Se želite preizkusiti v najtežjih matematičnih vprašanjih SAT? Želite vedeti, zakaj so ta vprašanja tako težka in kako jih najbolje rešiti? Če ste pripravljeni zares zariti zobe v del matematike SAT in se usmeriti v popoln rezultat, potem je to vodnik za vas.

Sestavili smo tisto, za kar verjamemo, da je 15 najtežjih vprašanj za trenutni SAT , s strategijami in razlagami odgovorov za vsako. To so vsa težka vprašanja SAT Math iz praktičnih testov SAT College Board, kar pomeni, da je njihovo razumevanje eden najboljših načinov učenja za tiste, ki stremite k popolnosti.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratek pregled SAT Math

Tretji in četrti del SAT bo vedno del matematike . Prvi matematični podrazdelek (z oznako '3') počne ne vam omogočajo uporabo kalkulatorja, medtem ko drugi podrazdelek matematike (označen kot '4') počne omogočite uporabo kalkulatorja. Ne skrbite preveč glede razdelka brez kalkulatorja: če vam pri vprašanju ni dovoljeno uporabljati kalkulatorja, to pomeni, da za odgovor nanj ne potrebujete kalkulatorja.

Vsak matematični pododdelek je urejen po naraščajoči težavnosti (kjer dlje kot je potrebno za rešitev problema in manj ljudi, ki nanj pravilno odgovori, težji je). V vsakem pododdelku bo 1. vprašanje 'lahko', 15. vprašanje pa 'težko'. Vendar se naraščajoča težavnost ponastavi iz lahke v težjo na mrežah.

Zato so vprašanja z več izbirami razporejena v naraščajoči težavnosti (vprašanji 1 in 2 bosta najlažji, vprašanji 14 in 15 bosta najtežji), vendar se stopnja težavnosti ponastavi za razdelek v mreži (kar pomeni, da bosta vprašanji 16 in 17 spet 'lahko', vprašanji 19 in 20 pa bosta zelo težki).

Z zelo redkimi izjemami torej najtežje matematične težave SAT bodo združene na koncu segmentov z več možnimi odgovori ali na drugi polovici vprašanj v mreži. Vendar imajo ta vprašanja poleg njihove umestitve na testu tudi nekaj drugih skupnih točk. Čez minuto si bomo ogledali primere vprašanj in kako jih rešiti, nato pa jih bomo analizirali, da bomo ugotovili, kaj imajo te vrste vprašanj skupnega.

Toda najprej: ali bi se morali prav zdaj osredotočiti na najtežja matematična vprašanja?

Če ste šele začeli s pripravami na študij (ali če ste preprosto preskočili ta prvi, ključni korak), se zagotovo ustavite in opravite celoten vadbeni test, da ocenite svojo trenutno raven točkovanja. Oglejte si naš vodnik po vsi brezplačni preizkusi znanja SAT, ki so na voljo na spletu nato pa se usedite in naenkrat opravite test.

Absolutno najboljši način za oceno vaše trenutne ravni je, da preprosto opravite izpit SAT, kot da bi bil resničen, pri čemer se držite strogega časovnega razporeda in delate naravnost z dovoljenimi odmori (vemo – verjetno ni vaš najljubši način preživljanja sobote). Ko dobite dobro predstavo o svoji trenutni ravni in razvrstitvi v percentilu, lahko določite mejnike in cilje za vaš končni rezultat SAT Math.

Če trenutno dosegate rezultate v razponu 200–400 ali 400–600 pri SAT Math, je najbolje, da si najprej ogledate naš vodnik za izboljšanje svojega rezultata pri matematiki. dosledno imeti 600 ali več, preden začnete poskušati reševati najtežje matematične naloge na testu.

Če pa že dosegate več kot 600 v razdelku za matematiko in želite preizkusiti svoje sposobnosti za pravi SAT, potem vsekakor nadaljujte s preostalim delom tega vodnika. Če ciljate na popolno (ali blizu) , potem boste morali vedeti, kako so videti najtežje naloge pri matematiki SAT in kako jih rešiti. In na srečo bomo storili točno to.

OPOZORILO: Ker jih je omejeno število uradne praktične preizkuse SAT , boste morda želeli počakati z branjem tega članka, dokler ne poskusite opraviti vseh ali večine prvih štirih uradnih praktičnih testov (ker je bila večina spodnjih vprašanj vzetih iz teh testov). Če vas skrbi, da bi pokvarili te teste, zdaj nehajte brati ta vodnik; vrni se in jih preberi, ko jih dokončaš.

Zdaj pa pojdimo na seznam vprašanj (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežjih matematičnih vprašanj SAT

Zdaj, ko ste prepričani, da bi morali poskusiti odgovoriti na ta vprašanja, se poglobimo takoj! Spodaj smo zbrali 15 najtežjih vprašanj SAT Math, ki jih lahko preizkusite, skupaj z navodili, kako do odgovora (če ste obupani).

Brez kalkulatorja SAT Math Questions

Vprašanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Zgornja enačba prikazuje, kako je temperatura $F$, merjena v stopinjah Fahrenheita, povezana s temperaturo $C$, merjeno v stopinjah Celzija. Na podlagi enačbe, kaj od naslednjega mora biti res?

1. Povišanje temperature za 1 stopinjo Fahrenheita je enakovredno povišanju temperature za 5/9 stopinj Celzija.
2. Povišanje temperature za 1 stopinjo Celzija je enakovredno povišanju temperature za 1,8 stopinje Fahrenheita.
3. Povišanje temperature za /9$ stopinj Fahrenheita je enakovredno zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija.

A) Samo jaz
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I in II

RAZLAGA ODGOVORA: Enačbo si predstavljajte kot enačbo za črto

skrbnik PowerShell

$$y=mx+b$$

kje v tem primeru

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

oz

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Vidite lahko, da je naklon grafa /{9}$, kar pomeni, da je pri povečanju za 1 stopinjo Fahrenheita povečanje /{9}$ za 1 stopinjo Celzija.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Trditev I torej drži. To je enako, kot če bi rekli, da je povečanje za 1 stopinjo Celzija enako povečanju za /{5}$ stopinj Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ker je /{5}$ = 1,8, velja izjava II.

Edini odgovor, pri katerem sta trditvi I in trditvi II resnični, je D , če pa imate čas in želite biti popolnoma temeljiti, lahko tudi preverite, ali je trditev III (zvišanje /{9}$ stopinje Fahrenheita enako zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija) resnična :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (kar je ≠ 1)$$

Zvišanje za /9$ stopinj Fahrenheita povzroči zvišanje za /{81}$, ne pa za 1 stopinjo Celzija, zato izjava III ne drži.

Končni odgovor je D.

2. vprašanje

Enačba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$velja za vse vrednosti $x≠2/a$, kjer je $a$ konstanta.

Kakšna je vrednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RAZLAGA ODGOVORA: Obstajata dva načina za rešitev tega vprašanja. Hitrejši način je, da vsako stran dane enačbe pomnožite z $ax-2$ (da se lahko znebite ulomka). Ko vsako stran pomnožite z $ax-2$, bi morali imeti:

x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Nato bi morali pomnožiti $(-8x-3)$ in $(ax-2)$ z uporabo FOIL.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Nato zmanjšajte na desni strani enačbe

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ker morajo biti koeficienti $x^2$-člena enaki na obeh straneh enačbe, je $−8a = 24$ ali $a = −3$.

Druga možnost, ki je daljša in bolj dolgočasna, je, da poskusite vključiti vse izbire odgovorov za a in vidite, kateri odgovor naredi obe strani enačbe enaki. Še enkrat, to je daljša možnost in je ne priporočam za dejanski SAT, saj bo izgubil preveč časa.

Končni odgovor je B.

3. vprašanje

Če je x-y = 12$, kakšna je vrednost ${8^x}/{2^y}$?

sort arraylist

A) ^{12}$
B) ^4$
C) ^2$
D) Vrednosti ni mogoče določiti iz navedenih informacij.

RAZLAGA ODGOVORA: Eden od pristopov je izražanje

$${8^x}/{2^y}$$

tako da sta števec in imenovalec izražena z isto osnovo. Ker sta 2 in 8 obe potenci števila 2, dobimo z zamenjavo ^3$ z 8 v števcu ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ki jih je mogoče prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Ker imata števec in imenovalec skupno osnovo, lahko ta izraz prepišemo kot ^(3x−y)$. V vprašanju piše, da je x − y = 12$, zato lahko eksponent x − y$ nadomestimo z 12, kar pomeni, da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Končni odgovor je A.

4. vprašanje

Točki A in B ležita na krožnici s polmerom 1, lok ${AB}↖⌢$ pa ima dolžino $π/3$. Kolikšen del obsega kroga predstavlja dolžina loka ${AB}↖⌢$?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite izvedeti odgovor na to vprašanje, morate najprej poznati formulo za iskanje obsega kroga.

Obseg, $C$, kroga je $C = 2πr$, kjer je $r$ polmer kroga. Za dani krog s polmerom 1 je obseg $C = 2(π)(1)$ ali $C = 2π$.

Če želite ugotoviti, kolikšen del obsega je dolžina ${AB}↖⌢$, delite dolžino loka z obsegom, kar daje $π/3 ÷ 2π$. To delitev lahko predstavimo z $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ulomek /6$ lahko prepišemo tudi kot

Se želite preizkusiti v najtežjih matematičnih vprašanjih SAT? Želite vedeti, zakaj so ta vprašanja tako težka in kako jih najbolje rešiti? Če ste pripravljeni zares zariti zobe v del matematike SAT in se usmeriti v popoln rezultat, potem je to vodnik za vas.

Sestavili smo tisto, za kar verjamemo, da je 15 najtežjih vprašanj za trenutni SAT , s strategijami in razlagami odgovorov za vsako. To so vsa težka vprašanja SAT Math iz praktičnih testov SAT College Board, kar pomeni, da je njihovo razumevanje eden najboljših načinov učenja za tiste, ki stremite k popolnosti.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratek pregled SAT Math

Tretji in četrti del SAT bo vedno del matematike . Prvi matematični podrazdelek (z oznako '3') počne ne vam omogočajo uporabo kalkulatorja, medtem ko drugi podrazdelek matematike (označen kot '4') počne omogočite uporabo kalkulatorja. Ne skrbite preveč glede razdelka brez kalkulatorja: če vam pri vprašanju ni dovoljeno uporabljati kalkulatorja, to pomeni, da za odgovor nanj ne potrebujete kalkulatorja.

Vsak matematični pododdelek je urejen po naraščajoči težavnosti (kjer dlje kot je potrebno za rešitev problema in manj ljudi, ki nanj pravilno odgovori, težji je). V vsakem pododdelku bo 1. vprašanje 'lahko', 15. vprašanje pa 'težko'. Vendar se naraščajoča težavnost ponastavi iz lahke v težjo na mrežah.

Zato so vprašanja z več izbirami razporejena v naraščajoči težavnosti (vprašanji 1 in 2 bosta najlažji, vprašanji 14 in 15 bosta najtežji), vendar se stopnja težavnosti ponastavi za razdelek v mreži (kar pomeni, da bosta vprašanji 16 in 17 spet 'lahko', vprašanji 19 in 20 pa bosta zelo težki).

Z zelo redkimi izjemami torej najtežje matematične težave SAT bodo združene na koncu segmentov z več možnimi odgovori ali na drugi polovici vprašanj v mreži. Vendar imajo ta vprašanja poleg njihove umestitve na testu tudi nekaj drugih skupnih točk. Čez minuto si bomo ogledali primere vprašanj in kako jih rešiti, nato pa jih bomo analizirali, da bomo ugotovili, kaj imajo te vrste vprašanj skupnega.

Toda najprej: ali bi se morali prav zdaj osredotočiti na najtežja matematična vprašanja?

Če ste šele začeli s pripravami na študij (ali če ste preprosto preskočili ta prvi, ključni korak), se zagotovo ustavite in opravite celoten vadbeni test, da ocenite svojo trenutno raven točkovanja. Oglejte si naš vodnik po vsi brezplačni preizkusi znanja SAT, ki so na voljo na spletu nato pa se usedite in naenkrat opravite test.

Absolutno najboljši način za oceno vaše trenutne ravni je, da preprosto opravite izpit SAT, kot da bi bil resničen, pri čemer se držite strogega časovnega razporeda in delate naravnost z dovoljenimi odmori (vemo – verjetno ni vaš najljubši način preživljanja sobote). Ko dobite dobro predstavo o svoji trenutni ravni in razvrstitvi v percentilu, lahko določite mejnike in cilje za vaš končni rezultat SAT Math.

Če trenutno dosegate rezultate v razponu 200–400 ali 400–600 pri SAT Math, je najbolje, da si najprej ogledate naš vodnik za izboljšanje svojega rezultata pri matematiki. dosledno imeti 600 ali več, preden začnete poskušati reševati najtežje matematične naloge na testu.

Če pa že dosegate več kot 600 v razdelku za matematiko in želite preizkusiti svoje sposobnosti za pravi SAT, potem vsekakor nadaljujte s preostalim delom tega vodnika. Če ciljate na popolno (ali blizu) , potem boste morali vedeti, kako so videti najtežje naloge pri matematiki SAT in kako jih rešiti. In na srečo bomo storili točno to.

OPOZORILO: Ker jih je omejeno število uradne praktične preizkuse SAT , boste morda želeli počakati z branjem tega članka, dokler ne poskusite opraviti vseh ali večine prvih štirih uradnih praktičnih testov (ker je bila večina spodnjih vprašanj vzetih iz teh testov). Če vas skrbi, da bi pokvarili te teste, zdaj nehajte brati ta vodnik; vrni se in jih preberi, ko jih dokončaš.

Zdaj pa pojdimo na seznam vprašanj (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežjih matematičnih vprašanj SAT

Zdaj, ko ste prepričani, da bi morali poskusiti odgovoriti na ta vprašanja, se poglobimo takoj! Spodaj smo zbrali 15 najtežjih vprašanj SAT Math, ki jih lahko preizkusite, skupaj z navodili, kako do odgovora (če ste obupani).

Brez kalkulatorja SAT Math Questions

Vprašanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Zgornja enačba prikazuje, kako je temperatura $F$, merjena v stopinjah Fahrenheita, povezana s temperaturo $C$, merjeno v stopinjah Celzija. Na podlagi enačbe, kaj od naslednjega mora biti res?

1. Povišanje temperature za 1 stopinjo Fahrenheita je enakovredno povišanju temperature za 5/9 stopinj Celzija.
2. Povišanje temperature za 1 stopinjo Celzija je enakovredno povišanju temperature za 1,8 stopinje Fahrenheita.
3. Povišanje temperature za $5/9$ stopinj Fahrenheita je enakovredno zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija.

A) Samo jaz
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I in II

RAZLAGA ODGOVORA: Enačbo si predstavljajte kot enačbo za črto

$$y=mx+b$$

kje v tem primeru

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

oz

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Vidite lahko, da je naklon grafa ${5}/{9}$, kar pomeni, da je pri povečanju za 1 stopinjo Fahrenheita povečanje ${5}/{9}$ za 1 stopinjo Celzija.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Trditev I torej drži. To je enako, kot če bi rekli, da je povečanje za 1 stopinjo Celzija enako povečanju za ${9}/{5}$ stopinj Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ker je ${9}/{5}$ = 1,8, velja izjava II.

Edini odgovor, pri katerem sta trditvi I in trditvi II resnični, je D , če pa imate čas in želite biti popolnoma temeljiti, lahko tudi preverite, ali je trditev III (zvišanje ${5}/{9}$ stopinje Fahrenheita enako zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija) resnična :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (kar je ≠ 1)$$

Zvišanje za $5/9$ stopinj Fahrenheita povzroči zvišanje za ${25}/{81}$, ne pa za 1 stopinjo Celzija, zato izjava III ne drži.

Končni odgovor je D.

2. vprašanje

Enačba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$velja za vse vrednosti $x≠2/a$, kjer je $a$ konstanta.

Kakšna je vrednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RAZLAGA ODGOVORA: Obstajata dva načina za rešitev tega vprašanja. Hitrejši način je, da vsako stran dane enačbe pomnožite z $ax-2$ (da se lahko znebite ulomka). Ko vsako stran pomnožite z $ax-2$, bi morali imeti:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Nato bi morali pomnožiti $(-8x-3)$ in $(ax-2)$ z uporabo FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Nato zmanjšajte na desni strani enačbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ker morajo biti koeficienti $x^2$-člena enaki na obeh straneh enačbe, je $−8a = 24$ ali $a = −3$.

Druga možnost, ki je daljša in bolj dolgočasna, je, da poskusite vključiti vse izbire odgovorov za a in vidite, kateri odgovor naredi obe strani enačbe enaki. Še enkrat, to je daljša možnost in je ne priporočam za dejanski SAT, saj bo izgubil preveč časa.

Končni odgovor je B.

3. vprašanje

Če je $3x-y = 12$, kakšna je vrednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrednosti ni mogoče določiti iz navedenih informacij.

RAZLAGA ODGOVORA: Eden od pristopov je izražanje

$${8^x}/{2^y}$$

tako da sta števec in imenovalec izražena z isto osnovo. Ker sta 2 in 8 obe potenci števila 2, dobimo z zamenjavo $2^3$ z 8 v števcu ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ki jih je mogoče prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Ker imata števec in imenovalec skupno osnovo, lahko ta izraz prepišemo kot $2^(3x−y)$. V vprašanju piše, da je $3x − y = 12$, zato lahko eksponent $3x − y$ nadomestimo z 12, kar pomeni, da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Končni odgovor je A.

4. vprašanje

Točki A in B ležita na krožnici s polmerom 1, lok ${AB}↖⌢$ pa ima dolžino $π/3$. Kolikšen del obsega kroga predstavlja dolžina loka ${AB}↖⌢$?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite izvedeti odgovor na to vprašanje, morate najprej poznati formulo za iskanje obsega kroga.

Obseg, $C$, kroga je $C = 2πr$, kjer je $r$ polmer kroga. Za dani krog s polmerom 1 je obseg $C = 2(π)(1)$ ali $C = 2π$.

Če želite ugotoviti, kolikšen del obsega je dolžina ${AB}↖⌢$, delite dolžino loka z obsegom, kar daje $π/3 ÷ 2π$. To delitev lahko predstavimo z $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ulomek $1/6$ lahko prepišemo tudi kot $0,166$ ali $0,167$.

Končni odgovor je $1/6$, $0,166$ ali $0,167$.

5. vprašanje

$${8-i}/{3-2i}$$

Če zgornji izraz prepišemo v obliki $a+bi$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili, kakšna je vrednost $a$? (Opomba: $i=√{-1}$)

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite prepisati ${8-i}/{3-2i}$ v standardni obliki $a + bi$, morate števec in imenovalec ${8-i}/{3-2i}$ pomnožiti s konjugatom , 3 $ + 2 i $. To je enako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ker je $i^2=-1$, lahko ta zadnji ulomek poenostavljeno skrajšamo na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

kar še poenostavi na $2 + i$. Ko torej ${8-i}/{3-2i}$ prepišemo v standardni obliki a + bi, je vrednost a 2.

Končni odgovor je A.

6. vprašanje

V trikotniku $ABC$ je mera $∠B$ 90°, $BC=16$ in $AC$=20. Trikotnik $DEF$ je podoben trikotniku $ABC$, kjer oglišča $D$, $E$ in $F$ ustrezajo ogliščem $A$, $B$ in $C$ oziroma vsaki strani trikotnika $ DEF$ je $1/3$ dolžine ustrezne stranice trikotnika $ABC$. Kakšna je vrednost $sinF$?

