DETERMINANTA MATRIKE 3×3

Determinanta je temeljni koncept v linearni algebri, ki se uporablja za iskanje ene same skalarne vrednosti za dano matriko. Ta članek bo pojasnil, kaj je matrika 3 × 3 in kako korak za korakom izračunati determinanto matrike 3 × 3 ter njene aplikacije. Ne glede na to, ali ste študent, ki se uči linearne algebre, ali navdušenec, ki išče globlje razumevanje matričnih operacij, je razumevanje determinante matrike 3 × 3 dragocena veščina, ki jo morate pridobiti.

Kaj je determinanta matrike?

Determinanta matrike je eno samo število, izračunano iz kvadratne matrike. Na področju linearne algebre se determinante najdejo z uporabo vrednosti znotraj kvadratne matrike. To število deluje kot faktor skaliranja, ki vpliva na preoblikovanje matrike. Determinante so dragocene za reševanje sistemov linearnih enačb, iskanje inverzne matrike in različne računske operacije.

Kaj je matrika 3 × 3?

Matrika 3 × 3 je a matrica v katerem je število vrstic in stolpcev enako 3. Ker je število vrstic in stolpcev enako, je torej 3 × 3 kvadratna matrika reda 3 × 3. Matrika je kot tabela, sestavljena iz števil, organiziranih v vrstice in stolpce. Uporablja se za shranjevanje in delo s podatki v matematiki in drugih področjih. Medtem ko je matrika 3 × 3 posebna vrsta matrike, ki je sestavljena iz treh vrstic in treh stolpcev. Lahko se predstavi kot:

3 × 3 Matrix

Lastnosti matrike 3 × 3

Tako kot druge matrike imajo tudi matrike 3 × 3 nekatere pomembne lastnosti.

Kvadratna matrica : Matrika 3 × 3 ima tri vrstice in tri stolpce, zaradi česar je kvadratna matrika.

Determinant: Matrika 3 × 3 ima determinanto, numerično vrednost, ključno za reševanje enačb in iskanje inverzov.

Matrično množenje: Matriko 3 × 3 lahko pomnožite z drugo matriko, če se število stolpcev v prvi matriki ujema s številom vrstic v drugi.

Obratno: Matrika 3 × 3 ima lahko inverzno, če je njena determinanta različna od nič. Ko inverzna matrika pomnožimo z izvirno matriko, damo identitetno matriko.

Determinant matrične formule 3 × 3

Obstajajo različne metode za izračun determinante matrike. Najpogostejši pristop je razbitje dane matrike 3 × 3 na manjše 2 × 2 determinante. To poenostavi postopek iskanja determinante in se pogosto uporablja v linearni algebri.

Vzemimo kvadratno matriko 3 × 3, ki je zapisana kot,

Za izračun determinante matrike A, tj. |A|.

Razširite matrico vzdolž elementov prve vrstice.

zato

Kako najdete determinanto matrike 3 × 3?

Razumejmo izračun matrike 3 × 3 s primerom. Za dano matriko 3 × 3 spodaj.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

1. korak: Izberite referenčno vrstico ali stolpec

Za začetek izberite vrstico in stolpec, predpostavimo, da v tem primeru vzamemo prvi element (2) kot referenco za izračun determinante matrike 3 × 3.

Torej, razširitev vzdolž vrstice R₁

Odstrani

2. korak: Prečrtajte vrstico in stolpec

Odstranite izbrano vrstico in stolpec, da ju poenostavite v matriko 2 × 2.

2×2 matrica

3. korak: Poiščite determinanto matrike 2 × 2

Poiščite determinanto matrike 2 × 2 s pomočjo formule

Determinanta = (a × d) – (b × c)

Križno pomnoži

Tukaj je a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

če te vrednosti vnesemo v zgornjo formulo determinante, dobimo

Determinanta = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinanta = 0-(-1)

Determinanta = 0+1

∴ Determinanta matrike 2 × 2 = 1

4. korak: pomnožite z izbranim elementom

Pomnožite determinanto matrike 2 × 2 z izbranim elementom iz referenčne vrstice (ki je v tem primeru 2, 1 in 3):

prvi element = 2 × 1 = 2

5. korak: Ta postopek ponovite za drugi element v izbrani referenčni vrstici

Za drugi element

Poiščite determinanto za drugi element 1 tako, da vrednosti matrike 2×2 vnesete v formulo

Determinanta = (a × d) – (b × c)

Tukaj je a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinanta = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinanta = 8 – 2

Determinanta = 6

Zdaj pomnožite determinanto matrike 2 × 2 z izbranim elementom iz referenčne vrstice (ki je v tem primeru 1):

drugi element = 1 × 6 = 6

6. korak: Ta postopek ponovite za tretji element v izbrani referenčni vrstici

Za tretji element

Poiščite determinanto za tretji element 3 tako, da vrednosti matrike 2×2 vnesete v formulo

Determinanta = (a × d) – (b × c)

Tukaj je a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinanta = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinanta = -4 – 0

Determinanta = -4

Sedaj pomnožite determinanto matrike 2×2 z izbranim elementom iz referenčne vrstice (ki je v tem primeru 3):

drugi element = 3 × (-4) = -12

7. korak: Uporaba formule

Seštejte vse rezultate iz 4., 5. in 6. koraka

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 je determinanta matrike 3 × 3.

