Determinanta matrike 4×4: Determinanta matrike je temeljni koncept v linearni algebri, bistven za izpeljavo ene same skalarne vrednosti iz matrike. 4×4 je kvadratna matrika s 4 vrsticami in 4 stolpci, katere determinanto je mogoče najti s formulo, o kateri bomo razpravljali.

Ta članek bo raziskal definicijo matrike 4 × 4 in vodenje skozi postopek po korakih za izračun determinante matrike 4 × 4. Poleg tega raziskuje praktične uporabe te matematične operacije.

Kazalo

• Kaj je determinanta matrike?
• Determinanta matrike 4×4
• Lastnosti matrike 4×4
• Determinant matrične formule 4 × 4
• Kako najdete determinanto matrike 4 × 4?
• Determinanta primerov matrike 4×4
• Determinanta vprašanj za vadbo matrike 4×4

Kaj je determinanta matrike?

The determinanta matrike je skalarna vrednost, ki jo je mogoče izračunati iz elementov a kvadratna matrika . Zagotavlja pomembne informacije o matriki, na primer, ali je invertibilna, in faktor skaliranja linearnih transformacij, ki jih predstavlja matrika.

Različne metode, kot npr kofaktor razširitev ali zmanjšanje vrstice, se lahko uporabi za iskanje determinante matrike, odvisno od velikosti in strukture matrike. Ko je determinanta izračunana, je označena s simbolom det ali navpičnimi črtami, ki obdajajo matriko.

Determinanta matrike 4×4

Matrika 4 × 4 je pravokoten niz števil, razporejenih v štirih vrsticah in štirih stolpcih. Vsak element v matriki je identificiran s položajem vrstice in stolpca. Splošna oblika matrike 4×4 je videti takole:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Kje_ijpredstavlja element, ki se nahaja v i^thvrsta in j^thstolpec matrike.

Matrike 4 × 4 se pogosto pojavljajo na različnih področjih, kot so računalniška grafika, fizika, inženiring in matematika. Uporabljajo se za predstavitev transformacij, reševanje sistemov linearnih enačb in izvajanje operacij v linearni algebri.

Lastnosti matrike 4×4

Tukaj je nekaj lastnosti matrike 4 × 4, razloženih s poenostavljenimi izrazi:

• Kvadratna matrica: Matrika 4×4 ima enako število vrstic in stolpcev, zaradi česar je kvadratna matrika.
• Determinant: Determinanto matrike 4×4 je mogoče izračunati z metodami, kot sta razširitev kofaktorja ali redukcija vrstic. Zagotavlja informacije o invertibilnosti matrike in faktorju skaliranja za linearne transformacije.
• Obratno: Matrika 4×4 je obrnljiv če je njegova determinanta različna od nič. Inverz matrike 4×4 omogoča reševanje sistemov linearnih enačb in razveljavitev transformacij, ki jih predstavlja matrika.
• Transponiranje: Transponiranje matrike 4 × 4 dobimo z zamenjavo njenih vrstic in stolpcev. Uporaben je lahko pri določenih izračunih in transformacijah.
• Lastne vrednosti in lastni vektorji: Matrike 4 × 4 je mogoče analizirati, da bi našli njihove lastne vrednosti in lastni vektorji , ki predstavljajo lastnosti matrike pod linearnimi transformacijami.
• simetrija: Odvisno od specifične matrike ima lahko lastnosti simetrije, kot je simetričnost, poševno simetričnost ali nič.
• Matrične operacije: Različne operacije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in skalarno množenje, je mogoče izvajati na matrikah 4 × 4 po posebnih pravilih in lastnostih.

Preberite podrobno: Lastnosti determinant

Determinant matrične formule 4 × 4

Determinanta katere koli matrike 4 × 4, tj.egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , se lahko izračuna z naslednjo formulo:

it(A) = a _enajst · to (A _enajst ) – a ₁₂ · to (A ₁₂ ) + a ₁₃ · to (A ₁₃ ) – a ₁₄ · to (A ₁₄ )

Kje_ijoznačuje podmatriko z izbrisom i^thvrsta in j^thstolpec.

Kako najdete determinanto matrike 4 × 4?

Če želite poiskati determinanto matrike 4 × 4, lahko uporabite različne metode, kot je razširitev z manjšimi elementi, zmanjšanje vrstice ali uporaba posebnih lastnosti.

