Podobni trikotniki so trikotniki enake oblike, vendar imajo lahko različne velikosti. Podobni trikotniki imajo ustrezne stranice v medsebojnem sorazmerju in ustrezne kote, ki so med seboj enaki. Podobni trikotniki se razlikujejo od skladnih trikotnikov. Dva skladna lika sta si vedno podobna, ni pa nujno, da sta dva podobna lika skladna.

Dva trikotnika veljata za podobna, če se njuna ustrezna kota ujemata in sta njuni stranici sorazmerni. To pomeni, da imajo podobni trikotniki enako obliko, čeprav se njihove velikosti lahko razlikujejo. Po drugi strani pa so trikotniki definirani kot skladni, če nimajo le enake oblike, ampak imajo tudi ustrezne stranice, ki so enake po dolžini.

Zdaj pa se naučimo več o podobni trikotniki in njihove lastnosti z rešenimi primeri in drugi podrobno v tem članku.

Kazalo

• Kaj so podobni trikotniki?
• Definicija podobnih trikotnikov
• Primeri podobnih trikotnikov
• Osnovni izrek o sorazmernosti (Thalesov izrek)
• Kriteriji podobnih trikotnikov
• Formula podobnih trikotnikov
• Formula za podobne trikotnike v geometriji
• Pravila podobnih trikotnikov
• Kot-kot (AA) ali izrek o podobnosti AAA
• Stran-kot-stran ali izrek o podobnosti SAS
• Side-Side-Side ali izrek o podobnosti SSS
• Kako najti podobne trikotnike?
• Ploščina podobnih trikotnikov – izrek
• Razlika med podobnimi trikotniki in skladnimi trikotniki
• Uporaba podobnih trikotnikov
• Pomembne opombe o podobnih trikotnikih
• Rešena vprašanja o podobnih trikotnikih
• Vprašanja za vajo Podobni trikotniki

Kaj so podobni Trikotniki?

Podobni trikotniki so trikotniki, ki so videti podobni drug drugemu, vendar so njihove velikosti lahko različne. Podobni predmeti so enake oblike, a različnih velikosti. To pomeni, da se morajo podobne oblike, če jih povečamo ali zmanjšamo, prekrivati ​​ena čez drugo. Ta lastnost podobnih oblik je znana kot Podobnost .

Obstajajo trije podobni izreki o trikotniku:

• AA (ali AAA) ali izrek o podobnosti kota-kota
• SAS ali izrek o podobnosti strani-kota-stranice
• SSS ali Side-Side-Side Similarity Teorem

Definicija podobnih trikotnikov

Dva trikotnika imenujemo podobna trikotnika, če sta njuna ustrezna kota enaka in pripadajoči stranici v enakem razmerju. Ustrezna kota dveh podobnih trikotnikov morata biti enaka. Podobni trikotniki imajo lahko različne dolžine stranic trikotnika, vendar mora biti razmerje dolžin ustreznih stranic enako.

Če sta si dva trikotnika podobna, to pomeni, da:

branje datotek json

• Vsi pari ustreznih kotov v trikotniku so enaki.
• Vsi pari ustreznih stranic trikotnika so sorazmerni.

Simbol ∼ se uporablja za predstavitev podobnosti med podobnimi trikotniki. Torej, ko sta si dva trikotnika podobna, to zapišemo kot △ABC ∼ △DEF.

Primeri podobnih trikotnikov

Različni primeri podobnih trikotnikov so:

• Če vzamemo dva trikotnika, ki imata stranice v razmerju, sta si podobna trikotnika.
• Drobi za zastave in njihove sence predstavljajo podobne trikotnike.

Trikotnika, prikazana na spodnji sliki, sta si podobna in jih predstavljamo kot △ABC ∼ △PQR.

Osnovni izrek o sorazmernosti (Thalesov izrek)

Osnovni izrek o sorazmernosti, znan tudi kot Thalesov izrek, je temeljni koncept v geometriji, ki se nanaša na podobnost trikotnikov. Navaja, da če črto narišemo vzporedno z eno stranjo trikotnika, sorazmerno deli drugi dve strani. Preprosteje povedano, če črta, ki je vzporedna z eno stranjo trikotnika, seka drugi dve stranici, te stranice sorazmerno deli.