Uporaba determinante matrike 3 × 3

Determinanto matrike je mogoče uporabiti za iskanje inverza in rešitev sistema linearne enačbe. Zato se naučimo najti inverzno matriko 3 × 3 in tudi rešiti sistem linearne enačbe z uporabo Cramerjevega pravila, ki vključuje uporabo determinante matrike 3 × 3.

Inverzna matrika 3 × 3

Formula za iskanje inverzne kvadratne matrike A je:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Kje,

A-1 je inverzna matrika A .
Det(A) predstavlja determinanto matrike A.
adj(A) pomeni adjugant matrike A

Preprosto povedano, sledite tem korakom, da poiščete inverzno matriko:

Korak 1. Izračunajte determinanto matrike A.

2. korak Poiščite adjugant matrike A.

3. korak Pomnožite vsak element v adjugatu z 1/det(A).

Ta formula se uporablja za kvadratne matrike (matrike z enakim številom vrstic in stolpcev) in predpostavlja, da je determinanta različna od nič, kar je nujen pogoj, da ima matrika inverz.

Cramerjevo pravilo

Cramerjevo pravilo nudi formulo za reševanje sistema linearnih enačb z uporabo determinant. Za sistem linearnih enačb z n spremenljivkami so podane v obliki

AX=B

Kje,

A = koeficient kvadratne matrike
X = matrika stolpcev s spremenljivkami
B = matrika stolpcev s konstantami

Razmislite o naslednjem sistemu linearne enačbe

a₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

a_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Spremenljivke x, y, z, … so določene z naslednjimi formulami:

x = D_x/D
y = D_in/D
z = D_z/D

Kje:

D je determinanta matrike koeficientov.
D_xje determinanta matrike, dobljena z zamenjavo koeficientov pri x s konstantami na desni strani.
D_inje determinanta matrike, dobljena z zamenjavo koeficientov y
D_zje determinanta matrike, dobljena z zamenjavo koeficientov z

Cramerjevo pravilo je uporabno, kadar je determinanta koeficientne matrike D različna od nič. Če je D = 0, ni mogoče uporabiti pravila, ki kaže bodisi na nobeno rešitev bodisi na neskončno veliko rešitev, odvisno od konkretnega primera.

Prav tako preverite

Vrste matrik
Sistem linearnih enačb s tremi spremenljivkami
Matrične operacije

Determinanta rešenih primerov matrike 3 × 3

Primer 1: Poiščite determinanto matrike A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinanta A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinanta A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinanta A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinanta A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinanta A =-44+11

∴ Determinanta A, tj. |A| = (-33)

Primer 2: Poiščite determinanto matrike B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Detrminant B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinanta B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinanta B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinanta B =6-12

⇒ Determinanta B = (-6)

∴ Determinanta B, tj. |B| = 6

Primer 3: Poiščite determinanto matrike C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinanta matrike C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinanta C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinanta C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinanta C = 24 + 10 -8

⇒ Determinanta C = 26

∴ Determinanta C, tj. |C| = 26

Primer 4: Rešite dani sistem enačb z uporabo Cramerjevega pravila

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

rešitev:

Korak 1: Najprej poiščite determinanto D matrike koeficientov.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Pri reševanju te determinante D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

2. korak: Zdaj pa poiščite determinante D_x,D_inin D_z

Za D_x, nadomestimo koeficiente x s konstantami na desni strani:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Za D_in, nadomestimo koeficiente y s konstantami:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Za D_znadomestimo koeficiente z s konstantami:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

O reševanju determinante D_x

D_x= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

Tako je D_x= 21

O reševanju determinante D_in

D_in= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_in= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_in= 2(-34) – 7(-2) + 24
nizi java

⇒ D_in= -68 + 14 + 24

⇒ D_in= -30

O reševanju determinante D_z

D_z= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_z= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_z= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_z= 20 – 6 – 98

⇒ D_z= -84

3. korak: Sedaj dodamo vrednosti D, D_x, D_inin D_zv formuli Carmerjevega pravila za iskanje vrednosti x, y in z.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_in/D = (-30)/(-19)

z = D_z/D = (-84)/(-19)

Vprašanja za vadbo o determinanti matrike 3 × 3

Q1. Izračunajte determinanto identitetne matrike:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Poiščite determinanto matrike:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Določite determinanto matrike:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Izračunajte determinanto matrike:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

V5. Poiščite determinanto matrike:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

V6. Določite determinanto matrike:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}