RAZLAGA ODGOVORA: Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom v B. Zato je $ov {AC}$ hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC, $ov {AB}$ in $ov {BC}$ pa sta kraka pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku je

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ker je trikotnik DEF podoben trikotniku ABC, pri čemer oglišče F ustreza oglišču C, je mera $angle ∠ {F}$ enaka meri $angle ∠ {C}$. Zato je $sin F = sin C$. Iz dolžin stranic trikotnika ABC,

$$sinF ={ asproti side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zato je $sinF ={3}/{5}$.

Končni odgovor je ${3}/{5}$ ali 0,6.

Vprašanja za SAT matematiko, dovoljena za kalkulator

7. vprašanje

Nepopolna zgornja tabela povzema število levičarjev in desničarjev po spolu za učence osmega razreda srednje šole Keisel. Desničark je 5-krat več kot levičark, desničarjev pa 9-krat več kot levičarjev. če je na šoli skupno 18 levičarjev in 122 desničarjev, kaj od naslednjega je najbližje verjetnosti, da je naključno izbrana desničarka ženska? (Opomba: predpostavimo, da nobeden od učencev osmega razreda ni hkrati desničar in levičar.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate ustvariti dve enačbi z dvema spremenljivkama ($x$ in $y$) in informacijami, ki ste jih dobili. Naj bo $x$ število levičarskih študentk in $y$ število levičarskih študentov. Z uporabo informacij, navedenih v problemu, bo število desničarskih študentk $5x$, število desničarjev pa $9y$. Ker je skupno število levičarjev 18 in skupno število desničarjev 122, mora spodnji sistem enačb veljati:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Ko rešite ta sistem enačb, dobite $x = 10$ in $y = 8$. Tako je 5*10 ali 50 od 122 desničarjev žensk. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana desničarka ženska, ${50}/{122}$, kar je na najbližjo tisočinko 0,410.

Končni odgovor je A.

Vprašanji 8 in 9

Uporabite naslednje informacije za vprašanje 7 in vprašanje 8.

Če kupci vstopajo v trgovino s povprečno hitrostjo $r$ kupcev na minuto in vsak ostane v trgovini povprečno $T$ minut, je podano povprečno število kupcev v trgovini, $N$, kadar koli po formuli $N=rT$. To razmerje je znano kot Littleov zakon.

Lastnik Good Deals Store ocenjuje, da med delovnim časom v trgovino vstopijo povprečno 3 kupci na minuto in da se vsak od njih zadrži povprečno 15 minut. Lastnik trgovine uporabi Littleov zakon, da oceni, da je v trgovini kadar koli 45 kupcev.

8. vprašanje

Littleov zakon je mogoče uporabiti za kateri koli del trgovine, kot je določen oddelek ali blagajna. Lastnik trgovine ugotavlja, da med delovnim časom opravi nakup približno 84 kupcev na uro in vsak od teh kupcev v blagajni preživi povprečno 5 minut. Približno koliko kupcev v povprečju kadar koli med delovnim časom čaka v vrsti na blagajni, da opravijo nakup v trgovini Good Deals Store?

RAZLAGA ODGOVORA: Ker vprašanje navaja, da je Littleov zakon mogoče uporabiti za kateri koli posamezen del trgovine (na primer samo za blagajno), potem je povprečno število kupcev, $N$, v blagajni v katerem koli trenutku $N = rT $, kjer je $r$ število kupcev, ki vstopijo v blagajniško vrsto na minuto, $T$ pa je povprečno število minut, ki jih vsak kupec preživi v blagajniški vrsti.

Ker 84 kupcev na uro opravi nakup, 84 kupcev na uro vstopi v blagajno. Vendar je treba to pretvoriti v število nakupovalcev na minuto (da se lahko uporabi z $T = 5$). Ker je v eni uri 60 minut, je cena ${84 kupovalcev a uro}/{60 minut} = 1,4$ nakupovalcev na minuto. Če uporabimo dano formulo z $r = 1,4$ in $T = 5$ dobimo

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Zato je povprečno število kupcev, $N$, v vrsti na blagajni kadar koli med delovnim časom 7.

Končni odgovor je 7.

vprašanje 9

Lastnik trgovine Good Deals Store odpre novo trgovino v mestu. Za novo trgovino lastnik ocenjuje, da bo v delovnem času povprečno 90 kupcev naurovstopijo v trgovino in vsak ostane povprečno 12 minut. Koliko odstotkov je povprečno število kupcev v novi trgovini kadar koli manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini? (Opomba: pri vnosu odgovora ne upoštevajte simbola za odstotek. Na primer, če je odgovor 42,1 %, vnesite 42,1)

RAZLAGA ODGOVORA: Glede na podane prvotne informacije je ocenjeno povprečno število kupcev v prvotni trgovini kadar koli (N) 45. V vprašanju je navedeno, da je v novi trgovini upravitelj ocenil povprečno 90 kupcev na uro. (60 minut) vstopite v trgovino, kar je enako 1,5 kupca na minuto (r). Vodja tudi ocenjuje, da se vsak kupec v trgovini v povprečju zadrži 12 minut (T). Tako je po Littleovem zakonu povprečno $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupcev v novi trgovini kadar koli. To je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

odstotkov manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini kadar koli.

Končni odgovor je 60.

vprašanje 10

V $xy$-ravnini leži točka $(p,r)$ na premici z enačbo $y=x+b$, kjer je $b$ konstanta. Točka s koordinatami $(2p, 5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$. Če je $p≠0$, kakšna je vrednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

RAZLAGA ODGOVORA: Ker točka $(p,r)$ leži na premici z enačbo $y=x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $p$ z $x$ in $r$ z $y$ v enačbi $y=x+b$ dobi $r=p+b$ ali $i b$ = $i r-i p $.

Podobno, ker točka $(2p,5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $2p$ z $x$ in $5r$ z $y$ v enačbi $y=2x+b$ dobi:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Nato lahko enačbi, ki sta enaki $b$, določimo med seboj enake in poenostavimo:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Končno, da bi našli $r/p$, moramo obe strani enačbe deliti z $p$ in s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Pravilen odgovor je B , 3/4 $.

Če ste izbrali možnosti A in D, ste morda napačno oblikovali odgovor iz koeficientov v točki $(2p, 5r)$. Če ste izbrali možnost C, ste morda zamenjali $r$ in $p$.

Upoštevajte, da čeprav je to v razdelku za kalkulator SAT, za reševanje tega nikakor ne potrebujete svojega kalkulatorja!

vprašanje 11

Žitni silos je zgrajen iz dveh desnih krožnih stožcev in desnega krožnega valja z notranjimi merami, ki jih predstavlja zgornja slika. Kaj od naslednjega je najbližje prostornini silosa za žito v kubičnih čevljih?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RAZLAGA ODGOVORA: Prostornino žitnega silosa lahko ugotovimo tako, da seštejemo prostornine vseh trdnih snovi, iz katerih je sestavljen (valj in dva stožca). Silos je sestavljen iz valja (z višino 10 čevljev in polmerom baze 5 čevljev) in dveh stožcev (vsak ima višino 5 ft in polmer osnove 5 ft). Formule, podane na začetku razdelka SAT Math:

Prostornina stožca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Prostornina valja

$$V=πr^2h$$

se lahko uporablja za določitev celotne prostornine silosa. Ker imata oba stožca enake dimenzije, je skupna prostornina silosa v kubičnih čevljih podana z

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

kar je približno enako 1.047,2 kubičnih čevljev.

Končni odgovor je D.

vprašanje 12

Če je $x$ povprečje (aritmetična sredina) $m$ in $9$, $y$ povprečje $2m$ in $15$ in $z$ povprečje $3m$ in $18$, koliko je povprečje $x$, $y$ in $z$ glede na $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 mio $ + 14 $
D) 3 milijone $ + 21 $

RAZLAGA ODGOVORA: Ker je povprečje (aritmetična sredina) dveh števil enaka vsoti obeh števil, deljeni z 2, veljajo enačbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$so resnični. Povprečje $x$, $y$ in $z$ je podano z ${x + y + z}/{3}$. Če nadomestimo izraze v m za vsako spremenljivko ($x$, $y$, $z$), dobimo

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ta ulomek je mogoče poenostaviti na $m + 7$.

Končni odgovor je B.

vprašanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je grafično prikazana v zgornji ravnini $xy$. Če je $k$ konstanta, tako da ima enačba $f(x)=k$ tri realne rešitve, katera od naslednjih bi lahko bila vrednost $k$?

RAZLAGA ODGOVORA: Enačba $f(x) = k$ daje rešitve sistema enačb

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

in

$$y = k$$

Realna rešitev sistema dveh enačb ustreza točki presečišča grafov obeh enačb v $xy$-ravnini.

Graf $y = k$ je vodoravna premica, ki vsebuje točko $(0, k)$ in trikrat seka graf kubične enačbe (ker ima tri realne rešitve). Glede na graf je edina vodoravna premica, ki bi trikrat sekala kubično enačbo, premica z enačbo $y = −3$ ali $f(x) = −3$. Zato je $k$ $-3$.

Končni odgovor je D.

14. vprašanje

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamični tlak $q$, ki ga ustvari tekočina, ki se giblje s hitrostjo $v$, je mogoče najti z uporabo zgornje formule, kjer je $n$ konstantna gostota tekočine. Letalski inženir uporabi formulo za iskanje dinamičnega tlaka tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v$, in iste tekočine, ki se giblje s hitrostjo 1,5$v$. Kakšno je razmerje med dinamičnim tlakom hitrejše tekočine in dinamičnim tlakom počasnejše tekočine?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate nastaviti enačbe s spremenljivkami. Naj bo $q_1$ dinamični tlak počasnejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_1$, $q_2$ pa naj bo dinamični tlak hitrejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_2$. Potem

$$v_2 =1,5v_1$$

Če podamo enačbo $q = {1}/{2}nv^2$, dobimo z zamenjavo dinamičnega tlaka in hitrosti hitrejše tekočine $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ker je $v_2 =1,5v_1$, lahko izraz $1,5v_1$ nadomestimo z $v_2$ v tej enačbi, kar daje $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. S kvadriranjem $1,5$ lahko prejšnjo enačbo prepišete kot

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Zato je razmerje dinamičnega tlaka hitrejše tekočine

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Končni odgovor je 2,25 ali 9/4.

15. vprašanje

Za polinom $p(x)$ je vrednost $p(3)$ $-2$. Kaj od naslednjega mora veljati za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Ostanek, ko $p(x)$ delimo z $x-3$, je $-2$.

RAZLAGA ODGOVORA: Če polinom $p(x)$ delimo s polinomom oblike $x+k$ (ki upošteva vse možne izbire odgovorov v tem vprašanju), lahko rezultat zapišemo kot

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kjer je $q(x)$ polinom in $r$ ostanek. Ker je $x + k$ polinom stopnje 1 (kar pomeni, da vključuje samo $x^1$ in ne višjih eksponentov), ​​je ostanek realno število.

Zato lahko $p(x)$ prepišemo kot $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kjer je $r$ realno število.

Vprašanje navaja, da je $p(3) = -2$, torej to mora biti res

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Zdaj lahko vključimo vse možne odgovore. Če je odgovor A, B ali C, bo $r$ $0$, če je odgovor D, pa bo $r$ $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To bo vedno bodi resničen ne glede na to, kaj je $q(3)$.

Od izbir odgovorov edini, ki mora res glede $p(x)$ je D, da je ostanek, ko je $p(x)$ deljen z $x-3$ enak -2.

Končni odgovor je D.

Zaslužiš si ves spanec, potem ko prebereš ta vprašanja.

Kaj imajo skupnega najtežja matematična vprašanja SAT?

Pomembno je razumeti, zakaj so ta težka vprašanja 'težka'. S tem boste lahko razumeli in rešili podobna vprašanja, ko jih boste videli na dan izpita, ter imeli boljšo strategijo za prepoznavanje in popravljanje prejšnjih napak pri matematiki SAT.

V tem razdelku si bomo ogledali, kaj imajo ta vprašanja skupnega, in navedli primere vsake vrste. Nekaj ​​razlogov, zakaj so najtežja matematična vprašanja najtežja matematična vprašanja, je, ker:

#1: Preizkusite več matematičnih konceptov hkrati

Tukaj se moramo ukvarjati z namišljenimi števili in ulomki naenkrat.

Skrivnost uspeha: Pomislite, katero uporabno matematiko bi lahko uporabili za rešitev težave, delajte korak za korakom in poskusite vsako tehniko, dokler ne najdete tiste, ki deluje!

#2: Vključite veliko korakov

Ne pozabite: več korakov kot morate narediti, lažje boste nekje na poti zamočili!

To težavo moramo rešiti v korakih (z več povprečji), da odklenemo preostale odgovore z učinkom domin. To lahko postane zmedeno, še posebej, če ste pod stresom ali če vam zmanjkuje časa.

Skrivnost uspeha: Počasi, pojdi korak za korakom in še enkrat preveri svoje delo, da ne boš delal napak!

#3: Preizkusni koncepti, ki jih slabo poznate

Mnogi učenci so na primer manj seznanjeni s funkcijami kot z ulomki in odstotki, zato večina funkcijskih vprašanj velja za 'visoko težavne' probleme.

Če ne poznate funkcij, bi bila to težavna težava.

Skrivnost uspeha: Preglejte matematične koncepte, ki jih ne poznate toliko, kot so funkcije. Predlagamo, da uporabite naše odlične brezplačne vodnike za pregled SAT Math.

#4: so ubesedeni na nenavaden ali zapleten način

Težko je natančno ugotoviti, kaj so nekatera vprašanja spraševanje , še manj pa ugotoviti, kako jih rešiti. To še posebej velja, ko je vprašanje na koncu razdelka in vam zmanjkuje časa.

Ker to vprašanje ponuja toliko informacij brez diagrama, ga je težko razvozlati v omejenem dovoljenem času.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in narišite diagram, če vam je v pomoč.

#5: Uporabite veliko različnih spremenljivk

S toliko različnimi spremenljivkami v igri se je zelo enostavno zmešati.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in razmislite, ali je dodajanje številk dobra strategija za rešitev težave (ne bi veljala za zgornje vprašanje, bi pa bila za številna druga vprašanja o spremenljivki SAT).

Take-Aways

SAT je maraton in bolje kot ste nanj pripravljeni, bolje se boste počutili na dan izpita. Če boste vedeli, kako se soočiti z najtežjimi vprašanji, ki vam jih lahko postavi test, bo opravljanje pravega testa SAT veliko manj zastrašujoče.

Če se vam zdijo ta vprašanja lahka, ne podcenjujte vpliva adrenalina in utrujenosti na vašo sposobnost reševanja težav. Ko nadaljujete s študijem, se vedno držite pravilnih časovnih smernic in poskušajte opraviti celotne teste, kadar koli je to mogoče. To je najboljši način za poustvarjanje dejanskega preskusnega okolja, da se lahko pripravite na pravi posel.

Če se vam zdijo ta vprašanja zahtevna, okrepite svoje znanje matematike tako, da si ogledate naše vodnike po posameznih temah iz matematike za SAT. Tam boste videli podrobnejše razlage zadevnih tem in podrobnejše razčlenitve odgovorov.

Kaj je naslednje?

Se vam zdi, da so ta vprašanja težja, kot ste pričakovali? Oglejte si vse teme, obravnavane v razdelku SAT matematika, in nato zabeležite, kateri razdelki so bili za vas še posebej težavni. Nato si oglejte naše posamezne matematične vodnike, ki vam bodo pomagali podpreti katero koli od teh šibkih področij.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Naš vodnik vam bo pomagal premagati čas in povečati svoj rezultat.

Ciljate na popoln rezultat? Preveri naš vodnik o tem, kako doseči popolnih 800 na oddelku za matematiko SAT , ki ga je napisal popoln strelec.

Se želite preizkusiti v najtežjih matematičnih vprašanjih SAT? Želite vedeti, zakaj so ta vprašanja tako težka in kako jih najbolje rešiti? Če ste pripravljeni zares zariti zobe v del matematike SAT in se usmeriti v popoln rezultat, potem je to vodnik za vas.

Sestavili smo tisto, za kar verjamemo, da je 15 najtežjih vprašanj za trenutni SAT , s strategijami in razlagami odgovorov za vsako. To so vsa težka vprašanja SAT Math iz praktičnih testov SAT College Board, kar pomeni, da je njihovo razumevanje eden najboljših načinov učenja za tiste, ki stremite k popolnosti.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratek pregled SAT Math

Tretji in četrti del SAT bo vedno del matematike . Prvi matematični podrazdelek (z oznako '3') počne ne vam omogočajo uporabo kalkulatorja, medtem ko drugi podrazdelek matematike (označen kot '4') počne omogočite uporabo kalkulatorja. Ne skrbite preveč glede razdelka brez kalkulatorja: če vam pri vprašanju ni dovoljeno uporabljati kalkulatorja, to pomeni, da za odgovor nanj ne potrebujete kalkulatorja.

Vsak matematični pododdelek je urejen po naraščajoči težavnosti (kjer dlje kot je potrebno za rešitev problema in manj ljudi, ki nanj pravilno odgovori, težji je). V vsakem pododdelku bo 1. vprašanje 'lahko', 15. vprašanje pa 'težko'. Vendar se naraščajoča težavnost ponastavi iz lahke v težjo na mrežah.

Zato so vprašanja z več izbirami razporejena v naraščajoči težavnosti (vprašanji 1 in 2 bosta najlažji, vprašanji 14 in 15 bosta najtežji), vendar se stopnja težavnosti ponastavi za razdelek v mreži (kar pomeni, da bosta vprašanji 16 in 17 spet 'lahko', vprašanji 19 in 20 pa bosta zelo težki).

Z zelo redkimi izjemami torej najtežje matematične težave SAT bodo združene na koncu segmentov z več možnimi odgovori ali na drugi polovici vprašanj v mreži. Vendar imajo ta vprašanja poleg njihove umestitve na testu tudi nekaj drugih skupnih točk. Čez minuto si bomo ogledali primere vprašanj in kako jih rešiti, nato pa jih bomo analizirali, da bomo ugotovili, kaj imajo te vrste vprašanj skupnega.

Toda najprej: ali bi se morali prav zdaj osredotočiti na najtežja matematična vprašanja?

Če ste šele začeli s pripravami na študij (ali če ste preprosto preskočili ta prvi, ključni korak), se zagotovo ustavite in opravite celoten vadbeni test, da ocenite svojo trenutno raven točkovanja. Oglejte si naš vodnik po vsi brezplačni preizkusi znanja SAT, ki so na voljo na spletu nato pa se usedite in naenkrat opravite test.

Absolutno najboljši način za oceno vaše trenutne ravni je, da preprosto opravite izpit SAT, kot da bi bil resničen, pri čemer se držite strogega časovnega razporeda in delate naravnost z dovoljenimi odmori (vemo – verjetno ni vaš najljubši način preživljanja sobote). Ko dobite dobro predstavo o svoji trenutni ravni in razvrstitvi v percentilu, lahko določite mejnike in cilje za vaš končni rezultat SAT Math.

Če trenutno dosegate rezultate v razponu 200–400 ali 400–600 pri SAT Math, je najbolje, da si najprej ogledate naš vodnik za izboljšanje svojega rezultata pri matematiki. dosledno imeti 600 ali več, preden začnete poskušati reševati najtežje matematične naloge na testu.

Če pa že dosegate več kot 600 v razdelku za matematiko in želite preizkusiti svoje sposobnosti za pravi SAT, potem vsekakor nadaljujte s preostalim delom tega vodnika. Če ciljate na popolno (ali blizu) , potem boste morali vedeti, kako so videti najtežje naloge pri matematiki SAT in kako jih rešiti. In na srečo bomo storili točno to.

