logo

TechCodeview

Inverzne trigonometrične identitete

Inverzne trigonometrične identitete: V matematiki so inverzne trigonometrične funkcije znane tudi kot arkusne funkcije ali antitrigonometrične funkcije. Inverzne trigonometrične funkcije so inverzne funkcije osnovnih trigonometričnih funkcij, tj. sinusa, kosinusa, tangensa, kosekansa, sekansa in kotangensa. Uporablja se za iskanje kotov s poljubnim trigonometričnim razmerjem. Inverzne trigonometrične funkcije se običajno uporabljajo na področjih, kot so geometrija, inženiring itd. Predstavitve inverznih trigonometričnih funkcij so:

Če je a = f(b), potem je obratna funkcija



b = f-1(a)

kako pretvoriti niz v celo število

Primeri inverznih inverznih trigonometričnih funkcij so sin-1x, cos-1x, torej-1x itd.

Kazalo



Domena in obseg inverznih trigonometričnih identitet

Naslednja tabela prikazuje nekatere trigonometrične funkcije z njihovo domeno in obsegom.

funkcija Domena Razpon
y = brez-1x[-enajst][-p/2, p/2]
y = cos-1x[-enajst][0, p]
y = cosec-1x R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1x R - (-enajst)[0, π] – {π/2}
y = torej-1x R (-p/2, p/2)
y = posteljica-1x R (0, p)

Lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij

Sledijo lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij:

Lastnost 1:



  1. brez-1(1/x) = cosec-1x, za x ≥ 1 ali x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sekunda-1x, za x ≥ 1 ali x ≤ -1
  3. torej-1(1/x) = posteljica-1x, za x> 0

Lastnost 2:

  1. brez-1(-x) = -sin-1x, za x ∈ [-1, 1]
  2. torej-1(-x) = -tan-1x za x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, za |x| ≥ 1

Nepremičnina 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, za x ∈ [-1, 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, za |x| ≥ 1
  3. otroška posteljica-1(-x) = π – posteljica-1x za x ∈ R

Lastnina 4

  1. brez-1x + cos-1x = π/2, za x ∈ [-1,1]
  2. torej-1x + posteljica-1x = π/2 za x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2 za |x| ≥ 1

Lastnina 5

  1. torej-1x + torej-1y = torej-1( x + y )/(1 – xy), za xy <1
  2. torej-1x – torej-1y = torej-1(x – y)/(1 + xy), za xy> -1
  3. torej-1x + torej-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), za xy>1; x, y>0

Lastnina 6

  1. 2tan-1x = greh-1(2x)/(1 + x2), za |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1 – x2)/(1 + x2), za x ≥ 0
  3. 2tan-1x = torej-1(2x)/(1 – x2), za -1

Identitete inverzne trigonometrične funkcije

Sledijo identitete inverznih trigonometričnih funkcij:

  1. brez-1(sin x) = x pod pogojem -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x pod pogojem, da je 0 ≤ x ≤ π
  3. torej-1(tan x) = x pod pogojem -π/2
  4. brez-1x) = x pod pogojem -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x pod pogojem -1 ≤ x ≤ 1
  6. tako tako-1x) = x pod pogojem, da je x ∈ R
  7. cosec (cosec-1x) = x pod pogojem -1 ≤ x ≤ ∞ ali -∞
  8. sek (sek-1x) = x pod pogojem, da je 1 ≤ x ≤ ∞ ali -∞
  9. posteljica (posteljica-1x) = x pod pogojem -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = greh-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = greh-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = torej-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. brez-1x + sin-1y = brez-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. brez-1x – greh-1y = brez-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – in2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – in2)}
  22. torej-1x + torej-1y = torej-1(x + y/1 – xy)
  23. torej-1x – torej-1y = torej-1(x – y/1 + xy)
  24. torej-1x + torej-1in +tan-1z = torej-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Ljudje si ogledajo tudi:

Vzorci nalog o inverznih trigonometričnih identitetah

Vprašanje 1: Poskusite brez -1 x = sekunda -1 1/√ (1-x 2 )

rešitev:

Naj brez-1x = y

⇒ sin y = x , (ker je sin y = pravokotnica/hipotenuza ⇒ cos y = √(1- pravokotnica2)/hipotenuza )

⇒ cos y = √(1 – x2), tukaj je hipotenuza = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ brez-1x = sekunda-11/√(1 – x2)

Torej dokazano.

Vprašanje 2: Poskusite tako -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

rešitev:

Naj tako-1x = y

⇒ tan y = x, navpičnica = x in osnova = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (ker je hipotenuza = √(pravokotna2+ osnova2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ torej-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Torej dokazano.

