniškem ciljanju, finančnem modeliranju in nebesni mehaniki.

Kakšna je razlika med parabolo in hiperbolo v standardni obliki?

V standardni obliki enačba parabole vključuje člene, povišane na potenco 1 in 2, medtem ko enačba hiperbole vključuje člene, povišane na potenco 2 in -2. Prav tako je za parabolo značilna ena sama goriščna točka, medtem ko ima hiperbola dve.

0,0625 kot ulomek

Kaj je osnovna enačba grafa hiperbole?

Osnovna enačba grafa hiperbole je:

(x – h)²/ a²– (in – k)²/ b²= 1

oz

(in – k)²/ b²– (x -h)²/ a²= 1

Katere so vrste hiperbol?

Hiperbole lahko glede na njihovo usmerjenost razvrstimo v tri vrste: vodoravne, navpične in poševne hiperbole.

Kako prepoznate enačbo hiperbole?

Enačba hiperbole običajno vključuje izraze z obema x in in spremenljivk, z razliko med kvadrati x in in koeficienti, koeficienti teh členov pa so pozitivni oziroma negativni.

Kakšna je formula B v hiperboli?

V standardni obliki enačbe hiperbole je B predstavlja dolžino konjugirane osi, njena formula pa je B = 2 b , kje b je razdalja od središča do oglišč vzdolž konjugirane osi.

Kako narisati hiperbolo?

Če želite narisati hiperbolo, običajno začnete z izrisom središčne točke, nato označite oglišča, žarišča, asimptote in druge ključne točke na podlagi dane enačbe ali lastnosti. Nazadnje skicirajte krivulje hiperbole z uporabo teh točk kot vodil.