Matematično gledano, če je premica DE narisana vzporedno z eno stranjo trikotnika ABC, ki seka stranici AB in AC v točkah D oziroma E, potem v skladu z osnovnim izrekom o sorazmernosti:

BD/DA = CE/HER

Ta izrek je posledica podobnosti trikotnikov, ki jih tvorita vzporedna premica in stranice prvotnega trikotnika. Natančneje, trikotnika ADE in ABC ter trikotnika ADC in AEB sta si podobna zaradi enakih kotov. Posledično so razmerja ustreznih stranic v podobnih trikotnikih enaka, kar vodi do razmerja sorazmernosti, ki ga opisuje osnovni izrek o sorazmernosti.

Osnovni izrek o sorazmernosti se pogosto uporablja v geometriji in trigonometriji za reševanje različnih problemov, ki vključujejo vzporedne premice in trikotnike. Služi kot temeljno načelo za razumevanje lastnosti podobnih trikotnikov in odnosov med njihovimi ustreznimi stranicami in koti. Poleg tega predstavlja osnovo za naprednejše koncepte v geometriji, kot je izrek o vzporednih črtah in aplikacije v različnih geometrijskih konstrukcijah in dokazih.

Kriteriji podobnih trikotnikov

Če sta si dva trikotnika podobna, morata ustrezati enemu od naslednjih pravil,

• Dva para ustreznih kotov sta enaka. (pravilo AA)
• Trije pari ustreznih strani so sorazmerni. (pravilo SSS)
• Dva para ustreznih stranic sta sorazmerna in pripadajoči koti med njima so enaki. (pravilo SAS)

Preberite podrobno: Kriteriji za podobne trikotnike

Formula podobnih trikotnikov

V zadnjem razdelku smo preučili dva pogoja, s katerima lahko preverimo, ali sta si podana trikotnika podobna ali ne. Pogoji so, ko sta si dva trikotnika podobna; njuna ustrezna kota sta enaka ali pa sta pripadajoči stranici sorazmerni. Z uporabo katerega koli pogoja lahko dokažemo, da sta si △PQR in △XYZ podobna iz naslednjega nabora formul podobnega trikotnika.

Formula za podobne trikotnike v geometriji

V △PQR in △XYZ, če,

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Zgornja trikotnika sta si podobna, tj. △PQR ∼ △XYZ.

Pravila podobnih trikotnikov

Izreki o podobnosti nam pomagajo ugotoviti, ali sta si trikotnika podobna ali ne. Kadar nimamo mere kotov ali stranic trikotnikov, uporabimo podobnostne izreke.

Obstajajo tri glavne vrste pravil podobnosti, kot je navedeno spodaj:

• AA (ali AAA) ali izrek o podobnosti kota-kota
• SAS ali izrek o podobnosti strani-kota-stranice
• SSS ali Side-Side-Side Similarity Teorem

Kot-kot (AA) ali izrek o podobnosti AAA

Kriterij podobnosti AA navaja, da če sta katera koli dva kota v trikotniku enaka katerim koli dvema kotoma drugega trikotnika, potem morata biti podobna trikotnika. Pravilo podobnosti AA zlahka uporabimo, ko poznamo samo mero kotov in nimamo pojma o dolžinah stranic trikotnika.

Na spodnji sliki, če je znano, da je ∠B = ∠G in ∠C = ∠F:

In lahko rečemo, da sta si po kriteriju podobnosti AA △ABC in △EGF podobna ali △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF in ∠A = ∠E.

Stran-kot-stran ali izrek o podobnosti SAS

V skladu s izrekom o podobnosti SAS, če sta katerikoli dve strani prvega trikotnika v točnem sorazmerju s stranicama drugega trikotnika in sta kota, ki ju tvorita ti dve strani posameznih trikotnikov, enaka, potem morata biti podobna trikotnika. To pravilo se na splošno uporablja, ko poznamo samo mero dveh stranic in kot, ki nastane med tema dvema stranicama v obeh trikotnikih.

Na spodnji sliki, če je znano, da je AB/DE = AC/DF in ∠A = ∠D

In lahko rečemo, da sta po kriteriju podobnosti SAS △ABC in △DEF podobna ali △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side ali izrek o podobnosti SSS

V skladu s izrekom o podobnosti SSS bosta dva trikotnika podobna drug drugemu, če je ustrezno razmerje med vsemi stranicami obeh trikotnikov enako. Ta kriterij se običajno uporablja, ko imamo samo mere stranic trikotnika in imamo manj informacij o kotih trikotnika.