OPOZORILO: Ker jih je omejeno število uradne praktične preizkuse SAT , boste morda želeli počakati z branjem tega članka, dokler ne poskusite opraviti vseh ali večine prvih štirih uradnih praktičnih testov (ker je bila večina spodnjih vprašanj vzetih iz teh testov). Če vas skrbi, da bi pokvarili te teste, zdaj nehajte brati ta vodnik; vrni se in jih preberi, ko jih dokončaš.

Zdaj pa pojdimo na seznam vprašanj (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežjih matematičnih vprašanj SAT

Zdaj, ko ste prepričani, da bi morali poskusiti odgovoriti na ta vprašanja, se poglobimo takoj! Spodaj smo zbrali 15 najtežjih vprašanj SAT Math, ki jih lahko preizkusite, skupaj z navodili, kako do odgovora (če ste obupani).

Brez kalkulatorja SAT Math Questions

Vprašanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Zgornja enačba prikazuje, kako je temperatura $F$, merjena v stopinjah Fahrenheita, povezana s temperaturo $C$, merjeno v stopinjah Celzija. Na podlagi enačbe, kaj od naslednjega mora biti res?

1. Povišanje temperature za 1 stopinjo Fahrenheita je enakovredno povišanju temperature za 5/9 stopinj Celzija.
2. Povišanje temperature za 1 stopinjo Celzija je enakovredno povišanju temperature za 1,8 stopinje Fahrenheita.
3. Povišanje temperature za $5/9$ stopinj Fahrenheita je enakovredno zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija.

A) Samo jaz
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I in II

RAZLAGA ODGOVORA: Enačbo si predstavljajte kot enačbo za črto

$$y=mx+b$$

kje v tem primeru

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

oz

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Vidite lahko, da je naklon grafa ${5}/{9}$, kar pomeni, da je pri povečanju za 1 stopinjo Fahrenheita povečanje ${5}/{9}$ za 1 stopinjo Celzija.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Trditev I torej drži. To je enako, kot če bi rekli, da je povečanje za 1 stopinjo Celzija enako povečanju za ${9}/{5}$ stopinj Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ker je ${9}/{5}$ = 1,8, velja izjava II.

Edini odgovor, pri katerem sta trditvi I in trditvi II resnični, je D , če pa imate čas in želite biti popolnoma temeljiti, lahko tudi preverite, ali je trditev III (zvišanje ${5}/{9}$ stopinje Fahrenheita enako zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija) resnična :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (kar je ≠ 1)$$

Zvišanje za $5/9$ stopinj Fahrenheita povzroči zvišanje za ${25}/{81}$, ne pa za 1 stopinjo Celzija, zato izjava III ne drži.

Končni odgovor je D.

2. vprašanje

Enačba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$velja za vse vrednosti $x≠2/a$, kjer je $a$ konstanta.

Kakšna je vrednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RAZLAGA ODGOVORA: Obstajata dva načina za rešitev tega vprašanja. Hitrejši način je, da vsako stran dane enačbe pomnožite z $ax-2$ (da se lahko znebite ulomka). Ko vsako stran pomnožite z $ax-2$, bi morali imeti:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Nato bi morali pomnožiti $(-8x-3)$ in $(ax-2)$ z uporabo FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Nato zmanjšajte na desni strani enačbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ker morajo biti koeficienti $x^2$-člena enaki na obeh straneh enačbe, je $−8a = 24$ ali $a = −3$.

Druga možnost, ki je daljša in bolj dolgočasna, je, da poskusite vključiti vse izbire odgovorov za a in vidite, kateri odgovor naredi obe strani enačbe enaki. Še enkrat, to je daljša možnost in je ne priporočam za dejanski SAT, saj bo izgubil preveč časa.

Končni odgovor je B.

3. vprašanje

Če je $3x-y = 12$, kakšna je vrednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrednosti ni mogoče določiti iz navedenih informacij.

RAZLAGA ODGOVORA: Eden od pristopov je izražanje

$${8^x}/{2^y}$$

tako da sta števec in imenovalec izražena z isto osnovo. Ker sta 2 in 8 obe potenci števila 2, dobimo z zamenjavo $2^3$ z 8 v števcu ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ki jih je mogoče prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Ker imata števec in imenovalec skupno osnovo, lahko ta izraz prepišemo kot $2^(3x−y)$. V vprašanju piše, da je $3x − y = 12$, zato lahko eksponent $3x − y$ nadomestimo z 12, kar pomeni, da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Končni odgovor je A.

4. vprašanje

Točki A in B ležita na krožnici s polmerom 1, lok ${AB}↖⌢$ pa ima dolžino $π/3$. Kolikšen del obsega kroga predstavlja dolžina loka ${AB}↖⌢$?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite izvedeti odgovor na to vprašanje, morate najprej poznati formulo za iskanje obsega kroga.

Obseg, $C$, kroga je $C = 2πr$, kjer je $r$ polmer kroga. Za dani krog s polmerom 1 je obseg $C = 2(π)(1)$ ali $C = 2π$.

Če želite ugotoviti, kolikšen del obsega je dolžina ${AB}↖⌢$, delite dolžino loka z obsegom, kar daje $π/3 ÷ 2π$. To delitev lahko predstavimo z $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ulomek $1/6$ lahko prepišemo tudi kot $0,166$ ali $0,167$.

Končni odgovor je $1/6$, $0,166$ ali $0,167$.

5. vprašanje

$${8-i}/{3-2i}$$

Če zgornji izraz prepišemo v obliki $a+bi$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili, kakšna je vrednost $a$? (Opomba: $i=√{-1}$)

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite prepisati ${8-i}/{3-2i}$ v standardni obliki $a + bi$, morate števec in imenovalec ${8-i}/{3-2i}$ pomnožiti s konjugatom , 3 $ + 2 i $. To je enako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ker je $i^2=-1$, lahko ta zadnji ulomek poenostavljeno skrajšamo na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

kar še poenostavi na $2 + i$. Ko torej ${8-i}/{3-2i}$ prepišemo v standardni obliki a + bi, je vrednost a 2.

Končni odgovor je A.

6. vprašanje

V trikotniku $ABC$ je mera $∠B$ 90°, $BC=16$ in $AC$=20. Trikotnik $DEF$ je podoben trikotniku $ABC$, kjer oglišča $D$, $E$ in $F$ ustrezajo ogliščem $A$, $B$ in $C$ oziroma vsaki strani trikotnika $ DEF$ je $1/3$ dolžine ustrezne stranice trikotnika $ABC$. Kakšna je vrednost $sinF$?

RAZLAGA ODGOVORA: Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom v B. Zato je $ov {AC}$ hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC, $ov {AB}$ in $ov {BC}$ pa sta kraka pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku je

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ker je trikotnik DEF podoben trikotniku ABC, pri čemer oglišče F ustreza oglišču C, je mera $angle ∠ {F}$ enaka meri $angle ∠ {C}$. Zato je $sin F = sin C$. Iz dolžin stranic trikotnika ABC,

$$sinF ={ asproti side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zato je $sinF ={3}/{5}$.

Končni odgovor je ${3}/{5}$ ali 0,6.

Vprašanja za SAT matematiko, dovoljena za kalkulator

7. vprašanje

Nepopolna zgornja tabela povzema število levičarjev in desničarjev po spolu za učence osmega razreda srednje šole Keisel. Desničark je 5-krat več kot levičark, desničarjev pa 9-krat več kot levičarjev. če je na šoli skupno 18 levičarjev in 122 desničarjev, kaj od naslednjega je najbližje verjetnosti, da je naključno izbrana desničarka ženska? (Opomba: predpostavimo, da nobeden od učencev osmega razreda ni hkrati desničar in levičar.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate ustvariti dve enačbi z dvema spremenljivkama ($x$ in $y$) in informacijami, ki ste jih dobili. Naj bo $x$ število levičarskih študentk in $y$ število levičarskih študentov. Z uporabo informacij, navedenih v problemu, bo število desničarskih študentk $5x$, število desničarjev pa $9y$. Ker je skupno število levičarjev 18 in skupno število desničarjev 122, mora spodnji sistem enačb veljati:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Ko rešite ta sistem enačb, dobite $x = 10$ in $y = 8$. Tako je 5*10 ali 50 od 122 desničarjev žensk. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana desničarka ženska, ${50}/{122}$, kar je na najbližjo tisočinko 0,410.

Končni odgovor je A.

Vprašanji 8 in 9

Uporabite naslednje informacije za vprašanje 7 in vprašanje 8.

Če kupci vstopajo v trgovino s povprečno hitrostjo $r$ kupcev na minuto in vsak ostane v trgovini povprečno $T$ minut, je podano povprečno število kupcev v trgovini, $N$, kadar koli po formuli $N=rT$. To razmerje je znano kot Littleov zakon.

Lastnik Good Deals Store ocenjuje, da med delovnim časom v trgovino vstopijo povprečno 3 kupci na minuto in da se vsak od njih zadrži povprečno 15 minut. Lastnik trgovine uporabi Littleov zakon, da oceni, da je v trgovini kadar koli 45 kupcev.

8. vprašanje

Littleov zakon je mogoče uporabiti za kateri koli del trgovine, kot je določen oddelek ali blagajna. Lastnik trgovine ugotavlja, da med delovnim časom opravi nakup približno 84 kupcev na uro in vsak od teh kupcev v blagajni preživi povprečno 5 minut. Približno koliko kupcev v povprečju kadar koli med delovnim časom čaka v vrsti na blagajni, da opravijo nakup v trgovini Good Deals Store?

RAZLAGA ODGOVORA: Ker vprašanje navaja, da je Littleov zakon mogoče uporabiti za kateri koli posamezen del trgovine (na primer samo za blagajno), potem je povprečno število kupcev, $N$, v blagajni v katerem koli trenutku $N = rT $, kjer je $r$ število kupcev, ki vstopijo v blagajniško vrsto na minuto, $T$ pa je povprečno število minut, ki jih vsak kupec preživi v blagajniški vrsti.

Ker 84 kupcev na uro opravi nakup, 84 kupcev na uro vstopi v blagajno. Vendar je treba to pretvoriti v število nakupovalcev na minuto (da se lahko uporabi z $T = 5$). Ker je v eni uri 60 minut, je cena ${84 kupovalcev a uro}/{60 minut} = 1,4$ nakupovalcev na minuto. Če uporabimo dano formulo z $r = 1,4$ in $T = 5$ dobimo

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Zato je povprečno število kupcev, $N$, v vrsti na blagajni kadar koli med delovnim časom 7.

Končni odgovor je 7.

vprašanje 9

Lastnik trgovine Good Deals Store odpre novo trgovino v mestu. Za novo trgovino lastnik ocenjuje, da bo v delovnem času povprečno 90 kupcev naurovstopijo v trgovino in vsak ostane povprečno 12 minut. Koliko odstotkov je povprečno število kupcev v novi trgovini kadar koli manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini? (Opomba: pri vnosu odgovora ne upoštevajte simbola za odstotek. Na primer, če je odgovor 42,1 %, vnesite 42,1)

RAZLAGA ODGOVORA: Glede na podane prvotne informacije je ocenjeno povprečno število kupcev v prvotni trgovini kadar koli (N) 45. V vprašanju je navedeno, da je v novi trgovini upravitelj ocenil povprečno 90 kupcev na uro. (60 minut) vstopite v trgovino, kar je enako 1,5 kupca na minuto (r). Vodja tudi ocenjuje, da se vsak kupec v trgovini v povprečju zadrži 12 minut (T). Tako je po Littleovem zakonu povprečno $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupcev v novi trgovini kadar koli. To je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

odstotkov manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini kadar koli.

Končni odgovor je 60.

vprašanje 10

V $xy$-ravnini leži točka $(p,r)$ na premici z enačbo $y=x+b$, kjer je $b$ konstanta. Točka s koordinatami $(2p, 5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$. Če je $p≠0$, kakšna je vrednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

RAZLAGA ODGOVORA: Ker točka $(p,r)$ leži na premici z enačbo $y=x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $p$ z $x$ in $r$ z $y$ v enačbi $y=x+b$ dobi $r=p+b$ ali $i b$ = $i r-i p $.

Podobno, ker točka $(2p,5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $2p$ z $x$ in $5r$ z $y$ v enačbi $y=2x+b$ dobi:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Nato lahko enačbi, ki sta enaki $b$, določimo med seboj enake in poenostavimo:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Končno, da bi našli $r/p$, moramo obe strani enačbe deliti z $p$ in s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Pravilen odgovor je B , 3/4 $.

Če ste izbrali možnosti A in D, ste morda napačno oblikovali odgovor iz koeficientov v točki $(2p, 5r)$. Če ste izbrali možnost C, ste morda zamenjali $r$ in $p$.

Upoštevajte, da čeprav je to v razdelku za kalkulator SAT, za reševanje tega nikakor ne potrebujete svojega kalkulatorja!

vprašanje 11

Žitni silos je zgrajen iz dveh desnih krožnih stožcev in desnega krožnega valja z notranjimi merami, ki jih predstavlja zgornja slika. Kaj od naslednjega je najbližje prostornini silosa za žito v kubičnih čevljih?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RAZLAGA ODGOVORA: Prostornino žitnega silosa lahko ugotovimo tako, da seštejemo prostornine vseh trdnih snovi, iz katerih je sestavljen (valj in dva stožca). Silos je sestavljen iz valja (z višino 10 čevljev in polmerom baze 5 čevljev) in dveh stožcev (vsak ima višino 5 ft in polmer osnove 5 ft). Formule, podane na začetku razdelka SAT Math:

Prostornina stožca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Prostornina valja

$$V=πr^2h$$

se lahko uporablja za določitev celotne prostornine silosa. Ker imata oba stožca enake dimenzije, je skupna prostornina silosa v kubičnih čevljih podana z

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

kar je približno enako 1.047,2 kubičnih čevljev.

Končni odgovor je D.

vprašanje 12

Če je $x$ povprečje (aritmetična sredina) $m$ in $9$, $y$ povprečje $2m$ in $15$ in $z$ povprečje $3m$ in $18$, koliko je povprečje $x$, $y$ in $z$ glede na $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 mio $ + 14 $
D) 3 milijone $ + 21 $

RAZLAGA ODGOVORA: Ker je povprečje (aritmetična sredina) dveh števil enaka vsoti obeh števil, deljeni z 2, veljajo enačbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$so resnični. Povprečje $x$, $y$ in $z$ je podano z ${x + y + z}/{3}$. Če nadomestimo izraze v m za vsako spremenljivko ($x$, $y$, $z$), dobimo

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ta ulomek je mogoče poenostaviti na $m + 7$.

Končni odgovor je B.

vprašanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je grafično prikazana v zgornji ravnini $xy$. Če je $k$ konstanta, tako da ima enačba $f(x)=k$ tri realne rešitve, katera od naslednjih bi lahko bila vrednost $k$?

RAZLAGA ODGOVORA: Enačba $f(x) = k$ daje rešitve sistema enačb

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

in

$$y = k$$

Realna rešitev sistema dveh enačb ustreza točki presečišča grafov obeh enačb v $xy$-ravnini.

Graf $y = k$ je vodoravna premica, ki vsebuje točko $(0, k)$ in trikrat seka graf kubične enačbe (ker ima tri realne rešitve). Glede na graf je edina vodoravna premica, ki bi trikrat sekala kubično enačbo, premica z enačbo $y = −3$ ali $f(x) = −3$. Zato je $k$ $-3$.

Končni odgovor je D.

14. vprašanje

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamični tlak $q$, ki ga ustvari tekočina, ki se giblje s hitrostjo $v$, je mogoče najti z uporabo zgornje formule, kjer je $n$ konstantna gostota tekočine. Letalski inženir uporabi formulo za iskanje dinamičnega tlaka tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v$, in iste tekočine, ki se giblje s hitrostjo 1,5$v$. Kakšno je razmerje med dinamičnim tlakom hitrejše tekočine in dinamičnim tlakom počasnejše tekočine?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate nastaviti enačbe s spremenljivkami. Naj bo $q_1$ dinamični tlak počasnejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_1$, $q_2$ pa naj bo dinamični tlak hitrejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_2$. Potem

$$v_2 =1,5v_1$$

Če podamo enačbo $q = {1}/{2}nv^2$, dobimo z zamenjavo dinamičnega tlaka in hitrosti hitrejše tekočine $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ker je $v_2 =1,5v_1$, lahko izraz $1,5v_1$ nadomestimo z $v_2$ v tej enačbi, kar daje $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. S kvadriranjem $1,5$ lahko prejšnjo enačbo prepišete kot

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Zato je razmerje dinamičnega tlaka hitrejše tekočine

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Končni odgovor je 2,25 ali 9/4.

15. vprašanje

Za polinom $p(x)$ je vrednost $p(3)$ $-2$. Kaj od naslednjega mora veljati za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Ostanek, ko $p(x)$ delimo z $x-3$, je $-2$.

RAZLAGA ODGOVORA: Če polinom $p(x)$ delimo s polinomom oblike $x+k$ (ki upošteva vse možne izbire odgovorov v tem vprašanju), lahko rezultat zapišemo kot

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kjer je $q(x)$ polinom in $r$ ostanek. Ker je $x + k$ polinom stopnje 1 (kar pomeni, da vključuje samo $x^1$ in ne višjih eksponentov), ​​je ostanek realno število.

Zato lahko $p(x)$ prepišemo kot $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kjer je $r$ realno število.

Vprašanje navaja, da je $p(3) = -2$, torej to mora biti res

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Zdaj lahko vključimo vse možne odgovore. Če je odgovor A, B ali C, bo $r$ $0$, če je odgovor D, pa bo $r$ $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To bo vedno bodi resničen ne glede na to, kaj je $q(3)$.

Od izbir odgovorov edini, ki mora res glede $p(x)$ je D, da je ostanek, ko je $p(x)$ deljen z $x-3$ enak -2.

Končni odgovor je D.

Zaslužiš si ves spanec, potem ko prebereš ta vprašanja.

Kaj imajo skupnega najtežja matematična vprašanja SAT?

Pomembno je razumeti, zakaj so ta težka vprašanja 'težka'. S tem boste lahko razumeli in rešili podobna vprašanja, ko jih boste videli na dan izpita, ter imeli boljšo strategijo za prepoznavanje in popravljanje prejšnjih napak pri matematiki SAT.

V tem razdelku si bomo ogledali, kaj imajo ta vprašanja skupnega, in navedli primere vsake vrste. Nekaj ​​razlogov, zakaj so najtežja matematična vprašanja najtežja matematična vprašanja, je, ker:

#1: Preizkusite več matematičnih konceptov hkrati

Tukaj se moramo ukvarjati z namišljenimi števili in ulomki naenkrat.

Skrivnost uspeha: Pomislite, katero uporabno matematiko bi lahko uporabili za rešitev težave, delajte korak za korakom in poskusite vsako tehniko, dokler ne najdete tiste, ki deluje!

#2: Vključite veliko korakov

Ne pozabite: več korakov kot morate narediti, lažje boste nekje na poti zamočili!

To težavo moramo rešiti v korakih (z več povprečji), da odklenemo preostale odgovore z učinkom domin. To lahko postane zmedeno, še posebej, če ste pod stresom ali če vam zmanjkuje časa.

Skrivnost uspeha: Počasi, pojdi korak za korakom in še enkrat preveri svoje delo, da ne boš delal napak!

#3: Preizkusni koncepti, ki jih slabo poznate

Mnogi učenci so na primer manj seznanjeni s funkcijami kot z ulomki in odstotki, zato večina funkcijskih vprašanj velja za 'visoko težavne' probleme.

Če ne poznate funkcij, bi bila to težavna težava.

Skrivnost uspeha: Preglejte matematične koncepte, ki jih ne poznate toliko, kot so funkcije. Predlagamo, da uporabite naše odlične brezplačne vodnike za pregled SAT Math.

