Recimo, da obstajata dva sestavljena stavka, X in Y, ki bosta znani kot logična enakovrednost, če in samo če tabela resnicnosti obeh vsebuje enake resničnostne vrednosti v svojih stolpcih. S pomočjo simbola = ali ⇔ lahko predstavimo logično enakovrednost. Torej bo X = Y ali X ⇔ Y logična enakovrednost teh izjav.
S pomočjo definicije logične enakovrednosti smo razjasnili, da če sta sestavljeni izjavi X in Y logična enakovrednost, mora biti v tem primeru X ⇔ Y tavtologija.
Zakoni logične enakovrednosti
V tem zakonu bomo uporabili simbola 'IN' in 'ALI' za razlago zakona logične enakovrednosti. Tukaj je IN označen s simbolom ∧, ALI pa s simbolom ∨. Obstajajo različni zakoni logične enakovrednosti, ki so opisani na naslednji način:
Idempotentni zakon:
V idempotentnem zakonu uporabljamo samo en stavek. V skladu s tem zakonom, če združimo dva ista stavka s simboloma ∧(in) in ∨(ali), bo rezultanta stavka stavek sam. Recimo, da obstaja sestavljena izjava P. Za označevanje idempotentnega zakona se uporablja naslednji zapis:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Tabela resnic za ta zakon je opisana takole:
| p | p | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P, P ∨ P in P ∧ P.
Zato lahko rečemo, da je P ∨ P = P in P ∧ P = P.
Komutativni zakoni:
Izjavi se uporabljata za prikaz komutativnega zakona. V skladu s tem zakonom, če združimo dva stavka s simbolom ∧(in) ali ∨(ali), bo rezultanta stavka enaka, tudi če spremenimo položaj stavkov. Recimo, da obstajata dve izjavi, P in Q. Propozicija teh izjav bo napačna, če sta obe izjavi P in Q napačni. V vseh drugih primerih bo res. Za označevanje komutativnega zakona se uporablja naslednja oznaka:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Ta tabela vsebuje enake resnične vrednosti v stolpcih P ∨ Q in Q ∨ P.
Zato lahko rečemo, da je P ∨ Q ? Q ∨ P.
Enako kot lahko dokažemo P ∧ Q ? Q ∧ P.
umetna nevronska mreža
Asociativni zakon:
Tri izjave se uporabljajo za prikaz asociativnega zakona. Po tem zakonu, če tri stavke združimo s pomočjo oklepajev s simbolom ∧(in) ali ∨(ali), potem bo rezultantni stavek enak, tudi če spremenimo vrstni red oklepajev. To pomeni, da je ta zakon neodvisen od skupin ali združenj. Recimo, da obstajajo tri izjave P, Q in R. Propozicija teh izjav bo napačna, če so P, Q in R napačne. V vseh drugih primerih bo res. Za označevanje asociativnega zakona se uporablja naslednja oznaka:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∨ (Q ∨ R) in (P ∨ Q) ∨ R.
Zato lahko rečemo, da P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Enako kot lahko dokažemo P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Distributivni zakon:
Tri izjave se uporabljajo za prikaz distribucijskega zakona. V skladu s tem zakonom, če združimo stavek s simbolom ∨(ALI) z dvema drugima stavkoma, ki sta združena s simbolom ∧(AND), potem bo rezultat enak, tudi če ločeno kombiniramo stavke z simbol ∨(ALI) in kombiniranje združenih stavkov z ∧(AND). Recimo, da obstajajo tri izjave P, Q in R. Za označevanje distribucijskega zakona se uporablja naslednji zapis:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∨ (Q ∧ R) in (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Zato lahko rečemo, da je P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Enako kot lahko dokažemo P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Zakon o identiteti:
En sam stavek se uporablja za prikaz zakona identitete. V skladu s tem zakonom, če združimo izjavo in vrednost True s simbolom ∨(ali), bo to ustvarilo vrednost True. Če združimo stavek in vrednost False s simbolom ∧(in), potem bo sam ustvaril stavek. Podobno bomo to storili z nasprotnimi simboli. To pomeni, da če združimo izjavo in vrednost True s simbolom ∧(in), bo generirala izjavo sama, če pa združimo izjavo in vrednost False s simbolom ∨(ali), bo ustvarila izjavo Lažna vrednost. Recimo, da obstaja sestavljena izjava P, prava vrednost T in napačna vrednost F. Naslednji zapis se uporablja za označevanje zakona identitete:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∨ T in T. Zato lahko rečemo, da je P ∨ T = T. Podobno ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∨ F in P. Zato lahko rečemo, da je P ∨ F = P.