Na spodnji sliki, če je znano, da je PQ/ED = PR/EF = QR/DF

In lahko rečemo, da sta po kriteriju podobnosti SSS △PQR in △EDF podobna ali △PQR ∼ △EDF.

Lastnosti podobnih trikotnikov

Podobni trikotniki imajo različne lastnosti, ki se pogosto uporabljajo za reševanje različnih geometrijskih problemov. Nekatere skupne lastnosti podobnega trikotnika:

• Oblika podobnih trikotnikov je fiksna, vendar so lahko njihove velikosti drugačne.
• Ustrezna kota podobnih trikotnikov sta enaka.
• Ustrezne stranice podobnih trikotnikov so v skupnih razmerjih.
• Razmerje med ploščinami podobnih trikotnikov je enako kvadratu razmerja njihovih ustreznih stranic.

Kako najti podobne trikotnike?

Dva podana trikotnika je mogoče dokazati kot podobna trikotnika z uporabo zgoraj navedenih izrekov. Sledimo spodnjim korakom, da preverimo, ali so dani trikotniki podobni ali ne:

Korak 1: Zapišite si dane mere trikotnikov (ustrezne stranice ali ustrezne kote).

2. korak: Preverite, ali te dimenzije sledijo kateremu od pogojev za izreke o podobnih trikotnikih (AA, SSS, SAS).

3. korak : Dane trikotnike, če izpolnjujejo katerega od izrekov o podobnosti, lahko predstavimo z uporabo ~ za označevanje podobnosti.

To lahko bolje razumemo s pomočjo naslednjega primera:

Primer: Preverite, ali sta △ABC in △PQR podobna trikotnika ali ne z uporabo podanih podatkov: ∠A = 65°, ∠B = 70º in ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Z uporabo danih meritev kotov ne moremo sklepati, ali dani trikotniki sledijo kriteriju podobnosti AA ali ne. Poiščimo mero tretjega kota in jo ovrednotimo.

Z uporabo lastnosti vsote kotov trikotnika vemo, da je ∠C v △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Podobno je ∠Q v △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Zato lahko sklepamo, da je v △ABC in △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P in ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Ploščina podobnih trikotnikov – izrek

Izrek o površini podobnega trikotnika pravi, da je razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov sorazmerno s kvadratom razmerja njunih ustreznih stranic. Recimo, da imamo dva podobna trikotnika, torej ΔABC in ΔPQR

Po izreku podobnega trikotnika:

(Površina ΔABC)/(Površina ΔPQR) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

Razlika med podobnimi trikotniki in skladnimi trikotniki

Podobni trikotniki in skladni trikotniki sta dve vrsti trikotnikov, ki se pogosto uporabljata v geometriji za reševanje različnih problemov. Vsaka vrsta trikotnika ima različne lastnosti in osnovne razlike med njimi so opisane v spodnji tabeli.

Uporaba podobnih trikotnikov

Različne aplikacije podobnega trikotnika, ki jih vidimo v resničnem življenju, so,

združi javanski niz

• Senca in višina različnih predmetov se izračunata z uporabo koncepta podobnih trikotnikov.
• Skaliranje zemljevida uporablja koncept podobnega trikotnika.
• Fotografske naprave uporabljajo podobne lastnosti trikotnika za zajemanje različnih slik.
• Izdelava modelov uporablja koncept podobnih trikotnikov.
• Navigacija in trigonometrija prav tako uporabljata pristop podobnega trikotnika za reševanje različnih problemov itd.

Pomembne opombe o podobnih trikotnikih:

• Razmerje ploščin podobnih trikotnikov je enako kvadratu razmerja njihovih ustreznih stranic.
• Vsi skladni trikotniki so si podobni, ni pa nujno, da so vsi podobni trikotniki skladni.
• Ta ' ~ ' se uporablja za označevanje podobnih trikotnikov.

Rešena vprašanja o podobnih trikotnikih

Vprašanje 1: Na dani sliki 1 je DE || pr. n. št. Če je AD = 2,5 cm, DB = 3 cm in AE = 3,75 cm. Najdi AC?

rešitev:

V △ABC, DE || B.C.