#4: so ubesedeni na nenavaden ali zapleten način

Težko je natančno ugotoviti, kaj so nekatera vprašanja spraševanje , še manj pa ugotoviti, kako jih rešiti. To še posebej velja, ko je vprašanje na koncu razdelka in vam zmanjkuje časa.

Ker to vprašanje ponuja toliko informacij brez diagrama, ga je težko razvozlati v omejenem dovoljenem času.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in narišite diagram, če vam je v pomoč.

#5: Uporabite veliko različnih spremenljivk

S toliko različnimi spremenljivkami v igri se je zelo enostavno zmešati.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in razmislite, ali je dodajanje številk dobra strategija za rešitev težave (ne bi veljala za zgornje vprašanje, bi pa bila za številna druga vprašanja o spremenljivki SAT).

Take-Aways

SAT je maraton in bolje kot ste nanj pripravljeni, bolje se boste počutili na dan izpita. Če boste vedeli, kako se soočiti z najtežjimi vprašanji, ki vam jih lahko postavi test, bo opravljanje pravega testa SAT veliko manj zastrašujoče.

Če se vam zdijo ta vprašanja lahka, ne podcenjujte vpliva adrenalina in utrujenosti na vašo sposobnost reševanja težav. Ko nadaljujete s študijem, se vedno držite pravilnih časovnih smernic in poskušajte opraviti celotne teste, kadar koli je to mogoče. To je najboljši način za poustvarjanje dejanskega preskusnega okolja, da se lahko pripravite na pravi posel.

Če se vam zdijo ta vprašanja zahtevna, okrepite svoje znanje matematike tako, da si ogledate naše vodnike po posameznih temah iz matematike za SAT. Tam boste videli podrobnejše razlage zadevnih tem in podrobnejše razčlenitve odgovorov.

Kaj je naslednje?

Se vam zdi, da so ta vprašanja težja, kot ste pričakovali? Oglejte si vse teme, obravnavane v razdelku SAT matematika, in nato zabeležite, kateri razdelki so bili za vas še posebej težavni. Nato si oglejte naše posamezne matematične vodnike, ki vam bodo pomagali podpreti katero koli od teh šibkih področij.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Naš vodnik vam bo pomagal premagati čas in povečati svoj rezultat.

Ciljate na popoln rezultat? Preveri naš vodnik o tem, kako doseči popolnih 800 na oddelku za matematiko SAT , ki ga je napisal popoln strelec.

Končni odgovor je /6$,

Se želite preizkusiti v najtežjih matematičnih vprašanjih SAT? Želite vedeti, zakaj so ta vprašanja tako težka in kako jih najbolje rešiti? Če ste pripravljeni zares zariti zobe v del matematike SAT in se usmeriti v popoln rezultat, potem je to vodnik za vas.

Sestavili smo tisto, za kar verjamemo, da je 15 najtežjih vprašanj za trenutni SAT , s strategijami in razlagami odgovorov za vsako. To so vsa težka vprašanja SAT Math iz praktičnih testov SAT College Board, kar pomeni, da je njihovo razumevanje eden najboljših načinov učenja za tiste, ki stremite k popolnosti.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratek pregled SAT Math

Tretji in četrti del SAT bo vedno del matematike . Prvi matematični podrazdelek (z oznako '3') počne ne vam omogočajo uporabo kalkulatorja, medtem ko drugi podrazdelek matematike (označen kot '4') počne omogočite uporabo kalkulatorja. Ne skrbite preveč glede razdelka brez kalkulatorja: če vam pri vprašanju ni dovoljeno uporabljati kalkulatorja, to pomeni, da za odgovor nanj ne potrebujete kalkulatorja.

Vsak matematični pododdelek je urejen po naraščajoči težavnosti (kjer dlje kot je potrebno za rešitev problema in manj ljudi, ki nanj pravilno odgovori, težji je). V vsakem pododdelku bo 1. vprašanje 'lahko', 15. vprašanje pa 'težko'. Vendar se naraščajoča težavnost ponastavi iz lahke v težjo na mrežah.

Zato so vprašanja z več izbirami razporejena v naraščajoči težavnosti (vprašanji 1 in 2 bosta najlažji, vprašanji 14 in 15 bosta najtežji), vendar se stopnja težavnosti ponastavi za razdelek v mreži (kar pomeni, da bosta vprašanji 16 in 17 spet 'lahko', vprašanji 19 in 20 pa bosta zelo težki).

Z zelo redkimi izjemami torej najtežje matematične težave SAT bodo združene na koncu segmentov z več možnimi odgovori ali na drugi polovici vprašanj v mreži. Vendar imajo ta vprašanja poleg njihove umestitve na testu tudi nekaj drugih skupnih točk. Čez minuto si bomo ogledali primere vprašanj in kako jih rešiti, nato pa jih bomo analizirali, da bomo ugotovili, kaj imajo te vrste vprašanj skupnega.

Toda najprej: ali bi se morali prav zdaj osredotočiti na najtežja matematična vprašanja?

Če ste šele začeli s pripravami na študij (ali če ste preprosto preskočili ta prvi, ključni korak), se zagotovo ustavite in opravite celoten vadbeni test, da ocenite svojo trenutno raven točkovanja. Oglejte si naš vodnik po vsi brezplačni preizkusi znanja SAT, ki so na voljo na spletu nato pa se usedite in naenkrat opravite test.

Absolutno najboljši način za oceno vaše trenutne ravni je, da preprosto opravite izpit SAT, kot da bi bil resničen, pri čemer se držite strogega časovnega razporeda in delate naravnost z dovoljenimi odmori (vemo – verjetno ni vaš najljubši način preživljanja sobote). Ko dobite dobro predstavo o svoji trenutni ravni in razvrstitvi v percentilu, lahko določite mejnike in cilje za vaš končni rezultat SAT Math.

Če trenutno dosegate rezultate v razponu 200–400 ali 400–600 pri SAT Math, je najbolje, da si najprej ogledate naš vodnik za izboljšanje svojega rezultata pri matematiki. dosledno imeti 600 ali več, preden začnete poskušati reševati najtežje matematične naloge na testu.

Če pa že dosegate več kot 600 v razdelku za matematiko in želite preizkusiti svoje sposobnosti za pravi SAT, potem vsekakor nadaljujte s preostalim delom tega vodnika. Če ciljate na popolno (ali blizu) , potem boste morali vedeti, kako so videti najtežje naloge pri matematiki SAT in kako jih rešiti. In na srečo bomo storili točno to.

OPOZORILO: Ker jih je omejeno število uradne praktične preizkuse SAT , boste morda želeli počakati z branjem tega članka, dokler ne poskusite opraviti vseh ali večine prvih štirih uradnih praktičnih testov (ker je bila večina spodnjih vprašanj vzetih iz teh testov). Če vas skrbi, da bi pokvarili te teste, zdaj nehajte brati ta vodnik; vrni se in jih preberi, ko jih dokončaš.

Zdaj pa pojdimo na seznam vprašanj (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežjih matematičnih vprašanj SAT

Zdaj, ko ste prepričani, da bi morali poskusiti odgovoriti na ta vprašanja, se poglobimo takoj! Spodaj smo zbrali 15 najtežjih vprašanj SAT Math, ki jih lahko preizkusite, skupaj z navodili, kako do odgovora (če ste obupani).

Brez kalkulatorja SAT Math Questions

Vprašanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Zgornja enačba prikazuje, kako je temperatura $F$, merjena v stopinjah Fahrenheita, povezana s temperaturo $C$, merjeno v stopinjah Celzija. Na podlagi enačbe, kaj od naslednjega mora biti res?

1. Povišanje temperature za 1 stopinjo Fahrenheita je enakovredno povišanju temperature za 5/9 stopinj Celzija.
2. Povišanje temperature za 1 stopinjo Celzija je enakovredno povišanju temperature za 1,8 stopinje Fahrenheita.
3. Povišanje temperature za $5/9$ stopinj Fahrenheita je enakovredno zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija.

A) Samo jaz
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I in II

RAZLAGA ODGOVORA: Enačbo si predstavljajte kot enačbo za črto

$$y=mx+b$$

kje v tem primeru

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

oz

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Vidite lahko, da je naklon grafa ${5}/{9}$, kar pomeni, da je pri povečanju za 1 stopinjo Fahrenheita povečanje ${5}/{9}$ za 1 stopinjo Celzija.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Trditev I torej drži. To je enako, kot če bi rekli, da je povečanje za 1 stopinjo Celzija enako povečanju za ${9}/{5}$ stopinj Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ker je ${9}/{5}$ = 1,8, velja izjava II.

Edini odgovor, pri katerem sta trditvi I in trditvi II resnični, je D , če pa imate čas in želite biti popolnoma temeljiti, lahko tudi preverite, ali je trditev III (zvišanje ${5}/{9}$ stopinje Fahrenheita enako zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija) resnična :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (kar je ≠ 1)$$

Zvišanje za $5/9$ stopinj Fahrenheita povzroči zvišanje za ${25}/{81}$, ne pa za 1 stopinjo Celzija, zato izjava III ne drži.

Končni odgovor je D.

2. vprašanje

Enačba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$velja za vse vrednosti $x≠2/a$, kjer je $a$ konstanta.

Kakšna je vrednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RAZLAGA ODGOVORA: Obstajata dva načina za rešitev tega vprašanja. Hitrejši način je, da vsako stran dane enačbe pomnožite z $ax-2$ (da se lahko znebite ulomka). Ko vsako stran pomnožite z $ax-2$, bi morali imeti:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Nato bi morali pomnožiti $(-8x-3)$ in $(ax-2)$ z uporabo FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Nato zmanjšajte na desni strani enačbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ker morajo biti koeficienti $x^2$-člena enaki na obeh straneh enačbe, je $−8a = 24$ ali $a = −3$.

Druga možnost, ki je daljša in bolj dolgočasna, je, da poskusite vključiti vse izbire odgovorov za a in vidite, kateri odgovor naredi obe strani enačbe enaki. Še enkrat, to je daljša možnost in je ne priporočam za dejanski SAT, saj bo izgubil preveč časa.

Končni odgovor je B.

3. vprašanje

Če je $3x-y = 12$, kakšna je vrednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrednosti ni mogoče določiti iz navedenih informacij.

RAZLAGA ODGOVORA: Eden od pristopov je izražanje

$${8^x}/{2^y}$$

tako da sta števec in imenovalec izražena z isto osnovo. Ker sta 2 in 8 obe potenci števila 2, dobimo z zamenjavo $2^3$ z 8 v števcu ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ki jih je mogoče prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Ker imata števec in imenovalec skupno osnovo, lahko ta izraz prepišemo kot $2^(3x−y)$. V vprašanju piše, da je $3x − y = 12$, zato lahko eksponent $3x − y$ nadomestimo z 12, kar pomeni, da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Končni odgovor je A.

4. vprašanje

Točki A in B ležita na krožnici s polmerom 1, lok ${AB}↖⌢$ pa ima dolžino $π/3$. Kolikšen del obsega kroga predstavlja dolžina loka ${AB}↖⌢$?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite izvedeti odgovor na to vprašanje, morate najprej poznati formulo za iskanje obsega kroga.

Obseg, $C$, kroga je $C = 2πr$, kjer je $r$ polmer kroga. Za dani krog s polmerom 1 je obseg $C = 2(π)(1)$ ali $C = 2π$.

Če želite ugotoviti, kolikšen del obsega je dolžina ${AB}↖⌢$, delite dolžino loka z obsegom, kar daje $π/3 ÷ 2π$. To delitev lahko predstavimo z $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ulomek $1/6$ lahko prepišemo tudi kot $0,166$ ali $0,167$.

Končni odgovor je $1/6$, $0,166$ ali $0,167$.

5. vprašanje

$${8-i}/{3-2i}$$

Če zgornji izraz prepišemo v obliki $a+bi$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili, kakšna je vrednost $a$? (Opomba: $i=√{-1}$)

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite prepisati ${8-i}/{3-2i}$ v standardni obliki $a + bi$, morate števec in imenovalec ${8-i}/{3-2i}$ pomnožiti s konjugatom , 3 $ + 2 i $. To je enako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ker je $i^2=-1$, lahko ta zadnji ulomek poenostavljeno skrajšamo na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

kar še poenostavi na $2 + i$. Ko torej ${8-i}/{3-2i}$ prepišemo v standardni obliki a + bi, je vrednost a 2.

Končni odgovor je A.

6. vprašanje

V trikotniku $ABC$ je mera $∠B$ 90°, $BC=16$ in $AC$=20. Trikotnik $DEF$ je podoben trikotniku $ABC$, kjer oglišča $D$, $E$ in $F$ ustrezajo ogliščem $A$, $B$ in $C$ oziroma vsaki strani trikotnika $ DEF$ je $1/3$ dolžine ustrezne stranice trikotnika $ABC$. Kakšna je vrednost $sinF$?

RAZLAGA ODGOVORA: Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom v B. Zato je $ov {AC}$ hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC, $ov {AB}$ in $ov {BC}$ pa sta kraka pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku je

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ker je trikotnik DEF podoben trikotniku ABC, pri čemer oglišče F ustreza oglišču C, je mera $angle ∠ {F}$ enaka meri $angle ∠ {C}$. Zato je $sin F = sin C$. Iz dolžin stranic trikotnika ABC,

$$sinF ={ asproti side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zato je $sinF ={3}/{5}$.

Končni odgovor je ${3}/{5}$ ali 0,6.

Vprašanja za SAT matematiko, dovoljena za kalkulator

7. vprašanje

Nepopolna zgornja tabela povzema število levičarjev in desničarjev po spolu za učence osmega razreda srednje šole Keisel. Desničark je 5-krat več kot levičark, desničarjev pa 9-krat več kot levičarjev. če je na šoli skupno 18 levičarjev in 122 desničarjev, kaj od naslednjega je najbližje verjetnosti, da je naključno izbrana desničarka ženska? (Opomba: predpostavimo, da nobeden od učencev osmega razreda ni hkrati desničar in levičar.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate ustvariti dve enačbi z dvema spremenljivkama ($x$ in $y$) in informacijami, ki ste jih dobili. Naj bo $x$ število levičarskih študentk in $y$ število levičarskih študentov. Z uporabo informacij, navedenih v problemu, bo število desničarskih študentk $5x$, število desničarjev pa $9y$. Ker je skupno število levičarjev 18 in skupno število desničarjev 122, mora spodnji sistem enačb veljati:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Ko rešite ta sistem enačb, dobite $x = 10$ in $y = 8$. Tako je 5*10 ali 50 od 122 desničarjev žensk. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana desničarka ženska, ${50}/{122}$, kar je na najbližjo tisočinko 0,410.

Končni odgovor je A.

Vprašanji 8 in 9

Uporabite naslednje informacije za vprašanje 7 in vprašanje 8.

Če kupci vstopajo v trgovino s povprečno hitrostjo $r$ kupcev na minuto in vsak ostane v trgovini povprečno $T$ minut, je podano povprečno število kupcev v trgovini, $N$, kadar koli po formuli $N=rT$. To razmerje je znano kot Littleov zakon.

Lastnik Good Deals Store ocenjuje, da med delovnim časom v trgovino vstopijo povprečno 3 kupci na minuto in da se vsak od njih zadrži povprečno 15 minut. Lastnik trgovine uporabi Littleov zakon, da oceni, da je v trgovini kadar koli 45 kupcev.

8. vprašanje

Littleov zakon je mogoče uporabiti za kateri koli del trgovine, kot je določen oddelek ali blagajna. Lastnik trgovine ugotavlja, da med delovnim časom opravi nakup približno 84 kupcev na uro in vsak od teh kupcev v blagajni preživi povprečno 5 minut. Približno koliko kupcev v povprečju kadar koli med delovnim časom čaka v vrsti na blagajni, da opravijo nakup v trgovini Good Deals Store?

RAZLAGA ODGOVORA: Ker vprašanje navaja, da je Littleov zakon mogoče uporabiti za kateri koli posamezen del trgovine (na primer samo za blagajno), potem je povprečno število kupcev, $N$, v blagajni v katerem koli trenutku $N = rT $, kjer je $r$ število kupcev, ki vstopijo v blagajniško vrsto na minuto, $T$ pa je povprečno število minut, ki jih vsak kupec preživi v blagajniški vrsti.

Ker 84 kupcev na uro opravi nakup, 84 kupcev na uro vstopi v blagajno. Vendar je treba to pretvoriti v število nakupovalcev na minuto (da se lahko uporabi z $T = 5$). Ker je v eni uri 60 minut, je cena ${84 kupovalcev a uro}/{60 minut} = 1,4$ nakupovalcev na minuto. Če uporabimo dano formulo z $r = 1,4$ in $T = 5$ dobimo

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Zato je povprečno število kupcev, $N$, v vrsti na blagajni kadar koli med delovnim časom 7.

Končni odgovor je 7.

vprašanje 9

Lastnik trgovine Good Deals Store odpre novo trgovino v mestu. Za novo trgovino lastnik ocenjuje, da bo v delovnem času povprečno 90 kupcev naurovstopijo v trgovino in vsak ostane povprečno 12 minut. Koliko odstotkov je povprečno število kupcev v novi trgovini kadar koli manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini? (Opomba: pri vnosu odgovora ne upoštevajte simbola za odstotek. Na primer, če je odgovor 42,1 %, vnesite 42,1)

RAZLAGA ODGOVORA: Glede na podane prvotne informacije je ocenjeno povprečno število kupcev v prvotni trgovini kadar koli (N) 45. V vprašanju je navedeno, da je v novi trgovini upravitelj ocenil povprečno 90 kupcev na uro. (60 minut) vstopite v trgovino, kar je enako 1,5 kupca na minuto (r). Vodja tudi ocenjuje, da se vsak kupec v trgovini v povprečju zadrži 12 minut (T). Tako je po Littleovem zakonu povprečno $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupcev v novi trgovini kadar koli. To je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

odstotkov manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini kadar koli.

Končni odgovor je 60.

vprašanje 10

V $xy$-ravnini leži točka $(p,r)$ na premici z enačbo $y=x+b$, kjer je $b$ konstanta. Točka s koordinatami $(2p, 5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$. Če je $p≠0$, kakšna je vrednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

RAZLAGA ODGOVORA: Ker točka $(p,r)$ leži na premici z enačbo $y=x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $p$ z $x$ in $r$ z $y$ v enačbi $y=x+b$ dobi $r=p+b$ ali $i b$ = $i r-i p $.

Podobno, ker točka $(2p,5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $2p$ z $x$ in $5r$ z $y$ v enačbi $y=2x+b$ dobi:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Nato lahko enačbi, ki sta enaki $b$, določimo med seboj enake in poenostavimo:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Končno, da bi našli $r/p$, moramo obe strani enačbe deliti z $p$ in s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Pravilen odgovor je B , 3/4 $.

Če ste izbrali možnosti A in D, ste morda napačno oblikovali odgovor iz koeficientov v točki $(2p, 5r)$. Če ste izbrali možnost C, ste morda zamenjali $r$ in $p$.

Upoštevajte, da čeprav je to v razdelku za kalkulator SAT, za reševanje tega nikakor ne potrebujete svojega kalkulatorja!

vprašanje 11

Žitni silos je zgrajen iz dveh desnih krožnih stožcev in desnega krožnega valja z notranjimi merami, ki jih predstavlja zgornja slika. Kaj od naslednjega je najbližje prostornini silosa za žito v kubičnih čevljih?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RAZLAGA ODGOVORA: Prostornino žitnega silosa lahko ugotovimo tako, da seštejemo prostornine vseh trdnih snovi, iz katerih je sestavljen (valj in dva stožca). Silos je sestavljen iz valja (z višino 10 čevljev in polmerom baze 5 čevljev) in dveh stožcev (vsak ima višino 5 ft in polmer osnove 5 ft). Formule, podane na začetku razdelka SAT Math:

Prostornina stožca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Prostornina valja

$$V=πr^2h$$

se lahko uporablja za določitev celotne prostornine silosa. Ker imata oba stožca enake dimenzije, je skupna prostornina silosa v kubičnih čevljih podana z

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

kar je približno enako 1.047,2 kubičnih čevljev.

