Integral sin x je -cos(x) plus konstanta (C). Predstavlja površino pod sinusno krivuljo. Funkcija se zaradi svoje periodične narave ponovi vsakih 2π radianov. Ta članek razlaga integral funkcije sinus, prikazuje njegovo formulo, dokaz in uporabo pri iskanju določenih določenih integralov. Poleg tega omenja rešene težave in pogosto zastavljena vprašanja.

javatable

Kazalo

• Kaj je integral sin x?
• Integral Sin x Formula
• Grafični pomen integrala sin x
• Integral Sin x Dokaz z metodo zamenjave
• Določen integral sin x
• Integral Sin x Od 0 do π
• Integral Sin x Od 0 do π/2

Kaj je integral sin x?

Integral sin(x) glede x je -cos(x) plus konstanta (C). To pomeni, da ko diferencirate -cos(x) glede na x, dobite sin(x). Konstanta integracije (C) predstavlja vsako dodatno konstantno vrednost, ki je lahko prisotna v izvirni funkciji.

Integral sin x fizikalno označuje površino, ki jo pokriva sinusna krivulja.

učiti se,

• Račun v matematiki
• Integracija v matematiki

Integral Sin x Formula

Integral sinusne funkcije, ∫ sin(x) dx, je enak -cos(x) + C, kjer je C konstanta integracije.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Tu je cos(x) kosinusna funkcija, C pa predstavlja konstanto, ki je dodana protiizpeljanki, saj je izpeljanka konstante nič.

Grafični pomen integrala sin x

Integral sin(x) od (a) do (b) ima grafični pomen v smislu izračuna površine pod krivuljo znotraj tega intervala. Raziščimo grafični pomen tako z metodo določenega integrala kot z geometrijsko metodo.

Metoda določenega integrala

Integral sin(x) od (a) do (b) je podan z:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

To predstavlja območje s predznakom med krivuljo sin(x) in osjo x od (a) do (b).

Geometrijska metoda

Razmislite o grafu sin(x) od (a) do (b). Območje pod krivuljo lahko razdelimo na dve regiji:

• Pozitivno območje: Območja, kjer je sin(x) pozitiven (nad osjo x). To prispeva k pozitivni površini pod krivuljo.
• Negativno območje: Območja, kjer je sin(x) negativen (pod osjo x). To prispeva k negativni površini pod krivuljo.

Skupna površina je algebraična vsota teh pozitivnih in negativnih ploščin.

primer:

Da bi našli ploščino pod krivuljo sin(x) od ( a = 0 ) do ( b = π/2 ).

Z metodo določenega integrala:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

To je označeno območje pod krivuljo.

Z uporabo geometrijske metode:

Graf sin(x) od 0 do (π/2) je četrtina kroga in ploščina je res 1.

Integracija sin x dokaz z metodo zamenjave

Za iskanje integrala sin(x) z uporabo substitucijske metode razmislimo o integralu:

Ena pogosta zamenjava za trigonometrične integrale vključuje dovolitev, da je u enak izrazu znotraj trigonometrične funkcije. V tem primeru naj bo u = cos(x). Nato izračunajte du glede na dx:

du/dx = -sin(x)

Zdaj rešite za dx:

dx = -1/sin(x) du

Zdaj nadomestite u in dx v smislu u v prvotni integral:

Integral sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Poenostavite izraz:

Integral sin(x) dx = -∫ du

Zdaj integriraj glede na u:

Integral sin(x) dx = -u + C

Zdaj nadomestite nazaj za u, ki je bil definiran kot cos(x):

Integral sin(x) dx = -cos(x) + C

Z uporabo substitucijske metode smo torej prišli do enakega rezultata kot pri dokazu z odpeljankami. Integral sin(x) je -cos(x) + C, kjer je C konstanta integracije.

Določen integral sin x

Določen integral sin(x) od a do b, označen kot

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Izračuna neto površino pod sinusno krivuljo med x = a in x = b, pri čemer upošteva smer površine nad in pod osjo x.

učiti se, Določen integral

Integral Sin x Od 0 do Pi

Če želite najti integral sin(x) od 0 do π, lahko uporabimo antiizpeljavo. Antiizpeljava sin(x) je -cos(x). Če ovrednotimo ta protiodvod od 0 do π, dobimo:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Ker je cos(π) -1 in cos(0) 1, se izraz poenostavi na:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Torej je integral sin(x) od 0 do π enak 2. To predstavlja območje s predznakom med krivuljo sin(x) in osjo x od x = 0 do x = π.

Integral Sin x Od 0 do Pi /2

Določeni integral predstavlja območje s predznakom med krivuljo in osjo x v danem intervalu.

Integral je podan kot:

∫₀^p/2sin(x) dx

Uporaba antiizpeljave -cos(x) za ovrednotenje integrala:

cos(x) |[0 do π/2]

Zdaj nadomestite π/2 v -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Spomnimo se, da je cos(π/2) = 0 in cos(0) = 1. Nadomestite te vrednosti:

-(0) – (-1)

Poenostavite:

0 + 1 = 1

Določen integral sin(x) od 0 do π/2 je enak 1. To pomeni, da je območje s predznakom med sinusno krivuljo in osjo x od x = 0 do x = π/2 enako 1.

