Ekvivalenčni razred so skupina elementov množice, ki temelji na specifičnem pojmu enakovrednosti, ki ga definira ekvivalenčno razmerje. Ekvivalenčna relacija je relacija, ki zadošča trem lastnostim: refleksivnost, simetričnost in tranzitivnost. Ekvivalenčni razredi razdelijo množico S na disjunktne podmnožice. Vsaka podmnožica je sestavljena iz elementov, ki so med seboj povezani pod dano ekvivalenčno relacijo.

V tem članku bomo dovolj podrobno razpravljali o konceptu enakovrednega razreda, vključno z njegovo definicijo, primerom, lastnostmi in rešenimi primeri.

Kazalo

• Kaj so enakovrednostni razredi?
• Primeri enakovrednega razreda
• Lastnosti enakovrednih razredov
• Ekvivalenčni razredi in particija

Kaj so enakovrednostni razredi?

Ekvivalenčni razred je ime, ki ga damo podmnožici S, ki vključuje vse elemente, ki so enakovredni drug drugemu. Ekvivalent je odvisen od določenega razmerja, imenovanega ekvivalenčno razmerje. Če obstaja enakovredno razmerje med dvema elementoma, ju imenujemo enakovredno.

Definicija enakovrednega razreda

Glede na ekvivalenčno relacijo na množici S je ekvivalenčni razred glede na element a v S množica vseh elementov v S, ki so povezani z a, tj.

[a] ALI x je povezano z a

Na primer, upoštevajte množico celih števil ℤ in ekvivalenčno relacijo, definirano s kongruenco po modulu n. Dve celi števili a in b veljata za enakovredni (označeni kot (a ≡ b mod(n), če imata enak ostanek, ko ju delimo z n. V tem primeru je ekvivalenčni razred celega števila a množica vseh celih števil, ki imajo enak ostanek kot a pri deljenju z n.

poimenovanje v Javi

Kaj je ekvivalenčna relacija?

Za vsako relacijo R pravimo, da je ekvivalenčna realnost, če in samo če izpolnjuje naslednje tri pogoje:

• Refleksivnost: Za vsak element a je a povezan sam s seboj.
• simetrija: Če je a povezano z b, potem je b povezano z a.
• Prehodnost: Če je a povezano z b in je b povezano s c, potem je a povezano s c.

Preberite več o Ekvivalenčna relacija .

Nekaj ​​primerov ekvivalenčnega razmerja je:

Enakost na množici: Naj bo X poljubna množica in definirajte relacijo R na X tako, da a R b, če in samo če je a = b za a, b ϵ X.

• Refleksivnost: Za vsak a ϵ X, a = a (trivialno res).
• simetrija: Če je a = b, potem je b = a (trivialno res).
• Prehodnost: Če je a = b in b = c, potem je a = c (trivialno res).

Kongruenca po modulu n: Naj bo n pozitivno celo število in definirajte relacijo R na celih številih ℤ tako, da a R b, če in samo če je a – b deljivo z n.

• Refleksivnost: Za vsak a ϵ ℤ, a – a = 0 je deljivo z n.
• simetrija: Če je a – b deljiv z n, potem je -(a – b) = b – a prav tako deljiv z n.
• Prehodnost: Če je a – b deljiv z n in b – c deljiv z n, potem je a – c prav tako deljiv z n.

Primeri enakovrednega razreda

Dobro znan primer ekvivalenčne relacije je relacija enako (=). Z drugimi besedami, dva elementa dane množice sta enakovredni drug drugemu, če pripadata istemu ekvivalenčnemu razredu. Ekvivalenčna razmerja je mogoče pojasniti z naslednjimi primeri:

Ekvivalenčna relacija na celih številih

Ekvivalenčno razmerje: Kongruenca po modulu 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• Enakovrednostni razred 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• Ekvivalenčni razred 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Ekvivalenčni razred 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Enakovrednost razreda 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Ekvivalenčni razred 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Ekvivalenčna relacija realnih števil

Ekvivalenčno razmerje: Absolutna razlika (a ~ b, če |a – b| <1)

• Enakovrednostni razred 0: [0] = (-0,5, 0,5)
• Ekvivalenčni razred 1: [1] = (0,5, 1,5)
• Ekvivalenčni razred 2: [2] = (1,5, 2,5)
• Enakovrednost razreda 3: [3] = (2,5, 3,5)

Preberi več,

• Realna števila
• Cela števila
• Racionalna števila

Lastnosti enakovrednih razredov

Lastnosti ekvivalenčnih razredov so:

• Vsak element pripada točno enemu enakovrednemu razredu.
• Ekvivalenčni razredi so disjunktni, tj. presečišče katerih koli dveh enakovrednih razredov je ničelna množica.
• Unija vseh ekvivalenčnih razredov je izvirna množica.
• Dva elementa sta enakovredna, če in samo če sta njuna ekvivalenčna razreda enaka.