Ena pogosta metoda je uporaba razširitve z manjšimi elementi, kjer razširite vzdolž vrstice ali stolpca tako, da pomnožite vsak element z njegovim kofaktorjem in seštejete rezultate. Ta proces se nadaljuje rekurzivno, dokler ne dosežete podmatrike 2×2, za katero lahko neposredno izračunate determinanto. Da bi razumeli, kako najti determinanto matrike 4×4, si oglejte primer.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

1. korak: Razširite vzdolž prve vrstice:

it(A) = 2 · it(A _enajst ) – 1 · it(A ₁₂ ) + 3 · it(A ₁₃ ) – 4 · it(A ₁₄ )

Kje_ijoznačuje podmatriko, dobljeno z brisanjem i-te vrstice in j-tega stolpca.

2. korak: Izračunajte determinanto vsake podmatrike 3×3.

Za_enajst

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A_enajst| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |A_enajst| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A_enajst| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A_enajst| = 10 + 26 + 4 = 40

Za₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

Za₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22 = 30

Za₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

3. korak: Zamenjajte determinante podmatrik 3 × 3 v razširitveno formulo:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

4. korak: Izračunajte končno determinanto:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

to(A) = 48

Torej je determinanta dane matrike 4×4 48.

Prav tako preverite

• Determinanta matrike 2×2
• Determinanta matrike 3×3

Determinanta primerov matrike 4×4

Primer 1: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

rešitev:

Najprej Razširi vzdolž prve vrstice:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Zdaj izračunajte determinanto vsake podmatrike 3×3.

Za _enajst ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

java nespremenljiv seznam

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Za ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Za ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Za ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Sedaj nadomestite determinante podmatrik 3 × 3 v razširitveno formulo:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Torej je determinanta matrike (A) 24.

Primer 2: Izračunaj determinanto matrikeA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

rešitev:

Za iskanje determinante matrike ( A ) bomo uporabili metodo razširitve z manjšimi vzdolž prve vrstice:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Zdaj pa izračunajmo determinante podmatrik 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Zdaj nadomestite te determinante nazaj v formulo za razširitev:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Torej je determinanta matrike ( A ) det(A) = -120.

Primer 3: Poiščite determinanto matrike B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

rešitev:

Za iskanje determinante matrike ( B ) bomo uporabili metodo razširitve z manjšimi vzdolž prve vrstice:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Zdaj pa izračunajmo determinante podmatrik 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Zdaj nadomestite te determinante nazaj v formulo za razširitev:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ karkoli

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Torej je determinanta matrike ( B ) det(B) = -19

Determinanta vprašanj za vadbo matrike 4×4

V1: Izračunajte determinanto naslednje matrike 4×4:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Q2: Poiščite determinanto matrike:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Q3: Izračunajte determinanto naslednje matrike 4×4:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Q4: Določite determinanto matrike:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

V5: Poiščite determinanto matrike: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Pogosta vprašanja o determinanti matrike 4×4

Kako najdete determinanto matrike 4×4?

Če želite poiskati determinanto matrike 4 × 4, lahko uporabite različne metode, kot je raztezanje kofaktorjev ali tehnike redukcije vrstic.

Kaj je determinanta identitetne matrike 4×4?

Determinanta identitetne matrike 4×4 je 1, saj gre za poseben primer, ko so vsi diagonalni elementi 1, ostali pa 0.

Kako najti determinanto matrike 4×4 z uporabo kofaktorske ekspanzije?

Določanje determinante matrike 4×4 z uporabo kofaktorske ekspanzije vključuje njeno razčlenitev na manjše matrike 3×3, uporabo formule kofaktorja in seštevanje produktov.

Kakšna je formula determinante?

Formula za determinanto vključuje seštevanje produktov elementov in njihovih kofaktorjev v vsaki vrstici ali stolpcu ob upoštevanju njihovih predznakov.

Ali je determinanta lahko negativna?

Da, determinante so lahko negativne, pozitivne ali nič, odvisno od specifične matrike in njenih lastnosti.

Ali ima lahko matrika 4×4 inverz?

Matrika 4×4 ima lahko inverzno, če je njena determinanta različna od nič; drugače je ednina in nima inverza.

Kako pokažete, da je matrika 4×4 obrnljiva?

Če želite pokazati, da je matrika 4 × 4 obrnljiva, potrdite, da je njena determinanta različna od nič, kar kaže na obstoj inverza, in uporabite dodatna merila, kot je zmanjšanje vrstice, da preverite inverzibilnost.