Prav tako preverite

• Integracija Cos x
• Integracija Tan x
• Integracijske formule

Integral sin x – rešeni primeri

Primer 1: Poiščite integral sin2(x)

rešitev:

java string charat

Za brez²(x), lahko uporabite formulo, ki vključuje cos(2x).

∫brez²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Razdelite ga na dva dela:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integral dx je samo x. Integral cos(2x) vključuje uporabo formule sin(2x). Videti je takole:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Združite oba rezultata in dodajte konstanto C, da upoštevate morebitno konstanto v izvirnem integralu.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Primer 2: Poiščite sinusni integral ³ x.

rešitev:

Integral sinusa, kubiran glede na x, lahko zapišemo kot:

∫brez³x dx

Za poenostavitev uporabite trigonometrično identiteto:

brez³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Porazdeli in loči izraze:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integrirajte vsak izraz posebej:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Tu ( C ) predstavlja konstanto integracije.

Primer 3: Poiščite integral sin x ^-1

rešitev:

Integral sin(x)^-1lahko izrazimo s funkcijo arkusina. Integral je podan z:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Tu je (C) konstanta integracije.

Primer 4: Poiščite integral sin x ²

xor cpp

rešitev:

Integral sin²(x) glede na x je mogoče rešiti s trigonometrično istovetnostjo.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Zdaj integrirajte vsak izraz posebej:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

kjer je ( C ) konstanta integracije.

Primer 5: Poiščite integral sin x ^-3

rešitev:

Integral sin(x)^-3glede na (x) vključuje trigonometrično zamenjavo. To lahko rešite tako:

Naj bo u = sin(x), potem je du = cos(x)dx

Zdaj jih zamenjajte v integral:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³od

monitor s katodno cevjo

Zdaj integrirajte glede na (u):

∫u⁻³ti = u⁻²/−2 + C

Nadomestite nazaj glede na (x) z u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Torej, integral sin(x)^-3glede na (x) je -1/2sin²x , kjer je (C) konstanta integracije.

Primer 6: Poiščite integral sin inverzne x

rešitev:

Najti integral greha^-1(x) glede na (x) lahko uporabite integracijo po delih. Formula za integracijo po delih je:

∫udv=uv−∫vdu

u = greh^-1(x) in dv = dx

Zdaj poiščite (du) in (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Uporabite formulo integracije po delih:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Zdaj integrirajte preostali izraz na desni strani. Zamenjavo lahko uporabite tako, da pustite (t = 1 – x²), potem (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Zdaj zamenjajte nazaj glede na (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Vse skupaj:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

kjer je (C) konstanta integracije.

Primer 7: Poiščite integral od x sin 2x dx

rešitev:

Če želite poiskati integral od xsin(2x) glede na (x), lahko uporabite integracijo po delih. Formula za integracijo po delih je podana z:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x in dv = sin(2x)dx

Zdaj poiščite (du) in (v):

du = dx in v = -1/2cos(2x)

Uporabite formulo integracije po delih:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Zdaj integrirajte preostali izraz na desni strani. Integral od -1/2cos(2x) lahko najdemo tako, da pustimo (u = 2x) in uporabimo preprosto zamenjavo:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Nadomestite ta rezultat nazaj v prvotno enačbo:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Torej je integral xsin(2x) glede na (x) -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, kjer je (C) konstanta integracije.

Primer 8: Poiščite integral sin x cos 2x

rešitev:

Če želite poiskati integral sin(x) cos(2x) glede na (x), lahko uporabite integracijo po delih. Formula integracije po delih je:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) in dv = cos(2x)dx

Zdaj poiščite (du) in (v):

du = cos(x) dx in v = 1/2 sin(2x)

Uporabite formulo integracije po delih:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Zdaj integrirajte preostali izraz na desni strani. Ponovno lahko uporabite integracijo po delih:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

primeri programiranja python

Nadaljujte s postopkom, dokler integral ne postane obvladljiv. Po poenostavitvi boste dobili končni rezultat:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

kjer je (C) konstanta integracije.

Integral sin x – vprašanja za vajo

Q1. Poiščite sinusni integral od 0 do pi.

Q2. Izračunajte sinusni integral od -π/2 do π/2.

Q3. Poiščite vrednost integrala sinusa plus kosinusa glede na x.

Q4. Ovrednotite integral sinusa (2x) od 0 do π/3.

V5. Poiščite protiodvod sinusa (3x) glede na x.

V6. Izračunajte integral sinusa (2x) od π do 2π.

V7. Integrirajte funkcijo sinus na kvadrat glede na x.

V8. Izračunajte integral sinusa na kvadrat od -π/4 do π/4.

Integral sin x – pogosto zastavljena vprašanja

Kaj je integral sin x?

Integral sin x je -cos x

Kaj je Sin x?

Sin(x) je trigonometrična funkcija, ki predstavlja razmerje med dolžino stranice nasproti kota in dolžino hipotenuze v pravokotnem trikotniku.

Kaj je Range of Sin x?

Razpon Sin x je [-1, 1].

Kaj je integral in odvod sin x?

Integral sin x je -cos x in odvod si x je cos x

Kaj je integral Sin x in Cos x?

Integral sin x je -cos x + C in inegral cos x je sin x

Kaj je Integral od Sin 2x?

Integracija sin 2x je (-cos2x)/2 + c