AD/DB = AE/EC (po Thalesovem izreku)

2,5/3 = 3,75/x, kjer je EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

Zato je AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Vprašanje 2: Na sliki 1 DE || pr. n. št. Če je AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm in AC = 9 cm. Najdi AE?

1nf 2nf 3nf

rešitev:

Naj bo AE = x cm.

V △ABC, DE || B.C.

Po Thalesovem izreku imamo,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Zato je AE = 2,25 cm

Vprašanje 3: Dokaži, da premica, narisana skozi razpolovišče ene stranice trikotnika (slika 1) vzporedno z drugo stranico, tretjo stran razpolovi.

rešitev:

Podan je ΔΑΒC, v katerem je D razpolovišče AB in DE || BC, srečanje AC pri E.

DOKAZATI AE = EC.

Dokaz: Ker DE || pr. Kr., po Thalesovem izreku imamo:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, dano)

AE/EC = 1

AE = EC

Vprašanje 4: Na dani sliki 2 je AD/DB = AE/EC in ∠ADE = ∠ACB. Dokaži, da je ABC enakokraki trikotnik.

rešitev:

Imamo AD/DB = AE/EC DE || pr. n. št. [po nasprotju s Thalesovim izrekom]

∠ADE = ∠ABC (ustrezni ∠s)

Toda ∠ADE = ∠ACB (podano).

Zato je ∠ABC = ∠ACB.

Torej, AB = AC [strani nasproti enakih kotov].

Zato je △ABC enakokraki trikotnik.

Vprašanje 5: Če sta D in E točki na stranicah AB oziroma AC od △ABC (slika 2), tako da je AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm in AE = 1,8 cm, pokažite, da je DE | | pr. n. št.

rešitev:

Podano je AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm in AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 in AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Zato je v nasprotju s Thalesovim izrekom DE || pr. n. št.

Vprašanje 6: Dokažite, da je daljica, ki povezuje razpolovišči poljubnih dveh stranic trikotnika (slika 2), vzporedna s tretjo stranico.

rešitev:

V △ABC, kjer sta D in E razpolovišči AB oziroma AC.

Ker sta D in E razpolovišči AB oziroma AC, imamo:

AD = DB in AE = EC.

AD/DB = AE/EC (vsak je enak 1)

Zato je v nasprotju s Thalesovim izrekom DE || pr. n. št

Pomembne povezave, povezane z matematiko:

• Kaj so preproste obresti
• Formula izgube
• Lastnost vsote kotov
• Deljivost z 11
• stolpčni graf
• Uporaba trigonometrije
• Seznam naravnih števil
• Pitagorov model
• Projekt za matematiko za 9. razred

Vprašanja za vajo Podobni trikotniki

Q1. V dveh podobnih trikotnikih △ABC in △ADE, če je DE || BC in AD = 3 cm, AB = 8 cm in AC = 6 cm. Poišči AE.

Q2. V dveh podobnih trikotnikih △ABC in △PQR, če je QR || BC in PQ = 2 cm, AB = 12 cm in AC = 9 cm. Poiščite PR.

Q3. V dveh podobnih trikotnikih ΔABC in ΔAPQ sta dolžini stranic AP = 9 cm, PB = 12 cm in BC = 24 cm. Poiščite razmerje ploščin ΔABC in ΔAPQ.

Q4. V dveh podobnih trikotnikih ΔABC in ΔAPQ sta dolžini stranic AP = 3 cm, PB = 4 cm in BC = 8 cm. Poiščite razmerje ploščin ΔABC in ΔAPQ.

Povzetek – podobni trikotniki

Podobni trikotniki so geometrijske figure, ki imajo enako obliko, vendar se razlikujejo po velikosti, za katere so značilni enaki ustrezni koti in sorazmerne ustrezne stranice. Ključni izreki, kot so kot-kot (AA), stran-kot-stran (SAS) in stran-stran-stran (SSS), določajo merila za podobnost trikotnika.

Ta načela so temeljna na področjih, kot so inženiring, računalniška grafika in arhitektura, zaradi svoje sposobnosti ohranjanja celovitosti oblike pri spreminjanju velikosti. Thalesov izrek ali osnovni izrek o sorazmernosti ponazarja, kako črta, ki je vzporedna z eno stranjo trikotnika, sorazmerno deli drugi dve strani, kar nadalje prikazuje koncept podobnosti v trikotnikih.