Končni odgovor je D.

vprašanje 12

Če je $x$ povprečje (aritmetična sredina) $m$ in $9$, $y$ povprečje $2m$ in $15$ in $z$ povprečje $3m$ in $18$, koliko je povprečje $x$, $y$ in $z$ glede na $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 mio $ + 14 $
D) 3 milijone $ + 21 $

RAZLAGA ODGOVORA: Ker je povprečje (aritmetična sredina) dveh števil enaka vsoti obeh števil, deljeni z 2, veljajo enačbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$so resnični. Povprečje $x$, $y$ in $z$ je podano z ${x + y + z}/{3}$. Če nadomestimo izraze v m za vsako spremenljivko ($x$, $y$, $z$), dobimo

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ta ulomek je mogoče poenostaviti na $m + 7$.

Končni odgovor je B.

vprašanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je grafično prikazana v zgornji ravnini $xy$. Če je $k$ konstanta, tako da ima enačba $f(x)=k$ tri realne rešitve, katera od naslednjih bi lahko bila vrednost $k$?

RAZLAGA ODGOVORA: Enačba $f(x) = k$ daje rešitve sistema enačb

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

in

$$y = k$$

Realna rešitev sistema dveh enačb ustreza točki presečišča grafov obeh enačb v $xy$-ravnini.

Graf $y = k$ je vodoravna premica, ki vsebuje točko $(0, k)$ in trikrat seka graf kubične enačbe (ker ima tri realne rešitve). Glede na graf je edina vodoravna premica, ki bi trikrat sekala kubično enačbo, premica z enačbo $y = −3$ ali $f(x) = −3$. Zato je $k$ $-3$.

Končni odgovor je D.

14. vprašanje

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamični tlak $q$, ki ga ustvari tekočina, ki se giblje s hitrostjo $v$, je mogoče najti z uporabo zgornje formule, kjer je $n$ konstantna gostota tekočine. Letalski inženir uporabi formulo za iskanje dinamičnega tlaka tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v$, in iste tekočine, ki se giblje s hitrostjo 1,5$v$. Kakšno je razmerje med dinamičnim tlakom hitrejše tekočine in dinamičnim tlakom počasnejše tekočine?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate nastaviti enačbe s spremenljivkami. Naj bo $q_1$ dinamični tlak počasnejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_1$, $q_2$ pa naj bo dinamični tlak hitrejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_2$. Potem

$$v_2 =1,5v_1$$

Če podamo enačbo $q = {1}/{2}nv^2$, dobimo z zamenjavo dinamičnega tlaka in hitrosti hitrejše tekočine $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ker je $v_2 =1,5v_1$, lahko izraz $1,5v_1$ nadomestimo z $v_2$ v tej enačbi, kar daje $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. S kvadriranjem $1,5$ lahko prejšnjo enačbo prepišete kot

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Zato je razmerje dinamičnega tlaka hitrejše tekočine

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Končni odgovor je 2,25 ali 9/4.

15. vprašanje

Za polinom $p(x)$ je vrednost $p(3)$ $-2$. Kaj od naslednjega mora veljati za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Ostanek, ko $p(x)$ delimo z $x-3$, je $-2$.

RAZLAGA ODGOVORA: Če polinom $p(x)$ delimo s polinomom oblike $x+k$ (ki upošteva vse možne izbire odgovorov v tem vprašanju), lahko rezultat zapišemo kot

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kjer je $q(x)$ polinom in $r$ ostanek. Ker je $x + k$ polinom stopnje 1 (kar pomeni, da vključuje samo $x^1$ in ne višjih eksponentov), ​​je ostanek realno število.

Zato lahko $p(x)$ prepišemo kot $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kjer je $r$ realno število.

Vprašanje navaja, da je $p(3) = -2$, torej to mora biti res

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Zdaj lahko vključimo vse možne odgovore. Če je odgovor A, B ali C, bo $r$ $0$, če je odgovor D, pa bo $r$ $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To bo vedno bodi resničen ne glede na to, kaj je $q(3)$.

Od izbir odgovorov edini, ki mora res glede $p(x)$ je D, da je ostanek, ko je $p(x)$ deljen z $x-3$ enak -2.

Končni odgovor je D.

Zaslužiš si ves spanec, potem ko prebereš ta vprašanja.

Kaj imajo skupnega najtežja matematična vprašanja SAT?

Pomembno je razumeti, zakaj so ta težka vprašanja 'težka'. S tem boste lahko razumeli in rešili podobna vprašanja, ko jih boste videli na dan izpita, ter imeli boljšo strategijo za prepoznavanje in popravljanje prejšnjih napak pri matematiki SAT.

V tem razdelku si bomo ogledali, kaj imajo ta vprašanja skupnega, in navedli primere vsake vrste. Nekaj ​​razlogov, zakaj so najtežja matematična vprašanja najtežja matematična vprašanja, je, ker:

#1: Preizkusite več matematičnih konceptov hkrati

Tukaj se moramo ukvarjati z namišljenimi števili in ulomki naenkrat.

Skrivnost uspeha: Pomislite, katero uporabno matematiko bi lahko uporabili za rešitev težave, delajte korak za korakom in poskusite vsako tehniko, dokler ne najdete tiste, ki deluje!

#2: Vključite veliko korakov

Ne pozabite: več korakov kot morate narediti, lažje boste nekje na poti zamočili!

To težavo moramo rešiti v korakih (z več povprečji), da odklenemo preostale odgovore z učinkom domin. To lahko postane zmedeno, še posebej, če ste pod stresom ali če vam zmanjkuje časa.

Skrivnost uspeha: Počasi, pojdi korak za korakom in še enkrat preveri svoje delo, da ne boš delal napak!

#3: Preizkusni koncepti, ki jih slabo poznate

Mnogi učenci so na primer manj seznanjeni s funkcijami kot z ulomki in odstotki, zato večina funkcijskih vprašanj velja za 'visoko težavne' probleme.

Če ne poznate funkcij, bi bila to težavna težava.

Skrivnost uspeha: Preglejte matematične koncepte, ki jih ne poznate toliko, kot so funkcije. Predlagamo, da uporabite naše odlične brezplačne vodnike za pregled SAT Math.

#4: so ubesedeni na nenavaden ali zapleten način

Težko je natančno ugotoviti, kaj so nekatera vprašanja spraševanje , še manj pa ugotoviti, kako jih rešiti. To še posebej velja, ko je vprašanje na koncu razdelka in vam zmanjkuje časa.

Ker to vprašanje ponuja toliko informacij brez diagrama, ga je težko razvozlati v omejenem dovoljenem času.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in narišite diagram, če vam je v pomoč.

#5: Uporabite veliko različnih spremenljivk

S toliko različnimi spremenljivkami v igri se je zelo enostavno zmešati.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in razmislite, ali je dodajanje številk dobra strategija za rešitev težave (ne bi veljala za zgornje vprašanje, bi pa bila za številna druga vprašanja o spremenljivki SAT).

Take-Aways

SAT je maraton in bolje kot ste nanj pripravljeni, bolje se boste počutili na dan izpita. Če boste vedeli, kako se soočiti z najtežjimi vprašanji, ki vam jih lahko postavi test, bo opravljanje pravega testa SAT veliko manj zastrašujoče.

Če se vam zdijo ta vprašanja lahka, ne podcenjujte vpliva adrenalina in utrujenosti na vašo sposobnost reševanja težav. Ko nadaljujete s študijem, se vedno držite pravilnih časovnih smernic in poskušajte opraviti celotne teste, kadar koli je to mogoče. To je najboljši način za poustvarjanje dejanskega preskusnega okolja, da se lahko pripravite na pravi posel.

Če se vam zdijo ta vprašanja zahtevna, okrepite svoje znanje matematike tako, da si ogledate naše vodnike po posameznih temah iz matematike za SAT. Tam boste videli podrobnejše razlage zadevnih tem in podrobnejše razčlenitve odgovorov.

Kaj je naslednje?

Se vam zdi, da so ta vprašanja težja, kot ste pričakovali? Oglejte si vse teme, obravnavane v razdelku SAT matematika, in nato zabeležite, kateri razdelki so bili za vas še posebej težavni. Nato si oglejte naše posamezne matematične vodnike, ki vam bodo pomagali podpreti katero koli od teh šibkih področij.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Naš vodnik vam bo pomagal premagati čas in povečati svoj rezultat.

Ciljate na popoln rezultat? Preveri naš vodnik o tem, kako doseči popolnih 800 na oddelku za matematiko SAT , ki ga je napisal popoln strelec.

Se želite preizkusiti v najtežjih matematičnih vprašanjih SAT? Želite vedeti, zakaj so ta vprašanja tako težka in kako jih najbolje rešiti? Če ste pripravljeni zares zariti zobe v del matematike SAT in se usmeriti v popoln rezultat, potem je to vodnik za vas.

Sestavili smo tisto, za kar verjamemo, da je 15 najtežjih vprašanj za trenutni SAT , s strategijami in razlagami odgovorov za vsako. To so vsa težka vprašanja SAT Math iz praktičnih testov SAT College Board, kar pomeni, da je njihovo razumevanje eden najboljših načinov učenja za tiste, ki stremite k popolnosti.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratek pregled SAT Math

Tretji in četrti del SAT bo vedno del matematike . Prvi matematični podrazdelek (z oznako '3') počne ne vam omogočajo uporabo kalkulatorja, medtem ko drugi podrazdelek matematike (označen kot '4') počne omogočite uporabo kalkulatorja. Ne skrbite preveč glede razdelka brez kalkulatorja: če vam pri vprašanju ni dovoljeno uporabljati kalkulatorja, to pomeni, da za odgovor nanj ne potrebujete kalkulatorja.

Vsak matematični pododdelek je urejen po naraščajoči težavnosti (kjer dlje kot je potrebno za rešitev problema in manj ljudi, ki nanj pravilno odgovori, težji je). V vsakem pododdelku bo 1. vprašanje 'lahko', 15. vprašanje pa 'težko'. Vendar se naraščajoča težavnost ponastavi iz lahke v težjo na mrežah.

Zato so vprašanja z več izbirami razporejena v naraščajoči težavnosti (vprašanji 1 in 2 bosta najlažji, vprašanji 14 in 15 bosta najtežji), vendar se stopnja težavnosti ponastavi za razdelek v mreži (kar pomeni, da bosta vprašanji 16 in 17 spet 'lahko', vprašanji 19 in 20 pa bosta zelo težki).

Z zelo redkimi izjemami torej najtežje matematične težave SAT bodo združene na koncu segmentov z več možnimi odgovori ali na drugi polovici vprašanj v mreži. Vendar imajo ta vprašanja poleg njihove umestitve na testu tudi nekaj drugih skupnih točk. Čez minuto si bomo ogledali primere vprašanj in kako jih rešiti, nato pa jih bomo analizirali, da bomo ugotovili, kaj imajo te vrste vprašanj skupnega.

Toda najprej: ali bi se morali prav zdaj osredotočiti na najtežja matematična vprašanja?

Če ste šele začeli s pripravami na študij (ali če ste preprosto preskočili ta prvi, ključni korak), se zagotovo ustavite in opravite celoten vadbeni test, da ocenite svojo trenutno raven točkovanja. Oglejte si naš vodnik po vsi brezplačni preizkusi znanja SAT, ki so na voljo na spletu nato pa se usedite in naenkrat opravite test.

Absolutno najboljši način za oceno vaše trenutne ravni je, da preprosto opravite izpit SAT, kot da bi bil resničen, pri čemer se držite strogega časovnega razporeda in delate naravnost z dovoljenimi odmori (vemo – verjetno ni vaš najljubši način preživljanja sobote). Ko dobite dobro predstavo o svoji trenutni ravni in razvrstitvi v percentilu, lahko določite mejnike in cilje za vaš končni rezultat SAT Math.

Če trenutno dosegate rezultate v razponu 200–400 ali 400–600 pri SAT Math, je najbolje, da si najprej ogledate naš vodnik za izboljšanje svojega rezultata pri matematiki. dosledno imeti 600 ali več, preden začnete poskušati reševati najtežje matematične naloge na testu.

Če pa že dosegate več kot 600 v razdelku za matematiko in želite preizkusiti svoje sposobnosti za pravi SAT, potem vsekakor nadaljujte s preostalim delom tega vodnika. Če ciljate na popolno (ali blizu) , potem boste morali vedeti, kako so videti najtežje naloge pri matematiki SAT in kako jih rešiti. In na srečo bomo storili točno to.

OPOZORILO: Ker jih je omejeno število uradne praktične preizkuse SAT , boste morda želeli počakati z branjem tega članka, dokler ne poskusite opraviti vseh ali večine prvih štirih uradnih praktičnih testov (ker je bila večina spodnjih vprašanj vzetih iz teh testov). Če vas skrbi, da bi pokvarili te teste, zdaj nehajte brati ta vodnik; vrni se in jih preberi, ko jih dokončaš.

Zdaj pa pojdimo na seznam vprašanj (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežjih matematičnih vprašanj SAT

Zdaj, ko ste prepričani, da bi morali poskusiti odgovoriti na ta vprašanja, se poglobimo takoj! Spodaj smo zbrali 15 najtežjih vprašanj SAT Math, ki jih lahko preizkusite, skupaj z navodili, kako do odgovora (če ste obupani).

Brez kalkulatorja SAT Math Questions

Vprašanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Zgornja enačba prikazuje, kako je temperatura $F$, merjena v stopinjah Fahrenheita, povezana s temperaturo $C$, merjeno v stopinjah Celzija. Na podlagi enačbe, kaj od naslednjega mora biti res?

1. Povišanje temperature za 1 stopinjo Fahrenheita je enakovredno povišanju temperature za 5/9 stopinj Celzija.
2. Povišanje temperature za 1 stopinjo Celzija je enakovredno povišanju temperature za 1,8 stopinje Fahrenheita.
3. Povišanje temperature za $5/9$ stopinj Fahrenheita je enakovredno zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija.

A) Samo jaz
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I in II

RAZLAGA ODGOVORA: Enačbo si predstavljajte kot enačbo za črto

$$y=mx+b$$

kje v tem primeru

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

oz

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Vidite lahko, da je naklon grafa ${5}/{9}$, kar pomeni, da je pri povečanju za 1 stopinjo Fahrenheita povečanje ${5}/{9}$ za 1 stopinjo Celzija.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Trditev I torej drži. To je enako, kot če bi rekli, da je povečanje za 1 stopinjo Celzija enako povečanju za ${9}/{5}$ stopinj Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ker je ${9}/{5}$ = 1,8, velja izjava II.

Edini odgovor, pri katerem sta trditvi I in trditvi II resnični, je D , če pa imate čas in želite biti popolnoma temeljiti, lahko tudi preverite, ali je trditev III (zvišanje ${5}/{9}$ stopinje Fahrenheita enako zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija) resnična :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (kar je ≠ 1)$$

Zvišanje za $5/9$ stopinj Fahrenheita povzroči zvišanje za ${25}/{81}$, ne pa za 1 stopinjo Celzija, zato izjava III ne drži.

Končni odgovor je D.

2. vprašanje

Enačba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$velja za vse vrednosti $x≠2/a$, kjer je $a$ konstanta.

Kakšna je vrednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RAZLAGA ODGOVORA: Obstajata dva načina za rešitev tega vprašanja. Hitrejši način je, da vsako stran dane enačbe pomnožite z $ax-2$ (da se lahko znebite ulomka). Ko vsako stran pomnožite z $ax-2$, bi morali imeti:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Nato bi morali pomnožiti $(-8x-3)$ in $(ax-2)$ z uporabo FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Nato zmanjšajte na desni strani enačbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ker morajo biti koeficienti $x^2$-člena enaki na obeh straneh enačbe, je $−8a = 24$ ali $a = −3$.

Druga možnost, ki je daljša in bolj dolgočasna, je, da poskusite vključiti vse izbire odgovorov za a in vidite, kateri odgovor naredi obe strani enačbe enaki. Še enkrat, to je daljša možnost in je ne priporočam za dejanski SAT, saj bo izgubil preveč časa.

Končni odgovor je B.

3. vprašanje

Če je $3x-y = 12$, kakšna je vrednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrednosti ni mogoče določiti iz navedenih informacij.

RAZLAGA ODGOVORA: Eden od pristopov je izražanje

$${8^x}/{2^y}$$

tako da sta števec in imenovalec izražena z isto osnovo. Ker sta 2 in 8 obe potenci števila 2, dobimo z zamenjavo $2^3$ z 8 v števcu ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ki jih je mogoče prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Ker imata števec in imenovalec skupno osnovo, lahko ta izraz prepišemo kot $2^(3x−y)$. V vprašanju piše, da je $3x − y = 12$, zato lahko eksponent $3x − y$ nadomestimo z 12, kar pomeni, da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Končni odgovor je A.

4. vprašanje

Točki A in B ležita na krožnici s polmerom 1, lok ${AB}↖⌢$ pa ima dolžino $π/3$. Kolikšen del obsega kroga predstavlja dolžina loka ${AB}↖⌢$?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite izvedeti odgovor na to vprašanje, morate najprej poznati formulo za iskanje obsega kroga.

Obseg, $C$, kroga je $C = 2πr$, kjer je $r$ polmer kroga. Za dani krog s polmerom 1 je obseg $C = 2(π)(1)$ ali $C = 2π$.

Če želite ugotoviti, kolikšen del obsega je dolžina ${AB}↖⌢$, delite dolžino loka z obsegom, kar daje $π/3 ÷ 2π$. To delitev lahko predstavimo z $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ulomek $1/6$ lahko prepišemo tudi kot $0,166$ ali $0,167$.

Končni odgovor je $1/6$, $0,166$ ali $0,167$.

5. vprašanje

$${8-i}/{3-2i}$$

Če zgornji izraz prepišemo v obliki $a+bi$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili, kakšna je vrednost $a$? (Opomba: $i=√{-1}$)

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite prepisati ${8-i}/{3-2i}$ v standardni obliki $a + bi$, morate števec in imenovalec ${8-i}/{3-2i}$ pomnožiti s konjugatom , 3 $ + 2 i $. To je enako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ker je $i^2=-1$, lahko ta zadnji ulomek poenostavljeno skrajšamo na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

kar še poenostavi na $2 + i$. Ko torej ${8-i}/{3-2i}$ prepišemo v standardni obliki a + bi, je vrednost a 2.

Končni odgovor je A.

6. vprašanje

V trikotniku $ABC$ je mera $∠B$ 90°, $BC=16$ in $AC$=20. Trikotnik $DEF$ je podoben trikotniku $ABC$, kjer oglišča $D$, $E$ in $F$ ustrezajo ogliščem $A$, $B$ in $C$ oziroma vsaki strani trikotnika $ DEF$ je $1/3$ dolžine ustrezne stranice trikotnika $ABC$. Kakšna je vrednost $sinF$?

RAZLAGA ODGOVORA: Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom v B. Zato je $ov {AC}$ hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC, $ov {AB}$ in $ov {BC}$ pa sta kraka pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku je

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ker je trikotnik DEF podoben trikotniku ABC, pri čemer oglišče F ustreza oglišču C, je mera $angle ∠ {F}$ enaka meri $angle ∠ {C}$. Zato je $sin F = sin C$. Iz dolžin stranic trikotnika ABC,

$$sinF ={ asproti side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zato je $sinF ={3}/{5}$.