Enako kot lahko dokažemo P ∧ T ? P in P ∧ F ? F
Zakon o dopolnitvi:
V komplementarnem zakonu se uporablja enojni stavek. V skladu s tem zakonom, če združimo stavek z njegovim komplementarnim stavkom s simbolom ∨(ali), potem bo ustvaril vrednost True, in če te izjave združimo s simbolom ∧(in), potem bo ustvaril False vrednost. Če negiramo resnično vrednost, bo ustvarila lažno vrednost, če pa negiramo lažno vrednost, bo ustvarila pravo vrednost.
r v jeziku c
Naslednji zapis se uporablja za označevanje zakona komplementa:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∨ ¬P in T. Zato lahko rečemo, da je P ∨ ¬P = T. Podobno ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∧ ¬P in F. Zato lahko rečemo, da je P ∧ ¬P = F.
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih ¬T in F. Zato lahko rečemo, da je ¬T = F. Podobno ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih ¬F in T. Zato lahko rečemo, da ¬F = T.
Zakon dvojne negacije ali zakon involucije
Ena sama izjava se uporablja za prikaz zakona dvojne negacije. V skladu s tem zakonom, če izvedemo negacijo zanikane izjave, bo rezultantna izjava sama izjava. Recimo, da obstajata izjava P in zanikana izjava ¬P. Naslednji zapis se uporablja za označevanje zakona dvojne negacije:
¬(¬P) ? P
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih ¬(¬P) in P. Zato lahko rečemo, da je ¬(¬P) = P.
odstranite prvi znak excel
Iz Morganovega zakona:
Izjavi se uporabljata za prikaz De Morganovega zakona. V skladu s tem zakonom, če združimo dva stavka s simbolom ∧(AND) in nato izvedemo negacijo teh združenih stavkov, potem bo rezultanta stavka enaka, tudi če združimo negacijo obeh stavkov ločeno s simbolom ∨( ALI). Recimo, da obstajata dve sestavljeni izjavi, P in Q. Naslednji zapis se uporablja za označevanje De Morganovega zakona:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih ¬(P ∧ Q) in ¬ P ∨ ¬Q. Zato lahko rečemo, da je ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Enako kot lahko dokažemo ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Absorpcijski zakon:
Dve izjavi se uporabljata za prikaz zakona absorpcije. V skladu s tem zakonom, če združimo stavek P s simbolom ∨(ALI) z istim stavkom P in še enim drugim stavkom Q, ki sta združena s simbolom ∧(AND), potem bo rezultantni stavek prvi stavek P. Enak rezultat bo ustvarjen, če zamenjamo simbole. Recimo, da obstajata dve sestavljeni izjavi, P in Q. Naslednji zapis se uporablja za označevanje zakona absorpcije:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Tabela resnic za te zapise je opisana takole:
| p | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∨ (P ∧ Q) in P. Zato lahko rečemo, da je P ∨ (P ∧ Q) ? p.
Podobno ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ∧ (P ∨ Q) in P. Zato lahko rečemo, da je P ∧ (P ∨ Q) ? p.
Primeri logične enakovrednosti
Obstaja več primerov logične enakovrednosti. Nekateri izmed njih so opisani takole:
Primer 1: V tem primeru bomo vzpostavili lastnost enakovrednosti za izjavo, ki je opisana na naslednji način:
p → q ? ¬p ∨ q
rešitev:
To bomo dokazali s pomočjo tabele resnic, ki je opisana takole:
| p | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih p → q in ¬p ∨ q. Zato lahko rečemo, da je p → q ? ¬p ∨ q.
Primer 2: V tem primeru bomo vzpostavili lastnost enakovrednosti za izjavo, ki je opisana takole:
P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P)
rešitev:
| p | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | (P → Q) ∧ (Q → P) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Ta tabela vsebuje enake resničnostne vrednosti v stolpcih P ↔ Q in (P → Q) ∧ (Q → P). Zato lahko rečemo, da je P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Primer 3: V tem primeru bomo uporabili enakovredno lastnost za dokaz naslednje izjave:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
rešitev:
Da bi to dokazali, bomo uporabili nekaj zgoraj opisanih zakonov in iz tega zakona imamo:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Zdaj bomo uporabili komutativni zakon v zgornji enačbi in dobili naslednje:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Zdaj bomo v tej enačbi uporabili distribucijski zakon in dobili naslednje:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
java tuple
Zdaj bomo v tej enačbi uporabili distribucijski zakon in dobili naslednje:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Zdaj bomo v tej enačbi uporabili zakon komplementa in dobili naslednje:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Zdaj bomo uporabili zakon identitete in dobili naslednje:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Zdaj bomo v tej enačbi uporabili komutativni zakon in dobili naslednje:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Končno enačba (1) postane naslednja:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Končno lahko rečemo, da enačba (1) postane p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)