Preberi več,

• Zveza sklopov
• Presečišče množic
• Disjunktne množice

Ekvivalenčni razredi in particija

Skupine elementov v nizu, povezane z ekvivalenčnim odnosom, medtem ko se zbirka teh ekvivalenčnih razredov, ki pokriva celoten niz brez prekrivanja, imenuje particija.

Razlika med enakovrednostnimi razredi in particijo

Ključna razlika med enakovrednostnimi razredi in particijo je podana v naslednji tabeli:

Rešeni primeri o ekvivalenčnem razredu

Primer 1: Dokažite, da je relacija R ekvivalenčni tip v množici P= { 3, 4, 5,6 }, podani z relacijo R = (p, q):.

rešitev:

podano: R = (p, q):. Kjer p, q pripada P.

Refleksivna lastnost

Iz navedene relacije |p – p| = | 0 |=0.

• In 0 je vedno sodo.
• Zato |p – p| je celo.
• Zato se (p, p) nanaša na R

Torej je R refleksiven.

Simetrična lastnost

Iz dane relacije |p – q| = |q – p|.

• Vemo, da je |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Zato |p – q| je celo.
• Naslednji |q – p| je tudi celo.
• V skladu s tem, če (p, q) ∈ R, potem tudi (q, p) pripada R.

Zato je R simetričen.

zemljevid java

Prehodna lastnina

• Če je |p – q| je sodo, potem je (p-q) sodo.
• Podobno, če je |q-r| je sodo, potem je tudi (q-r) sodo.
• Vsota sodih števil je preveč soda.
• Torej ga lahko naslovimo kot p – q+ q-r je sodo.
• Nato je p – r bolj sodo.

V skladu s tem

• |p – q| in |q-r| je sodo, potem |p – r| je celo.
• Posledično, če (p, q) ∈ R in (q, r) ∈ R, potem se (p, r) nanaša tudi na R.

Zato je R tranzitiven.

2. primer: obravnavajte A = {2, 3, 4, 5} in R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

rešitev:

Podano: A = {2, 3, 4, 5} in

Relacija R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

Da je R ekvivalenčna relacija, mora R izpolnjevati tri lastnosti, tj. refleksivno, simetrično in tranzitivno.

Refleksno : Relacija R je refleksivna, ker (5, 5), (2, 2), (3, 3) in (4, 4) ∈ R.

Simetrično : Relacija R je simetrična, kadar koli se (a, b) ∈ R, (b, a) nanaša tudi na R, tj. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Prehodno : Relacija R je tranzitivna, saj kadar se (a, b) in (b, c) nanašata na R, se (a, c) nanaša tudi na R, tj. (3, 5) ∈ R in (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

V skladu s tem je R refleksiven, simetričen in prehoden.

Torej je R ekvivalenčna relacija.

Vadbene naloge v razredu enakovrednosti

Problem 1: aRb, če je a+b sodo. Ugotovite, ali gre za ekvivalenčno relacijo in njene lastnosti.

Problem 2: xSy, če imata x in y isti mesec rojstva. Analizirajte, ali gre za ekvivalenčno razmerje.

Problem 3: Razmislite o A = {2, 3, 4, 5} in R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Potrdite, da je R relacija enakovrednega tipa.

Problem 4: Dokažite, da je relacija R ekvivalenčni tip v množici P= { 3, 4, 5,6 }, podani z relacijo R = je sodo .

Ekvivalenčni razred: pogosta vprašanja

1. Kaj je enakovrednostni razred?

Ekvivalenčni razred je podmnožica znotraj množice, oblikovana z združevanjem vseh elementov, ki so enakovredni drug drugemu v danem ekvivalenčnem razmerju. Predstavlja vse člane, ki se v tem razmerju štejejo za enake.

binarni iskalni algoritem

2. Kaj je simbol za ekvivalenčni razred?

Simbol za enakovrednostni razred je običajno zapisan kot [a], kjer je a reprezentativni element razreda. Ta zapis označuje množico vseh elementov, enakovrednih a pod določeno ekvivalenčno relacijo.

3. Kako najdete ekvivalenčni razred množice?

Če želite najti razred enakovrednosti niza, sledite tem korakom:

Korak 1: Definirajte ekvivalenčno relacijo.

2. korak: Izberite element iz niza.

3. korak: Določite enakovredne elemente izbranim elementom.

4. korak: Oblikujte Ekvivalenčni razred, ki vsebuje vse elemente, enakovredne izbranemu elementu.

4. Kakšna je razlika med enakovrednim razredom in particijo?

Ekvivalenčni razredi so podmnožice, ki jih tvori ekvivalenčna relacija, medtem ko so particije neprekrivajoče se podmnožice, ki pokrivajo celotno množico. Vsak ekvivalenčni razred je podmnožica v particiji, vendar vsaka particija ne izhaja iz ekvivalenčne relacije.

5. Kaj je ekvivalenčna relacija?

Relacija, ki je refleksivna, simetrična in tranzitivna, ki deli množico na nepovezane podmnožice.