Končni odgovor je ${3}/{5}$ ali 0,6.

Vprašanja za SAT matematiko, dovoljena za kalkulator

7. vprašanje

Nepopolna zgornja tabela povzema število levičarjev in desničarjev po spolu za učence osmega razreda srednje šole Keisel. Desničark je 5-krat več kot levičark, desničarjev pa 9-krat več kot levičarjev. če je na šoli skupno 18 levičarjev in 122 desničarjev, kaj od naslednjega je najbližje verjetnosti, da je naključno izbrana desničarka ženska? (Opomba: predpostavimo, da nobeden od učencev osmega razreda ni hkrati desničar in levičar.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate ustvariti dve enačbi z dvema spremenljivkama ($x$ in $y$) in informacijami, ki ste jih dobili. Naj bo $x$ število levičarskih študentk in $y$ število levičarskih študentov. Z uporabo informacij, navedenih v problemu, bo število desničarskih študentk $5x$, število desničarjev pa $9y$. Ker je skupno število levičarjev 18 in skupno število desničarjev 122, mora spodnji sistem enačb veljati:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Ko rešite ta sistem enačb, dobite $x = 10$ in $y = 8$. Tako je 5*10 ali 50 od 122 desničarjev žensk. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana desničarka ženska, ${50}/{122}$, kar je na najbližjo tisočinko 0,410.

Končni odgovor je A.

Vprašanji 8 in 9

Uporabite naslednje informacije za vprašanje 7 in vprašanje 8.

Če kupci vstopajo v trgovino s povprečno hitrostjo $r$ kupcev na minuto in vsak ostane v trgovini povprečno $T$ minut, je podano povprečno število kupcev v trgovini, $N$, kadar koli po formuli $N=rT$. To razmerje je znano kot Littleov zakon.

Lastnik Good Deals Store ocenjuje, da med delovnim časom v trgovino vstopijo povprečno 3 kupci na minuto in da se vsak od njih zadrži povprečno 15 minut. Lastnik trgovine uporabi Littleov zakon, da oceni, da je v trgovini kadar koli 45 kupcev.

8. vprašanje

Littleov zakon je mogoče uporabiti za kateri koli del trgovine, kot je določen oddelek ali blagajna. Lastnik trgovine ugotavlja, da med delovnim časom opravi nakup približno 84 kupcev na uro in vsak od teh kupcev v blagajni preživi povprečno 5 minut. Približno koliko kupcev v povprečju kadar koli med delovnim časom čaka v vrsti na blagajni, da opravijo nakup v trgovini Good Deals Store?

RAZLAGA ODGOVORA: Ker vprašanje navaja, da je Littleov zakon mogoče uporabiti za kateri koli posamezen del trgovine (na primer samo za blagajno), potem je povprečno število kupcev, $N$, v blagajni v katerem koli trenutku $N = rT $, kjer je $r$ število kupcev, ki vstopijo v blagajniško vrsto na minuto, $T$ pa je povprečno število minut, ki jih vsak kupec preživi v blagajniški vrsti.

Ker 84 kupcev na uro opravi nakup, 84 kupcev na uro vstopi v blagajno. Vendar je treba to pretvoriti v število nakupovalcev na minuto (da se lahko uporabi z $T = 5$). Ker je v eni uri 60 minut, je cena ${84 kupovalcev a uro}/{60 minut} = 1,4$ nakupovalcev na minuto. Če uporabimo dano formulo z $r = 1,4$ in $T = 5$ dobimo

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Zato je povprečno število kupcev, $N$, v vrsti na blagajni kadar koli med delovnim časom 7.

Končni odgovor je 7.

vprašanje 9

Lastnik trgovine Good Deals Store odpre novo trgovino v mestu. Za novo trgovino lastnik ocenjuje, da bo v delovnem času povprečno 90 kupcev naurovstopijo v trgovino in vsak ostane povprečno 12 minut. Koliko odstotkov je povprečno število kupcev v novi trgovini kadar koli manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini? (Opomba: pri vnosu odgovora ne upoštevajte simbola za odstotek. Na primer, če je odgovor 42,1 %, vnesite 42,1)

RAZLAGA ODGOVORA: Glede na podane prvotne informacije je ocenjeno povprečno število kupcev v prvotni trgovini kadar koli (N) 45. V vprašanju je navedeno, da je v novi trgovini upravitelj ocenil povprečno 90 kupcev na uro. (60 minut) vstopite v trgovino, kar je enako 1,5 kupca na minuto (r). Vodja tudi ocenjuje, da se vsak kupec v trgovini v povprečju zadrži 12 minut (T). Tako je po Littleovem zakonu povprečno $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupcev v novi trgovini kadar koli. To je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

odstotkov manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini kadar koli.

Končni odgovor je 60.

vprašanje 10

V $xy$-ravnini leži točka $(p,r)$ na premici z enačbo $y=x+b$, kjer je $b$ konstanta. Točka s koordinatami $(2p, 5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$. Če je $p≠0$, kakšna je vrednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

RAZLAGA ODGOVORA: Ker točka $(p,r)$ leži na premici z enačbo $y=x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $p$ z $x$ in $r$ z $y$ v enačbi $y=x+b$ dobi $r=p+b$ ali $i b$ = $i r-i p $.

Podobno, ker točka $(2p,5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $2p$ z $x$ in $5r$ z $y$ v enačbi $y=2x+b$ dobi:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Nato lahko enačbi, ki sta enaki $b$, določimo med seboj enake in poenostavimo:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Končno, da bi našli $r/p$, moramo obe strani enačbe deliti z $p$ in s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Pravilen odgovor je B , 3/4 $.

Če ste izbrali možnosti A in D, ste morda napačno oblikovali odgovor iz koeficientov v točki $(2p, 5r)$. Če ste izbrali možnost C, ste morda zamenjali $r$ in $p$.

Upoštevajte, da čeprav je to v razdelku za kalkulator SAT, za reševanje tega nikakor ne potrebujete svojega kalkulatorja!

vprašanje 11

Žitni silos je zgrajen iz dveh desnih krožnih stožcev in desnega krožnega valja z notranjimi merami, ki jih predstavlja zgornja slika. Kaj od naslednjega je najbližje prostornini silosa za žito v kubičnih čevljih?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RAZLAGA ODGOVORA: Prostornino žitnega silosa lahko ugotovimo tako, da seštejemo prostornine vseh trdnih snovi, iz katerih je sestavljen (valj in dva stožca). Silos je sestavljen iz valja (z višino 10 čevljev in polmerom baze 5 čevljev) in dveh stožcev (vsak ima višino 5 ft in polmer osnove 5 ft). Formule, podane na začetku razdelka SAT Math:

Prostornina stožca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Prostornina valja

$$V=πr^2h$$

se lahko uporablja za določitev celotne prostornine silosa. Ker imata oba stožca enake dimenzije, je skupna prostornina silosa v kubičnih čevljih podana z

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

kar je približno enako 1.047,2 kubičnih čevljev.

Končni odgovor je D.

vprašanje 12

Če je $x$ povprečje (aritmetična sredina) $m$ in $9$, $y$ povprečje $2m$ in $15$ in $z$ povprečje $3m$ in $18$, koliko je povprečje $x$, $y$ in $z$ glede na $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 mio $ + 14 $
D) 3 milijone $ + 21 $

RAZLAGA ODGOVORA: Ker je povprečje (aritmetična sredina) dveh števil enaka vsoti obeh števil, deljeni z 2, veljajo enačbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$so resnični. Povprečje $x$, $y$ in $z$ je podano z ${x + y + z}/{3}$. Če nadomestimo izraze v m za vsako spremenljivko ($x$, $y$, $z$), dobimo

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ta ulomek je mogoče poenostaviti na $m + 7$.

Končni odgovor je B.

vprašanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je grafično prikazana v zgornji ravnini $xy$. Če je $k$ konstanta, tako da ima enačba $f(x)=k$ tri realne rešitve, katera od naslednjih bi lahko bila vrednost $k$?

RAZLAGA ODGOVORA: Enačba $f(x) = k$ daje rešitve sistema enačb

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

in

$$y = k$$

Realna rešitev sistema dveh enačb ustreza točki presečišča grafov obeh enačb v $xy$-ravnini.

Graf $y = k$ je vodoravna premica, ki vsebuje točko $(0, k)$ in trikrat seka graf kubične enačbe (ker ima tri realne rešitve). Glede na graf je edina vodoravna premica, ki bi trikrat sekala kubično enačbo, premica z enačbo $y = −3$ ali $f(x) = −3$. Zato je $k$ $-3$.

Končni odgovor je D.

14. vprašanje

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamični tlak $q$, ki ga ustvari tekočina, ki se giblje s hitrostjo $v$, je mogoče najti z uporabo zgornje formule, kjer je $n$ konstantna gostota tekočine. Letalski inženir uporabi formulo za iskanje dinamičnega tlaka tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v$, in iste tekočine, ki se giblje s hitrostjo 1,5$v$. Kakšno je razmerje med dinamičnim tlakom hitrejše tekočine in dinamičnim tlakom počasnejše tekočine?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate nastaviti enačbe s spremenljivkami. Naj bo $q_1$ dinamični tlak počasnejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_1$, $q_2$ pa naj bo dinamični tlak hitrejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_2$. Potem

$$v_2 =1,5v_1$$

Če podamo enačbo $q = {1}/{2}nv^2$, dobimo z zamenjavo dinamičnega tlaka in hitrosti hitrejše tekočine $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ker je $v_2 =1,5v_1$, lahko izraz $1,5v_1$ nadomestimo z $v_2$ v tej enačbi, kar daje $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. S kvadriranjem $1,5$ lahko prejšnjo enačbo prepišete kot

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Zato je razmerje dinamičnega tlaka hitrejše tekočine

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Končni odgovor je 2,25 ali 9/4.

15. vprašanje

Za polinom $p(x)$ je vrednost $p(3)$ $-2$. Kaj od naslednjega mora veljati za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Ostanek, ko $p(x)$ delimo z $x-3$, je $-2$.

RAZLAGA ODGOVORA: Če polinom $p(x)$ delimo s polinomom oblike $x+k$ (ki upošteva vse možne izbire odgovorov v tem vprašanju), lahko rezultat zapišemo kot

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kjer je $q(x)$ polinom in $r$ ostanek. Ker je $x + k$ polinom stopnje 1 (kar pomeni, da vključuje samo $x^1$ in ne višjih eksponentov), ​​je ostanek realno število.

Zato lahko $p(x)$ prepišemo kot $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kjer je $r$ realno število.

Vprašanje navaja, da je $p(3) = -2$, torej to mora biti res

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Zdaj lahko vključimo vse možne odgovore. Če je odgovor A, B ali C, bo $r$ $0$, če je odgovor D, pa bo $r$ $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To bo vedno bodi resničen ne glede na to, kaj je $q(3)$.

Od izbir odgovorov edini, ki mora res glede $p(x)$ je D, da je ostanek, ko je $p(x)$ deljen z $x-3$ enak -2.

Končni odgovor je D.

Zaslužiš si ves spanec, potem ko prebereš ta vprašanja.

Kaj imajo skupnega najtežja matematična vprašanja SAT?

Pomembno je razumeti, zakaj so ta težka vprašanja 'težka'. S tem boste lahko razumeli in rešili podobna vprašanja, ko jih boste videli na dan izpita, ter imeli boljšo strategijo za prepoznavanje in popravljanje prejšnjih napak pri matematiki SAT.

V tem razdelku si bomo ogledali, kaj imajo ta vprašanja skupnega, in navedli primere vsake vrste. Nekaj ​​razlogov, zakaj so najtežja matematična vprašanja najtežja matematična vprašanja, je, ker:

#1: Preizkusite več matematičnih konceptov hkrati

Tukaj se moramo ukvarjati z namišljenimi števili in ulomki naenkrat.

Skrivnost uspeha: Pomislite, katero uporabno matematiko bi lahko uporabili za rešitev težave, delajte korak za korakom in poskusite vsako tehniko, dokler ne najdete tiste, ki deluje!

#2: Vključite veliko korakov

Ne pozabite: več korakov kot morate narediti, lažje boste nekje na poti zamočili!

To težavo moramo rešiti v korakih (z več povprečji), da odklenemo preostale odgovore z učinkom domin. To lahko postane zmedeno, še posebej, če ste pod stresom ali če vam zmanjkuje časa.

Skrivnost uspeha: Počasi, pojdi korak za korakom in še enkrat preveri svoje delo, da ne boš delal napak!

#3: Preizkusni koncepti, ki jih slabo poznate

Mnogi učenci so na primer manj seznanjeni s funkcijami kot z ulomki in odstotki, zato večina funkcijskih vprašanj velja za 'visoko težavne' probleme.

Če ne poznate funkcij, bi bila to težavna težava.

Skrivnost uspeha: Preglejte matematične koncepte, ki jih ne poznate toliko, kot so funkcije. Predlagamo, da uporabite naše odlične brezplačne vodnike za pregled SAT Math.

#4: so ubesedeni na nenavaden ali zapleten način

Težko je natančno ugotoviti, kaj so nekatera vprašanja spraševanje , še manj pa ugotoviti, kako jih rešiti. To še posebej velja, ko je vprašanje na koncu razdelka in vam zmanjkuje časa.

Ker to vprašanje ponuja toliko informacij brez diagrama, ga je težko razvozlati v omejenem dovoljenem času.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in narišite diagram, če vam je v pomoč.

#5: Uporabite veliko različnih spremenljivk

S toliko različnimi spremenljivkami v igri se je zelo enostavno zmešati.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in razmislite, ali je dodajanje številk dobra strategija za rešitev težave (ne bi veljala za zgornje vprašanje, bi pa bila za številna druga vprašanja o spremenljivki SAT).

Take-Aways

SAT je maraton in bolje kot ste nanj pripravljeni, bolje se boste počutili na dan izpita. Če boste vedeli, kako se soočiti z najtežjimi vprašanji, ki vam jih lahko postavi test, bo opravljanje pravega testa SAT veliko manj zastrašujoče.

Če se vam zdijo ta vprašanja lahka, ne podcenjujte vpliva adrenalina in utrujenosti na vašo sposobnost reševanja težav. Ko nadaljujete s študijem, se vedno držite pravilnih časovnih smernic in poskušajte opraviti celotne teste, kadar koli je to mogoče. To je najboljši način za poustvarjanje dejanskega preskusnega okolja, da se lahko pripravite na pravi posel.

Če se vam zdijo ta vprašanja zahtevna, okrepite svoje znanje matematike tako, da si ogledate naše vodnike po posameznih temah iz matematike za SAT. Tam boste videli podrobnejše razlage zadevnih tem in podrobnejše razčlenitve odgovorov.

Kaj je naslednje?

Se vam zdi, da so ta vprašanja težja, kot ste pričakovali? Oglejte si vse teme, obravnavane v razdelku SAT matematika, in nato zabeležite, kateri razdelki so bili za vas še posebej težavni. Nato si oglejte naše posamezne matematične vodnike, ki vam bodo pomagali podpreti katero koli od teh šibkih področij.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Naš vodnik vam bo pomagal premagati čas in povečati svoj rezultat.

Ciljate na popoln rezultat? Preveri naš vodnik o tem, kako doseči popolnih 800 na oddelku za matematiko SAT , ki ga je napisal popoln strelec.

5. vprašanje

$${8-i}/{3-2i}$$

Če zgornji izraz prepišemo v obliki $a+bi$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili, kakšna je vrednost $a$? (Opomba: $i=√{-1}$)

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite prepisati ${8-i}/{3-2i}$ v standardni obliki $a + bi$, morate števec in imenovalec ${8-i}/{3-2i}$ pomnožiti s konjugatom , 3 $ + 2 i $. To je enako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ker je $i^2=-1$, lahko ta zadnji ulomek poenostavljeno skrajšamo na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

kar še poenostavi na + i$. Ko torej ${8-i}/{3-2i}$ prepišemo v standardni obliki a + bi, je vrednost a 2.

Končni odgovor je A.

6. vprašanje

V trikotniku $ABC$ je mera $∠B$ 90°, $BC=16$ in $AC$=20. Trikotnik $DEF$ je podoben trikotniku $ABC$, kjer oglišča $D$, $E$ in $F$ ustrezajo ogliščem $A$, $B$ in $C$ oziroma vsaki strani trikotnika $ DEF$ je /3$ dolžine ustrezne stranice trikotnika $ABC$. Kakšna je vrednost $sinF$?

RAZLAGA ODGOVORA: Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom v B. Zato je $ov {AC}$ hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC, $ov {AB}$ in $ov {BC}$ pa sta kraka pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku je

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ker je trikotnik DEF podoben trikotniku ABC, pri čemer oglišče F ustreza oglišču C, je mera $angle ∠ {F}$ enaka meri $angle ∠ {C}$. Zato je $sin F = sin C$. Iz dolžin stranic trikotnika ABC,

$$sinF ={ asproti side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zato je $sinF ={3}/{5}$.

Končni odgovor je /{5}$ ali 0,6.

Vprašanja za SAT matematiko, dovoljena za kalkulator

7. vprašanje

Nepopolna zgornja tabela povzema število levičarjev in desničarjev po spolu za učence osmega razreda srednje šole Keisel. Desničark je 5-krat več kot levičark, desničarjev pa 9-krat več kot levičarjev. če je na šoli skupno 18 levičarjev in 122 desničarjev, kaj od naslednjega je najbližje verjetnosti, da je naključno izbrana desničarka ženska? (Opomba: predpostavimo, da nobeden od učencev osmega razreda ni hkrati desničar in levičar.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate ustvariti dve enačbi z dvema spremenljivkama ($x$ in $y$) in informacijami, ki ste jih dobili. Naj bo $x$ število levičarskih študentk in $y$ število levičarskih študentov. Z uporabo informacij, navedenih v problemu, bo število desničarskih študentk x$, število desničarjev pa y$. Ker je skupno število levičarjev 18 in skupno število desničarjev 122, mora spodnji sistem enačb veljati:

$$x + y = 18$$

$x + 9y = 122$$

Ko rešite ta sistem enačb, dobite $x = 10$ in $y = 8$. Tako je 5*10 ali 50 od 122 desničarjev žensk. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana desničarka ženska, /{122}$, kar je na najbližjo tisočinko 0,410.

Vprašanji 8 in 9

Uporabite naslednje informacije za vprašanje 7 in vprašanje 8.

Če kupci vstopajo v trgovino s povprečno hitrostjo $r$ kupcev na minuto in vsak ostane v trgovini povprečno $T$ minut, je podano povprečno število kupcev v trgovini, $N$, kadar koli po formuli $N=rT$. To razmerje je znano kot Littleov zakon.

Lastnik Good Deals Store ocenjuje, da med delovnim časom v trgovino vstopijo povprečno 3 kupci na minuto in da se vsak od njih zadrži povprečno 15 minut. Lastnik trgovine uporabi Littleov zakon, da oceni, da je v trgovini kadar koli 45 kupcev.

8. vprašanje

Littleov zakon je mogoče uporabiti za kateri koli del trgovine, kot je določen oddelek ali blagajna. Lastnik trgovine ugotavlja, da med delovnim časom opravi nakup približno 84 kupcev na uro in vsak od teh kupcev v blagajni preživi povprečno 5 minut. Približno koliko kupcev v povprečju kadar koli med delovnim časom čaka v vrsti na blagajni, da opravijo nakup v trgovini Good Deals Store?