Podobni trikotniki so ključnega pomena za praktične aplikacije, ki segajo od izračunavanja višin in razdalj pri navigaciji do optimizacije zasnov v tehnologiji in gradnji, kar dokazuje njihovo široko pomembnost tako v akademskem kot v realnem svetu.

Podobni trikotniki – pogosta vprašanja

Kaj so podobni trikotniki, 10. razred?

Podobni trikotniki so trikotniki, pri katerih so vsi koti enaki in so njihove stranice v skupnem razmerju. Imajo podobno obliko, vendar ne podobno površino.

Kaj so formule podobnih trikotnikov?

Formule podobnih trikotnikov so formule, ki nam povedo, ali sta si trikotnika podobna ali ne. Za dva trikotnika △ABC in △XYZ je formula podobnih trikotnikov:

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y in ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Kateri simbol se uporablja za predstavitev podobnih trikotnikov?

Podobni trikotniki so predstavljeni s simbolom '~'. Če sta si dva trikotnika △ABC in △XYZ podobna, ju predstavimo kot △ABC ~ △XYZ, se bere kot trikotnik ABC, podoben trikotniku XYZ.

Kaj so 3 izreki o podobnih trikotnikih?

Z lahkoto lahko dokažemo, da sta si dva trikotnika podobna, z uporabo izreka treh trikotnikov, ki je,

• AA (ali AAA) ali izrek o podobnosti kota-kota
• SAS ali izrek o podobnosti strani-kota-stranice
• SSS ali Side-Side-Side Similarity Teorem

Kakšne so lastnosti podobnih trikotnikov?

Pomembne lastnosti podobnega trikotnika so,

• Podobni trikotniki imajo fiksne oblike, vendar so njihove velikosti lahko različne.
• V podobnem trikotniku sta ustrezna kota enaka.
• Ustrezne stranice so v enakem trikotniku v skupnih razmerjih.

Kako vedeti, ali sta si dva trikotnika podobna?

Če so vsi koti v trikotniku enaki, potem zlahka rečemo, da so si trikotniki podobni.

Kateri trikotniki so vedno podobni?

Trikotnik, ki je vedno podoben, je enakostranični trikotnik. Ker so vsi koti v enakostraničnih trikotnikih vedno 60 stopinj, sta si vsaka dva enakostranična trikotnika vedno podobna.

listnode java

Kaj je območje podobnih trikotnikov?

Razmerje med ploščinama dveh podobnih trikotnikov je vedno enako razmerju kvadratov njunih stranic. Za dva trikotnika △ABC in △XYZ lahko rečemo, da

• območje △ABC / območje △XYZ = (AB / XY)²

Kaj so kriteriji podobnega trikotnika?

Kriteriji podobnih trikotnikov so kriteriji, v katerih lahko tri trikotnike razglasimo za podobne trikotnike in ti trije kriteriji so,

• Merila AAA (Angle-Angle-Criteria)
• Merila SAS (merila stran-kot-stran)
• Merila SSS (kriteriji stran-stran-stran)

Kdo je oče podobnih trikotnikov?

Evklid, starogrški matematik, ki ga pogosto imenujejo oče geometrije, je v svojem delu Elementi zagotovil temeljna načela za razumevanje podobnih trikotnikov.

Ali so podobni trikotniki sorazmerni?

Da, podobni trikotniki so sorazmerni. To pomeni, da so ustrezne stranice podobnih trikotnikov sorazmerne, kar pomeni, da razmerje ustreznih strani podobnih trikotnikov ostane konstantno.

Kateri trikotniki so si vedno podobni?

Trikotniki, ki imajo enake tri kote, so si vedno podobni. To je temeljna lastnost, znana kot kriterij podobnosti kota-kota (AA).

Ali so si vsi pravokotni trikotniki podobni?

Ne, niso si vsi pravokotni trikotniki podobni. Medtem ko so si pravokotni trikotniki z enakimi ostrimi koti podobni, se lahko dolžina hipotenuze in razmerje dolžin stranic razlikujeta, kar vodi do nepodobnosti med pravokotnimi trikotniki.

Kakšno je razmerje dveh podobnih trikotnikov?

Razmerje poljubnih dveh ustreznih stranic v podobnih trikotnikih ostane konstantno. To pomeni, da če vzamete ustrezne stranice podobnih trikotnikov in oblikujete razmerje, bo rezultat vedno enak, ne glede na izbrane specifične dolžine stranic.