Vprašanje 3: Ocenite sebe kot -1 x)

rešitev:

Naj cos-1x = y

⇒ cos y = x, osnova = x in hipotenuza = 1 torej sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/x

⇒ y = torej-1√(1 – x2)/x

⇒ cos-1x = torej-1√(1 – x2)/x

Zato tan(cos-1x) = tan (tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

Vprašanje 4: torej -1 √(greh x) + posteljica -1 √(sin x) = y. Poišči co in.

rešitev:

Poznamo to porjavelost-1x + posteljica-1x = /2 torej primerjamo to identiteto z enačbo, podano v vprašanju, dobimo y = π/2

Tako je cos y = cos π/2 = 0.

5. vprašanje: torej -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x> 0. Rešite za x.

rešitev:

torej-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan-1x

⇒ 2tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x … (1)

To vemo, 2tan-1x = torej-12x/(1 – x2).

Zato lahko LHS enačbe (1) zapišemo kot

torej-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= torej-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= torej-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= torej-1(1 – x2)/(2x)

Ker je torej LHS = RHS

torej-1(1 – x2)/(2x) = tan-1x

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Ker mora biti x večji od 0, je sprejemljiv odgovor x = 1/√3.

Vprašanje 6: Poskusite tako -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

rešitev:

Naj tako-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ torej2y = x

zato

RHS = (1/2)cos-1(1- torej2y)/(1 + tan2in)

= (1/2)cos-1(ker2in brez2y)/(cos2in + brez2in)

= (1/2)cos-1(ker2in brez2in)

= (1/2)cos-1(cos 2y)

= (1/2)(2y)

= in

= torej-1√x

= LHS

Torej dokazano.

Vprašanje 7: torej -1 (2x)/(1 – x 2 ) + otroška posteljica -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

rešitve:

torej-1(2x)/(1 – x2) + otroška posteljica-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ torej-1(2x)/(1 – x2) + torej-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ torej-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 ali x = -1 – √2

Toda glede na vprašanje x ∈ (-1, 1) je torej za dano enačbo nabor rešitev x ∈ ∅.

Vprašanje 8: torej -1 1/(1 + 1,2) + tan -1 1/(1 + 2,3) + … + torej -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 x. Reši za x.

rešitev:

torej-11/(1 + 1,2) + tan-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1x

⇒ torej-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + tan-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + torej-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1x

⇒ (torej-12 – torej-11) + (torej-13 – torej-12) + … + (torej-1(n + 1) – torej-1n) = torej-1x

⇒ torej-1(n + 1) – torej-11 = torej-1x

⇒ torej-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1x

⇒ torej-1n/(n + 2) = tan-1x

⇒ x = n/(n + 2)

Vprašanje 9: Če 2tan -1 (brez x) = torej -1 (2sec x), nato rešite x.

rešitev:

2tan-1(brez x) = torej-1(2 s x)

⇒ torej-1(2sin x)/(1 – sin2x) = torej-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2x

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 ali sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 ali tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 ali x = π/4

Toda pri x = π/2 dana enačba ne obstaja, zato je x = π/4 edina rešitev.

Vprašanje 10: Dokaži to posteljico -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

rešitev:

Naj bo torej x = 2y

LHS = posteljica-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= posteljica-1[{√(cos2in + brez2y + 2sin y cos y) + √(cos2in + brez2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2in + brez2y + 2sin y cos y) – √(cos2in + brez2y – 2sin in cos y)} ]

= posteljica-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos in – sin in)2}]

= posteljica-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= posteljica-1(2cos y)/(2sin y)

= posteljica-1(posteljica in)

= in

= x/2.

Vadbene naloge o inverznih trigonometričnih identitetah

1. naloga: Rešite x v enačbi sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problem 2: Dokažite, da je tan -1 (1) + torej -1 (2) + torej -1 (3) = str

Problem 3: Ocenite cos⁡(brez -1 (0,5))

Problem 4: Če tan -1 (x) + tan -1 (2x) = π/4, nato poiščite x

Pogosta vprašanja o inverznih trigonometričnih identitetah

Kaj so inverzne trigonometrične funkcije?

Inverzne trigonometrične funkcije so inverzne funkcije osnovnih trigonometričnih funkcij (sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans in kotangens). Uporabljajo se za iskanje kotov, ki ustrezajo danim trigonometričnim razmerjem.

Zakaj so inverzne trigonometrične funkcije pomembne?

Inverzne trigonometrične funkcije so bistvene na različnih področjih, kot so geometrija, inženiring in fizika, ker pomagajo določiti kote iz trigonometričnih razmerij, kar je ključnega pomena za reševanje številnih praktičnih problemov.

Kakšne so domene in razponi inverznih trigonometričnih funkcij?

Vsaka inverzna trigonometrična funkcija ima določene domene in obsege:

s v -1 (x) : Domena [-1, 1] in obseg [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : Domena [-1, 1] in obseg [ 0, π]

torej⁡ -1 (x) : Domena R in obseg (- π/2, π/2)

Ali se inverzne trigonometrične funkcije lahko uporabljajo v računstvu?

Da, inverzne trigonometrične funkcije se pogosto uporabljajo v računu za integracijo in diferenciacijo. Še posebej so uporabni za integracijo funkcij, ki vključujejo trigonometrične izraze.