RAZLAGA ODGOVORA: Ker vprašanje navaja, da je Littleov zakon mogoče uporabiti za kateri koli posamezen del trgovine (na primer samo za blagajno), potem je povprečno število kupcev, $N$, v blagajni v katerem koli trenutku $N = rT $, kjer je $r$ število kupcev, ki vstopijo v blagajniško vrsto na minuto, $T$ pa je povprečno število minut, ki jih vsak kupec preživi v blagajniški vrsti.

Ker 84 kupcev na uro opravi nakup, 84 kupcev na uro vstopi v blagajno. Vendar je treba to pretvoriti v število nakupovalcev na minuto (da se lahko uporabi z $T = 5$). Ker je v eni uri 60 minut, je cena ${84 kupovalcev a uro}/{60 minut} = 1,4$ nakupovalcev na minuto. Če uporabimo dano formulo z $r = 1,4$ in $T = 5$ dobimo

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Zato je povprečno število kupcev, $N$, v vrsti na blagajni kadar koli med delovnim časom 7.

Končni odgovor je 7.

vprašanje 9

Lastnik trgovine Good Deals Store odpre novo trgovino v mestu. Za novo trgovino lastnik ocenjuje, da bo v delovnem času povprečno 90 kupcev naurovstopijo v trgovino in vsak ostane povprečno 12 minut. Koliko odstotkov je povprečno število kupcev v novi trgovini kadar koli manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini? (Opomba: pri vnosu odgovora ne upoštevajte simbola za odstotek. Na primer, če je odgovor 42,1 %, vnesite 42,1)

RAZLAGA ODGOVORA: Glede na podane prvotne informacije je ocenjeno povprečno število kupcev v prvotni trgovini kadar koli (N) 45. V vprašanju je navedeno, da je v novi trgovini upravitelj ocenil povprečno 90 kupcev na uro. (60 minut) vstopite v trgovino, kar je enako 1,5 kupca na minuto (r). Vodja tudi ocenjuje, da se vsak kupec v trgovini v povprečju zadrži 12 minut (T). Tako je po Littleovem zakonu povprečno $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupcev v novi trgovini kadar koli. To je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

odstotkov manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini kadar koli.

Končni odgovor je 60.

vprašanje 10

V $xy$-ravnini leži točka $(p,r)$ na premici z enačbo $y=x+b$, kjer je $b$ konstanta. Točka s koordinatami $(2p, 5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$. Če je $p≠0$, kakšna je vrednost $r/p$?

A) /5$

B) /4$

C) /3$

D) /2$

RAZLAGA ODGOVORA: Ker točka $(p,r)$ leži na premici z enačbo $y=x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $p$ z $x$ in $r$ z $y$ v enačbi $y=x+b$ dobi $r=p+b$ ali $i b$ = $i r-i p $.

Podobno, ker točka $(2p,5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava p$ z $x$ in r$ z $y$ v enačbi $y=2x+b$ dobi:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Nato lahko enačbi, ki sta enaki $b$, določimo med seboj enake in poenostavimo:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

Končno, da bi našli $r/p$, moramo obe strani enačbe deliti z $p$ in s $:

p=4r$

={4r}/p$

/4=r/p$

Pravilen odgovor je B , 3/4 $.

Če ste izbrali možnosti A in D, ste morda napačno oblikovali odgovor iz koeficientov v točki $(2p, 5r)$. Če ste izbrali možnost C, ste morda zamenjali $r$ in $p$.

Upoštevajte, da čeprav je to v razdelku za kalkulator SAT, za reševanje tega nikakor ne potrebujete svojega kalkulatorja!

vprašanje 11

Žitni silos je zgrajen iz dveh desnih krožnih stožcev in desnega krožnega valja z notranjimi merami, ki jih predstavlja zgornja slika. Kaj od naslednjega je najbližje prostornini silosa za žito v kubičnih čevljih?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RAZLAGA ODGOVORA: Prostornino žitnega silosa lahko ugotovimo tako, da seštejemo prostornine vseh trdnih snovi, iz katerih je sestavljen (valj in dva stožca). Silos je sestavljen iz valja (z višino 10 čevljev in polmerom baze 5 čevljev) in dveh stožcev (vsak ima višino 5 ft in polmer osnove 5 ft). Formule, podane na začetku razdelka SAT Math:

Prostornina stožca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Prostornina valja

$$V=πr^2h$$

kako pretvoriti iz niza v int

se lahko uporablja za določitev celotne prostornine silosa. Ker imata oba stožca enake dimenzije, je skupna prostornina silosa v kubičnih čevljih podana z

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

kar je približno enako 1.047,2 kubičnih čevljev.

Končni odgovor je D.

vprašanje 12

Če je $x$ povprečje (aritmetična sredina) $m$ in $, $y$ povprečje m$ in $ in $z$ povprečje m$ in $, koliko je povprečje $x$, $y$ in $z$ glede na $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 mio $ + 14 $
D) 3 milijone $ + 21 $

RAZLAGA ODGOVORA: Ker je povprečje (aritmetična sredina) dveh števil enaka vsoti obeh števil, deljeni z 2, veljajo enačbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$so resnični. Povprečje $x$, $y$ in $z$ je podano z ${x + y + z}/{3}$. Če nadomestimo izraze v m za vsako spremenljivko ($x$, $y$, $z$), dobimo

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ta ulomek je mogoče poenostaviti na $m + 7$.

Končni odgovor je B.

vprašanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je grafično prikazana v zgornji ravnini $xy$. Če je $k$ konstanta, tako da ima enačba $f(x)=k$ tri realne rešitve, katera od naslednjih bi lahko bila vrednost $k$?

RAZLAGA ODGOVORA: Enačba $f(x) = k$ daje rešitve sistema enačb

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

in

$$y = k$$

Realna rešitev sistema dveh enačb ustreza točki presečišča grafov obeh enačb v $xy$-ravnini.

Graf $y = k$ je vodoravna premica, ki vsebuje točko $(0, k)$ in trikrat seka graf kubične enačbe (ker ima tri realne rešitve). Glede na graf je edina vodoravna premica, ki bi trikrat sekala kubično enačbo, premica z enačbo $y = −3$ ali $f(x) = −3$. Zato je $k$ $-3$.

Končni odgovor je D.

14. vprašanje

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamični tlak $q$, ki ga ustvari tekočina, ki se giblje s hitrostjo $v$, je mogoče najti z uporabo zgornje formule, kjer je $n$ konstantna gostota tekočine. Letalski inženir uporabi formulo za iskanje dinamičnega tlaka tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v$, in iste tekočine, ki se giblje s hitrostjo 1,5$v$. Kakšno je razmerje med dinamičnim tlakom hitrejše tekočine in dinamičnim tlakom počasnejše tekočine?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate nastaviti enačbe s spremenljivkami. Naj bo $q_1$ dinamični tlak počasnejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_1$, $q_2$ pa naj bo dinamični tlak hitrejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_2$. Potem

$$v_2 =1,5v_1$$

Če podamo enačbo $q = {1}/{2}nv^2$, dobimo z zamenjavo dinamičnega tlaka in hitrosti hitrejše tekočine $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ker je $v_2 =1,5v_1$, lahko izraz ,5v_1$ nadomestimo z $v_2$ v tej enačbi, kar daje $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. S kvadriranjem ,5$ lahko prejšnjo enačbo prepišete kot

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Zato je razmerje dinamičnega tlaka hitrejše tekočine

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Končni odgovor je 2,25 ali 9/4.

15. vprašanje

Za polinom $p(x)$ je vrednost $p(3)$ $-2$. Kaj od naslednjega mora veljati za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Ostanek, ko $p(x)$ delimo z $x-3$, je $-2$.

RAZLAGA ODGOVORA: Če polinom $p(x)$ delimo s polinomom oblike $x+k$ (ki upošteva vse možne izbire odgovorov v tem vprašanju), lahko rezultat zapišemo kot

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kjer je $q(x)$ polinom in $r$ ostanek. Ker je $x + k$ polinom stopnje 1 (kar pomeni, da vključuje samo $x^1$ in ne višjih eksponentov), ​​je ostanek realno število.

Zato lahko $p(x)$ prepišemo kot $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kjer je $r$ realno število.

Vprašanje navaja, da je $p(3) = -2$, torej to mora biti res

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Zdaj lahko vključimo vse možne odgovore. Če je odgovor A, B ali C, bo $r$

Se želite preizkusiti v najtežjih matematičnih vprašanjih SAT? Želite vedeti, zakaj so ta vprašanja tako težka in kako jih najbolje rešiti? Če ste pripravljeni zares zariti zobe v del matematike SAT in se usmeriti v popoln rezultat, potem je to vodnik za vas.

Sestavili smo tisto, za kar verjamemo, da je 15 najtežjih vprašanj za trenutni SAT , s strategijami in razlagami odgovorov za vsako. To so vsa težka vprašanja SAT Math iz praktičnih testov SAT College Board, kar pomeni, da je njihovo razumevanje eden najboljših načinov učenja za tiste, ki stremite k popolnosti.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratek pregled SAT Math

Tretji in četrti del SAT bo vedno del matematike . Prvi matematični podrazdelek (z oznako '3') počne ne vam omogočajo uporabo kalkulatorja, medtem ko drugi podrazdelek matematike (označen kot '4') počne omogočite uporabo kalkulatorja. Ne skrbite preveč glede razdelka brez kalkulatorja: če vam pri vprašanju ni dovoljeno uporabljati kalkulatorja, to pomeni, da za odgovor nanj ne potrebujete kalkulatorja.

Vsak matematični pododdelek je urejen po naraščajoči težavnosti (kjer dlje kot je potrebno za rešitev problema in manj ljudi, ki nanj pravilno odgovori, težji je). V vsakem pododdelku bo 1. vprašanje 'lahko', 15. vprašanje pa 'težko'. Vendar se naraščajoča težavnost ponastavi iz lahke v težjo na mrežah.

Zato so vprašanja z več izbirami razporejena v naraščajoči težavnosti (vprašanji 1 in 2 bosta najlažji, vprašanji 14 in 15 bosta najtežji), vendar se stopnja težavnosti ponastavi za razdelek v mreži (kar pomeni, da bosta vprašanji 16 in 17 spet 'lahko', vprašanji 19 in 20 pa bosta zelo težki).

Z zelo redkimi izjemami torej najtežje matematične težave SAT bodo združene na koncu segmentov z več možnimi odgovori ali na drugi polovici vprašanj v mreži. Vendar imajo ta vprašanja poleg njihove umestitve na testu tudi nekaj drugih skupnih točk. Čez minuto si bomo ogledali primere vprašanj in kako jih rešiti, nato pa jih bomo analizirali, da bomo ugotovili, kaj imajo te vrste vprašanj skupnega.

Toda najprej: ali bi se morali prav zdaj osredotočiti na najtežja matematična vprašanja?

Če ste šele začeli s pripravami na študij (ali če ste preprosto preskočili ta prvi, ključni korak), se zagotovo ustavite in opravite celoten vadbeni test, da ocenite svojo trenutno raven točkovanja. Oglejte si naš vodnik po vsi brezplačni preizkusi znanja SAT, ki so na voljo na spletu nato pa se usedite in naenkrat opravite test.

Absolutno najboljši način za oceno vaše trenutne ravni je, da preprosto opravite izpit SAT, kot da bi bil resničen, pri čemer se držite strogega časovnega razporeda in delate naravnost z dovoljenimi odmori (vemo – verjetno ni vaš najljubši način preživljanja sobote). Ko dobite dobro predstavo o svoji trenutni ravni in razvrstitvi v percentilu, lahko določite mejnike in cilje za vaš končni rezultat SAT Math.

Če trenutno dosegate rezultate v razponu 200–400 ali 400–600 pri SAT Math, je najbolje, da si najprej ogledate naš vodnik za izboljšanje svojega rezultata pri matematiki. dosledno imeti 600 ali več, preden začnete poskušati reševati najtežje matematične naloge na testu.

Če pa že dosegate več kot 600 v razdelku za matematiko in želite preizkusiti svoje sposobnosti za pravi SAT, potem vsekakor nadaljujte s preostalim delom tega vodnika. Če ciljate na popolno (ali blizu) , potem boste morali vedeti, kako so videti najtežje naloge pri matematiki SAT in kako jih rešiti. In na srečo bomo storili točno to.

OPOZORILO: Ker jih je omejeno število uradne praktične preizkuse SAT , boste morda želeli počakati z branjem tega članka, dokler ne poskusite opraviti vseh ali večine prvih štirih uradnih praktičnih testov (ker je bila večina spodnjih vprašanj vzetih iz teh testov). Če vas skrbi, da bi pokvarili te teste, zdaj nehajte brati ta vodnik; vrni se in jih preberi, ko jih dokončaš.

Zdaj pa pojdimo na seznam vprašanj (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežjih matematičnih vprašanj SAT

Zdaj, ko ste prepričani, da bi morali poskusiti odgovoriti na ta vprašanja, se poglobimo takoj! Spodaj smo zbrali 15 najtežjih vprašanj SAT Math, ki jih lahko preizkusite, skupaj z navodili, kako do odgovora (če ste obupani).

Brez kalkulatorja SAT Math Questions

Vprašanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Zgornja enačba prikazuje, kako je temperatura $F$, merjena v stopinjah Fahrenheita, povezana s temperaturo $C$, merjeno v stopinjah Celzija. Na podlagi enačbe, kaj od naslednjega mora biti res?

1. Povišanje temperature za 1 stopinjo Fahrenheita je enakovredno povišanju temperature za 5/9 stopinj Celzija.
2. Povišanje temperature za 1 stopinjo Celzija je enakovredno povišanju temperature za 1,8 stopinje Fahrenheita.
3. Povišanje temperature za $5/9$ stopinj Fahrenheita je enakovredno zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija.

A) Samo jaz
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I in II

RAZLAGA ODGOVORA: Enačbo si predstavljajte kot enačbo za črto

$$y=mx+b$$

kje v tem primeru

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

oz

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Vidite lahko, da je naklon grafa ${5}/{9}$, kar pomeni, da je pri povečanju za 1 stopinjo Fahrenheita povečanje ${5}/{9}$ za 1 stopinjo Celzija.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Trditev I torej drži. To je enako, kot če bi rekli, da je povečanje za 1 stopinjo Celzija enako povečanju za ${9}/{5}$ stopinj Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ker je ${9}/{5}$ = 1,8, velja izjava II.

Edini odgovor, pri katerem sta trditvi I in trditvi II resnični, je D , če pa imate čas in želite biti popolnoma temeljiti, lahko tudi preverite, ali je trditev III (zvišanje ${5}/{9}$ stopinje Fahrenheita enako zvišanju temperature za 1 stopinjo Celzija) resnična :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (kar je ≠ 1)$$

Zvišanje za $5/9$ stopinj Fahrenheita povzroči zvišanje za ${25}/{81}$, ne pa za 1 stopinjo Celzija, zato izjava III ne drži.

Končni odgovor je D.

2. vprašanje

Enačba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$velja za vse vrednosti $x≠2/a$, kjer je $a$ konstanta.

Kakšna je vrednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RAZLAGA ODGOVORA: Obstajata dva načina za rešitev tega vprašanja. Hitrejši način je, da vsako stran dane enačbe pomnožite z $ax-2$ (da se lahko znebite ulomka). Ko vsako stran pomnožite z $ax-2$, bi morali imeti:

$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Nato bi morali pomnožiti $(-8x-3)$ in $(ax-2)$ z uporabo FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Nato zmanjšajte na desni strani enačbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ker morajo biti koeficienti $x^2$-člena enaki na obeh straneh enačbe, je $−8a = 24$ ali $a = −3$.

Druga možnost, ki je daljša in bolj dolgočasna, je, da poskusite vključiti vse izbire odgovorov za a in vidite, kateri odgovor naredi obe strani enačbe enaki. Še enkrat, to je daljša možnost in je ne priporočam za dejanski SAT, saj bo izgubil preveč časa.

Končni odgovor je B.

3. vprašanje

Če je $3x-y = 12$, kakšna je vrednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrednosti ni mogoče določiti iz navedenih informacij.

RAZLAGA ODGOVORA: Eden od pristopov je izražanje

$${8^x}/{2^y}$$

tako da sta števec in imenovalec izražena z isto osnovo. Ker sta 2 in 8 obe potenci števila 2, dobimo z zamenjavo $2^3$ z 8 v števcu ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ki jih je mogoče prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Ker imata števec in imenovalec skupno osnovo, lahko ta izraz prepišemo kot $2^(3x−y)$. V vprašanju piše, da je $3x − y = 12$, zato lahko eksponent $3x − y$ nadomestimo z 12, kar pomeni, da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Končni odgovor je A.

4. vprašanje

Točki A in B ležita na krožnici s polmerom 1, lok ${AB}↖⌢$ pa ima dolžino $π/3$. Kolikšen del obsega kroga predstavlja dolžina loka ${AB}↖⌢$?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite izvedeti odgovor na to vprašanje, morate najprej poznati formulo za iskanje obsega kroga.

Obseg, $C$, kroga je $C = 2πr$, kjer je $r$ polmer kroga. Za dani krog s polmerom 1 je obseg $C = 2(π)(1)$ ali $C = 2π$.

Če želite ugotoviti, kolikšen del obsega je dolžina ${AB}↖⌢$, delite dolžino loka z obsegom, kar daje $π/3 ÷ 2π$. To delitev lahko predstavimo z $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ulomek $1/6$ lahko prepišemo tudi kot $0,166$ ali $0,167$.

Končni odgovor je $1/6$, $0,166$ ali $0,167$.

5. vprašanje

$${8-i}/{3-2i}$$

Če zgornji izraz prepišemo v obliki $a+bi$, kjer sta $a$ in $b$ realni števili, kakšna je vrednost $a$? (Opomba: $i=√{-1}$)

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite prepisati ${8-i}/{3-2i}$ v standardni obliki $a + bi$, morate števec in imenovalec ${8-i}/{3-2i}$ pomnožiti s konjugatom , 3 $ + 2 i $. To je enako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Ker je $i^2=-1$, lahko ta zadnji ulomek poenostavljeno skrajšamo na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

kar še poenostavi na $2 + i$. Ko torej ${8-i}/{3-2i}$ prepišemo v standardni obliki a + bi, je vrednost a 2.

Končni odgovor je A.

6. vprašanje

V trikotniku $ABC$ je mera $∠B$ 90°, $BC=16$ in $AC$=20. Trikotnik $DEF$ je podoben trikotniku $ABC$, kjer oglišča $D$, $E$ in $F$ ustrezajo ogliščem $A$, $B$ in $C$ oziroma vsaki strani trikotnika $ DEF$ je $1/3$ dolžine ustrezne stranice trikotnika $ABC$. Kakšna je vrednost $sinF$?

RAZLAGA ODGOVORA: Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom v B. Zato je $ov {AC}$ hipotenuza pravokotnega trikotnika ABC, $ov {AB}$ in $ov {BC}$ pa sta kraka pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku je

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ker je trikotnik DEF podoben trikotniku ABC, pri čemer oglišče F ustreza oglišču C, je mera $angle ∠ {F}$ enaka meri $angle ∠ {C}$. Zato je $sin F = sin C$. Iz dolžin stranic trikotnika ABC,

$$sinF ={ asproti side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zato je $sinF ={3}/{5}$.

Končni odgovor je ${3}/{5}$ ali 0,6.

Vprašanja za SAT matematiko, dovoljena za kalkulator

7. vprašanje

Nepopolna zgornja tabela povzema število levičarjev in desničarjev po spolu za učence osmega razreda srednje šole Keisel. Desničark je 5-krat več kot levičark, desničarjev pa 9-krat več kot levičarjev. če je na šoli skupno 18 levičarjev in 122 desničarjev, kaj od naslednjega je najbližje verjetnosti, da je naključno izbrana desničarka ženska? (Opomba: predpostavimo, da nobeden od učencev osmega razreda ni hkrati desničar in levičar.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate ustvariti dve enačbi z dvema spremenljivkama ($x$ in $y$) in informacijami, ki ste jih dobili. Naj bo $x$ število levičarskih študentk in $y$ število levičarskih študentov. Z uporabo informacij, navedenih v problemu, bo število desničarskih študentk $5x$, število desničarjev pa $9y$. Ker je skupno število levičarjev 18 in skupno število desničarjev 122, mora spodnji sistem enačb veljati:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Ko rešite ta sistem enačb, dobite $x = 10$ in $y = 8$. Tako je 5*10 ali 50 od 122 desničarjev žensk. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana desničarka ženska, ${50}/{122}$, kar je na najbližjo tisočinko 0,410.

Končni odgovor je A.

Vprašanji 8 in 9

Uporabite naslednje informacije za vprašanje 7 in vprašanje 8.

Če kupci vstopajo v trgovino s povprečno hitrostjo $r$ kupcev na minuto in vsak ostane v trgovini povprečno $T$ minut, je podano povprečno število kupcev v trgovini, $N$, kadar koli po formuli $N=rT$. To razmerje je znano kot Littleov zakon.

Lastnik Good Deals Store ocenjuje, da med delovnim časom v trgovino vstopijo povprečno 3 kupci na minuto in da se vsak od njih zadrži povprečno 15 minut. Lastnik trgovine uporabi Littleov zakon, da oceni, da je v trgovini kadar koli 45 kupcev.

8. vprašanje

Littleov zakon je mogoče uporabiti za kateri koli del trgovine, kot je določen oddelek ali blagajna. Lastnik trgovine ugotavlja, da med delovnim časom opravi nakup približno 84 kupcev na uro in vsak od teh kupcev v blagajni preživi povprečno 5 minut. Približno koliko kupcev v povprečju kadar koli med delovnim časom čaka v vrsti na blagajni, da opravijo nakup v trgovini Good Deals Store?

RAZLAGA ODGOVORA: Ker vprašanje navaja, da je Littleov zakon mogoče uporabiti za kateri koli posamezen del trgovine (na primer samo za blagajno), potem je povprečno število kupcev, $N$, v blagajni v katerem koli trenutku $N = rT $, kjer je $r$ število kupcev, ki vstopijo v blagajniško vrsto na minuto, $T$ pa je povprečno število minut, ki jih vsak kupec preživi v blagajniški vrsti.

Ker 84 kupcev na uro opravi nakup, 84 kupcev na uro vstopi v blagajno. Vendar je treba to pretvoriti v število nakupovalcev na minuto (da se lahko uporabi z $T = 5$). Ker je v eni uri 60 minut, je cena ${84 kupovalcev a uro}/{60 minut} = 1,4$ nakupovalcev na minuto. Če uporabimo dano formulo z $r = 1,4$ in $T = 5$ dobimo

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Zato je povprečno število kupcev, $N$, v vrsti na blagajni kadar koli med delovnim časom 7.

Končni odgovor je 7.

vprašanje 9

Lastnik trgovine Good Deals Store odpre novo trgovino v mestu. Za novo trgovino lastnik ocenjuje, da bo v delovnem času povprečno 90 kupcev naurovstopijo v trgovino in vsak ostane povprečno 12 minut. Koliko odstotkov je povprečno število kupcev v novi trgovini kadar koli manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini? (Opomba: pri vnosu odgovora ne upoštevajte simbola za odstotek. Na primer, če je odgovor 42,1 %, vnesite 42,1)

RAZLAGA ODGOVORA: Glede na podane prvotne informacije je ocenjeno povprečno število kupcev v prvotni trgovini kadar koli (N) 45. V vprašanju je navedeno, da je v novi trgovini upravitelj ocenil povprečno 90 kupcev na uro. (60 minut) vstopite v trgovino, kar je enako 1,5 kupca na minuto (r). Vodja tudi ocenjuje, da se vsak kupec v trgovini v povprečju zadrži 12 minut (T). Tako je po Littleovem zakonu povprečno $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupcev v novi trgovini kadar koli. To je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

odstotkov manj od povprečnega števila kupcev v prvotni trgovini kadar koli.

Končni odgovor je 60.

vprašanje 10

V $xy$-ravnini leži točka $(p,r)$ na premici z enačbo $y=x+b$, kjer je $b$ konstanta. Točka s koordinatami $(2p, 5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$. Če je $p≠0$, kakšna je vrednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

RAZLAGA ODGOVORA: Ker točka $(p,r)$ leži na premici z enačbo $y=x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $p$ z $x$ in $r$ z $y$ v enačbi $y=x+b$ dobi $r=p+b$ ali $i b$ = $i r-i p $.

Podobno, ker točka $(2p,5r)$ leži na premici z enačbo $y=2x+b$, mora točka zadostiti enačbi. Zamenjava $2p$ z $x$ in $5r$ z $y$ v enačbi $y=2x+b$ dobi:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Nato lahko enačbi, ki sta enaki $b$, določimo med seboj enake in poenostavimo:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Končno, da bi našli $r/p$, moramo obe strani enačbe deliti z $p$ in s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Pravilen odgovor je B , 3/4 $.

Če ste izbrali možnosti A in D, ste morda napačno oblikovali odgovor iz koeficientov v točki $(2p, 5r)$. Če ste izbrali možnost C, ste morda zamenjali $r$ in $p$.

Upoštevajte, da čeprav je to v razdelku za kalkulator SAT, za reševanje tega nikakor ne potrebujete svojega kalkulatorja!

vprašanje 11

Žitni silos je zgrajen iz dveh desnih krožnih stožcev in desnega krožnega valja z notranjimi merami, ki jih predstavlja zgornja slika. Kaj od naslednjega je najbližje prostornini silosa za žito v kubičnih čevljih?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RAZLAGA ODGOVORA: Prostornino žitnega silosa lahko ugotovimo tako, da seštejemo prostornine vseh trdnih snovi, iz katerih je sestavljen (valj in dva stožca). Silos je sestavljen iz valja (z višino 10 čevljev in polmerom baze 5 čevljev) in dveh stožcev (vsak ima višino 5 ft in polmer osnove 5 ft). Formule, podane na začetku razdelka SAT Math:

Prostornina stožca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Prostornina valja

$$V=πr^2h$$

se lahko uporablja za določitev celotne prostornine silosa. Ker imata oba stožca enake dimenzije, je skupna prostornina silosa v kubičnih čevljih podana z

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

kar je približno enako 1.047,2 kubičnih čevljev.

Končni odgovor je D.

vprašanje 12

Če je $x$ povprečje (aritmetična sredina) $m$ in $9$, $y$ povprečje $2m$ in $15$ in $z$ povprečje $3m$ in $18$, koliko je povprečje $x$, $y$ in $z$ glede na $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 mio $ + 14 $
D) 3 milijone $ + 21 $

RAZLAGA ODGOVORA: Ker je povprečje (aritmetična sredina) dveh števil enaka vsoti obeh števil, deljeni z 2, veljajo enačbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$so resnični. Povprečje $x$, $y$ in $z$ je podano z ${x + y + z}/{3}$. Če nadomestimo izraze v m za vsako spremenljivko ($x$, $y$, $z$), dobimo

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ta ulomek je mogoče poenostaviti na $m + 7$.

Končni odgovor je B.

vprašanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je grafično prikazana v zgornji ravnini $xy$. Če je $k$ konstanta, tako da ima enačba $f(x)=k$ tri realne rešitve, katera od naslednjih bi lahko bila vrednost $k$?

RAZLAGA ODGOVORA: Enačba $f(x) = k$ daje rešitve sistema enačb

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

in

$$y = k$$

Realna rešitev sistema dveh enačb ustreza točki presečišča grafov obeh enačb v $xy$-ravnini.

Graf $y = k$ je vodoravna premica, ki vsebuje točko $(0, k)$ in trikrat seka graf kubične enačbe (ker ima tri realne rešitve). Glede na graf je edina vodoravna premica, ki bi trikrat sekala kubično enačbo, premica z enačbo $y = −3$ ali $f(x) = −3$. Zato je $k$ $-3$.

Končni odgovor je D.

14. vprašanje

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamični tlak $q$, ki ga ustvari tekočina, ki se giblje s hitrostjo $v$, je mogoče najti z uporabo zgornje formule, kjer je $n$ konstantna gostota tekočine. Letalski inženir uporabi formulo za iskanje dinamičnega tlaka tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v$, in iste tekočine, ki se giblje s hitrostjo 1,5$v$. Kakšno je razmerje med dinamičnim tlakom hitrejše tekočine in dinamičnim tlakom počasnejše tekočine?

RAZLAGA ODGOVORA: Če želite rešiti to težavo, morate nastaviti enačbe s spremenljivkami. Naj bo $q_1$ dinamični tlak počasnejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_1$, $q_2$ pa naj bo dinamični tlak hitrejše tekočine, ki se giblje s hitrostjo $v_2$. Potem

$$v_2 =1,5v_1$$

Če podamo enačbo $q = {1}/{2}nv^2$, dobimo z zamenjavo dinamičnega tlaka in hitrosti hitrejše tekočine $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ker je $v_2 =1,5v_1$, lahko izraz $1,5v_1$ nadomestimo z $v_2$ v tej enačbi, kar daje $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. S kvadriranjem $1,5$ lahko prejšnjo enačbo prepišete kot

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Zato je razmerje dinamičnega tlaka hitrejše tekočine

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Končni odgovor je 2,25 ali 9/4.

15. vprašanje

Za polinom $p(x)$ je vrednost $p(3)$ $-2$. Kaj od naslednjega mora veljati za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Ostanek, ko $p(x)$ delimo z $x-3$, je $-2$.

RAZLAGA ODGOVORA: Če polinom $p(x)$ delimo s polinomom oblike $x+k$ (ki upošteva vse možne izbire odgovorov v tem vprašanju), lahko rezultat zapišemo kot

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kjer je $q(x)$ polinom in $r$ ostanek. Ker je $x + k$ polinom stopnje 1 (kar pomeni, da vključuje samo $x^1$ in ne višjih eksponentov), ​​je ostanek realno število.

Zato lahko $p(x)$ prepišemo kot $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kjer je $r$ realno število.

Vprašanje navaja, da je $p(3) = -2$, torej to mora biti res

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Zdaj lahko vključimo vse možne odgovore. Če je odgovor A, B ali C, bo $r$ $0$, če je odgovor D, pa bo $r$ $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To bo vedno bodi resničen ne glede na to, kaj je $q(3)$.

Od izbir odgovorov edini, ki mora res glede $p(x)$ je D, da je ostanek, ko je $p(x)$ deljen z $x-3$ enak -2.

Končni odgovor je D.

Zaslužiš si ves spanec, potem ko prebereš ta vprašanja.

Kaj imajo skupnega najtežja matematična vprašanja SAT?

Pomembno je razumeti, zakaj so ta težka vprašanja 'težka'. S tem boste lahko razumeli in rešili podobna vprašanja, ko jih boste videli na dan izpita, ter imeli boljšo strategijo za prepoznavanje in popravljanje prejšnjih napak pri matematiki SAT.

V tem razdelku si bomo ogledali, kaj imajo ta vprašanja skupnega, in navedli primere vsake vrste. Nekaj ​​razlogov, zakaj so najtežja matematična vprašanja najtežja matematična vprašanja, je, ker:

#1: Preizkusite več matematičnih konceptov hkrati

Tukaj se moramo ukvarjati z namišljenimi števili in ulomki naenkrat.

Skrivnost uspeha: Pomislite, katero uporabno matematiko bi lahko uporabili za rešitev težave, delajte korak za korakom in poskusite vsako tehniko, dokler ne najdete tiste, ki deluje!

#2: Vključite veliko korakov

Ne pozabite: več korakov kot morate narediti, lažje boste nekje na poti zamočili!

To težavo moramo rešiti v korakih (z več povprečji), da odklenemo preostale odgovore z učinkom domin. To lahko postane zmedeno, še posebej, če ste pod stresom ali če vam zmanjkuje časa.

Skrivnost uspeha: Počasi, pojdi korak za korakom in še enkrat preveri svoje delo, da ne boš delal napak!

#3: Preizkusni koncepti, ki jih slabo poznate

Mnogi učenci so na primer manj seznanjeni s funkcijami kot z ulomki in odstotki, zato večina funkcijskih vprašanj velja za 'visoko težavne' probleme.

Če ne poznate funkcij, bi bila to težavna težava.

Skrivnost uspeha: Preglejte matematične koncepte, ki jih ne poznate toliko, kot so funkcije. Predlagamo, da uporabite naše odlične brezplačne vodnike za pregled SAT Math.

#4: so ubesedeni na nenavaden ali zapleten način

Težko je natančno ugotoviti, kaj so nekatera vprašanja spraševanje , še manj pa ugotoviti, kako jih rešiti. To še posebej velja, ko je vprašanje na koncu razdelka in vam zmanjkuje časa.

Ker to vprašanje ponuja toliko informacij brez diagrama, ga je težko razvozlati v omejenem dovoljenem času.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in narišite diagram, če vam je v pomoč.

#5: Uporabite veliko različnih spremenljivk

S toliko različnimi spremenljivkami v igri se je zelo enostavno zmešati.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in razmislite, ali je dodajanje številk dobra strategija za rešitev težave (ne bi veljala za zgornje vprašanje, bi pa bila za številna druga vprašanja o spremenljivki SAT).

Take-Aways

SAT je maraton in bolje kot ste nanj pripravljeni, bolje se boste počutili na dan izpita. Če boste vedeli, kako se soočiti z najtežjimi vprašanji, ki vam jih lahko postavi test, bo opravljanje pravega testa SAT veliko manj zastrašujoče.

Če se vam zdijo ta vprašanja lahka, ne podcenjujte vpliva adrenalina in utrujenosti na vašo sposobnost reševanja težav. Ko nadaljujete s študijem, se vedno držite pravilnih časovnih smernic in poskušajte opraviti celotne teste, kadar koli je to mogoče. To je najboljši način za poustvarjanje dejanskega preskusnega okolja, da se lahko pripravite na pravi posel.

Če se vam zdijo ta vprašanja zahtevna, okrepite svoje znanje matematike tako, da si ogledate naše vodnike po posameznih temah iz matematike za SAT. Tam boste videli podrobnejše razlage zadevnih tem in podrobnejše razčlenitve odgovorov.

Kaj je naslednje?

Se vam zdi, da so ta vprašanja težja, kot ste pričakovali? Oglejte si vse teme, obravnavane v razdelku SAT matematika, in nato zabeležite, kateri razdelki so bili za vas še posebej težavni. Nato si oglejte naše posamezne matematične vodnike, ki vam bodo pomagali podpreti katero koli od teh šibkih področij.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Naš vodnik vam bo pomagal premagati čas in povečati svoj rezultat.

Ciljate na popoln rezultat? Preveri naš vodnik o tem, kako doseči popolnih 800 na oddelku za matematiko SAT , ki ga je napisal popoln strelec.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi lahko bilo res, vendar le, če je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To bo vedno bodi resničen ne glede na to, kaj je $q(3)$.

Od izbir odgovorov edini, ki mora res glede $p(x)$ je D, da je ostanek, ko je $p(x)$ deljen z $x-3$ enak -2.

Končni odgovor je D.

Zaslužiš si ves spanec, potem ko prebereš ta vprašanja.

Kaj imajo skupnega najtežja matematična vprašanja SAT?

Pomembno je razumeti, zakaj so ta težka vprašanja 'težka'. S tem boste lahko razumeli in rešili podobna vprašanja, ko jih boste videli na dan izpita, ter imeli boljšo strategijo za prepoznavanje in popravljanje prejšnjih napak pri matematiki SAT.

V tem razdelku si bomo ogledali, kaj imajo ta vprašanja skupnega, in navedli primere vsake vrste. Nekaj ​​razlogov, zakaj so najtežja matematična vprašanja najtežja matematična vprašanja, je, ker:

#1: Preizkusite več matematičnih konceptov hkrati

Tukaj se moramo ukvarjati z namišljenimi števili in ulomki naenkrat.

Skrivnost uspeha: Pomislite, katero uporabno matematiko bi lahko uporabili za rešitev težave, delajte korak za korakom in poskusite vsako tehniko, dokler ne najdete tiste, ki deluje!

#2: Vključite veliko korakov

Ne pozabite: več korakov kot morate narediti, lažje boste nekje na poti zamočili!

To težavo moramo rešiti v korakih (z več povprečji), da odklenemo preostale odgovore z učinkom domin. To lahko postane zmedeno, še posebej, če ste pod stresom ali če vam zmanjkuje časa.

Skrivnost uspeha: Počasi, pojdi korak za korakom in še enkrat preveri svoje delo, da ne boš delal napak!

#3: Preizkusni koncepti, ki jih slabo poznate

Mnogi učenci so na primer manj seznanjeni s funkcijami kot z ulomki in odstotki, zato večina funkcijskih vprašanj velja za 'visoko težavne' probleme.

Če ne poznate funkcij, bi bila to težavna težava.

Skrivnost uspeha: Preglejte matematične koncepte, ki jih ne poznate toliko, kot so funkcije. Predlagamo, da uporabite naše odlične brezplačne vodnike za pregled SAT Math.

#4: so ubesedeni na nenavaden ali zapleten način

Težko je natančno ugotoviti, kaj so nekatera vprašanja spraševanje , še manj pa ugotoviti, kako jih rešiti. To še posebej velja, ko je vprašanje na koncu razdelka in vam zmanjkuje časa.

Ker to vprašanje ponuja toliko informacij brez diagrama, ga je težko razvozlati v omejenem dovoljenem času.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in narišite diagram, če vam je v pomoč.

#5: Uporabite veliko različnih spremenljivk

S toliko različnimi spremenljivkami v igri se je zelo enostavno zmešati.

Skrivnost uspeha: Vzemite si čas, analizirajte, kaj se od vas zahteva, in razmislite, ali je dodajanje številk dobra strategija za rešitev težave (ne bi veljala za zgornje vprašanje, bi pa bila za številna druga vprašanja o spremenljivki SAT).

Take-Aways

SAT je maraton in bolje kot ste nanj pripravljeni, bolje se boste počutili na dan izpita. Če boste vedeli, kako se soočiti z najtežjimi vprašanji, ki vam jih lahko postavi test, bo opravljanje pravega testa SAT veliko manj zastrašujoče.

Če se vam zdijo ta vprašanja lahka, ne podcenjujte vpliva adrenalina in utrujenosti na vašo sposobnost reševanja težav. Ko nadaljujete s študijem, se vedno držite pravilnih časovnih smernic in poskušajte opraviti celotne teste, kadar koli je to mogoče. To je najboljši način za poustvarjanje dejanskega preskusnega okolja, da se lahko pripravite na pravi posel.

substring_index v sql

Če se vam zdijo ta vprašanja zahtevna, okrepite svoje znanje matematike tako, da si ogledate naše vodnike po posameznih temah iz matematike za SAT. Tam boste videli podrobnejše razlage zadevnih tem in podrobnejše razčlenitve odgovorov.

Kaj je naslednje?

Se vam zdi, da so ta vprašanja težja, kot ste pričakovali? Oglejte si vse teme, obravnavane v razdelku SAT matematika, in nato zabeležite, kateri razdelki so bili za vas še posebej težavni. Nato si oglejte naše posamezne matematične vodnike, ki vam bodo pomagali podpreti katero koli od teh šibkih področij.

Vam zmanjkuje časa za matematični del SAT? Naš vodnik vam bo pomagal premagati čas in povečati svoj rezultat.

Ciljate na popoln rezultat? Preveri naš vodnik o tem, kako doseči popolnih 800 na oddelku za matematiko SAT , ki ga je napisal popoln strelec.