Enačba premice v ravnini je podan kot y = mx + C kjer sta x in y koordinati ravnine, m je naklon premice in C je presečišče. Konstrukcija proge pa ni omejena le na ravnino.

Vemo, da je črta pot med dvema točkama. Ti dve točki se lahko nahajata kjerkoli, ne glede na to, ali sta lahko v eni ravnini ali v prostoru. V primeru ravnine je lokacija črte označena z dvema koordinatama, razporejenima v urejen par, podana kot (x, y), medtem ko je v primeru prostora lokacija točke označena s tremi koordinatami, izraženimi kot (x , y, z).

V tem članku se bomo naučili različnih oblik enačb črt v 3D prostoru.

Kazalo

• Kaj je enačba črte?
• Enačba črte v 3D
• Kartezična oblika enačbe črte v 3D
• Vektorska oblika enačbe črte v 3D
• Formule 3D črt
• Rešeni primeri enačbe premice v 3D

Kaj je enačba črte?

Enačba premice je algebrski način za izražanje premice v smislu koordinat točk, ki jih povezuje. Enačba premice bo vedno a linearna enačba .

Če poskušamo narisati točke, dobljene iz linearne enačbe, bo to a ravna črta . Standardna enačba črte je podana kot:

ax + by + c = 0

kje,

• a in b sta koeficienta x in y
• c je stalni člen

Spodaj so navedene druge oblike enačbe črte:

Zdaj se bomo naučili enačbe premice v 3D.

velikosti besedila iz lateksa

Enačba črte v 3D

Enačba ravne črte v 3D zahteva dve točki, ki se nahajata v prostoru. Lokacija vsake točke je podana s tremi koordinatami, izraženimi kot (x, y, z).

3D enačba črte je podana v dveh formatih, kartezijanska oblika in vektorski obliki . V tem članku se bomo naučili enačbe črte v 3D v kartezični in vektorski obliki ter se naučili tudi izpeljati enačbo. Spodaj so navedeni različni primeri za enačbo črte:

• Kartezijanska oblika črte
  • Premica, ki poteka skozi dve točki
  • Premica, ki poteka skozi dano točko in je vzporedna z danim vektorjem
• Vektorska oblika črte
  • Premica, ki poteka skozi dve točki
  • Premica, ki poteka skozi dano točko in je vzporedna z danim vektorjem

Kartezična oblika enačbe črte v 3D

Kartezična oblika premice je podana z uporabo koordinat dveh točk v prostoru, iz katerih premica poteka. V tem delu bomo obravnavali dva primera, ko premica poteka skozi dve točki in ko premica poteka skozi točki in je vzporedna z vektorjem.

Primer 1: 3D enačba premice v kartezični obliki, ki poteka skozi dve točki

Predpostavimo, da imamo dve točki A in B, katerih koordinate so podane kot A(x₁, in₁, z₁) in B(x₂, in₂, z₂).

Nato je 3D enačba premice v kartezični obliki podana kot

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

kjer so x, y in z pravokotne koordinate.

Izpeljava enačbe premice, ki poteka skozi dve točki

Kartezično obliko 3D enačbe premice lahko izpeljemo z uporabo naslednjih omenjenih korakov:

• Korak 1: Poiščite DR (razmerja smeri) tako, da vzamete razliko ustreznih koordinat položaja dveh danih točk. l = (x₂– x₁), m = (in₂- in₁), n = (z₂- Z₁); Tukaj l, m, n so DR-ji.
• 2. korak: Izberite eno od dveh danih točk, recimo, mi izberemo (x₁, in₁, z₁).
• 3. korak: Zapišite zahtevano enačbo premice, ki poteka skozi točke (x₁, in₁, z₁) in (x₂, in₂, z₂).
• 4. korak: 3D enačba premice v kartezični obliki je podana kot L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(in₂- in₁) = (z – z₁)/(Z₂- Z₁)

Kje (X in Z) so koordinate položaja katere koli spremenljive točke, ki leži na premici.

primer: Če premica poteka skozi dve fiksni točki v 3-dimenzionalnem, katerih koordinate položaja so P (2, 3, 5) in Q (4, 6, 12), potem je njena kartezična enačba z uporabo dvotočkovne oblike podana z

rešitev:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Izbira točke P (2, 3, 5)

Zahtevana enačba premice

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Primer 2: 3D enačba kartezične premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z danim vektorjem

Predpostavimo, da premica poteka skozi točko P(x₁, in₁, z₁) in je vzporeden z vektorjem, podanim kotvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Potem je enačba premice podana kot

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

kjer so x, y, z pravokotne koordinate in a, b, c smerni kosinus.

Izpeljava 3D enačbe kartezične premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z danim vektorjem

Predpostavimo, da imamo točko P, katere položajni vektor je podan kotvec pod izvora. Naj bo premica, ki poteka skozi P, vzporedna z drugim vektorjemvec n. Vzemimo točko R na premici, ki poteka skozi P, potem je položajni vektor R podan kotvec r .

objektni razred v Javi

Ker je PR vzporeden zvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Zdaj, če se premikamo po premici PR, bo imela koordinata katere koli točke, ki leži na premici, koordinato v obliki (x₁+ λa), (in₁+ λb), (z₁+ λc), kjer je λ parameter, katerega vrednost se giblje od -∞ do +∞, odvisno od smeri iz P, kamor se premikamo.

Zato bodo koordinate nove točke

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

Če primerjamo zgornje tri enačbe, dobimo enačbo črte kot

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

primer: Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točko (2, 1, 3) in je vzporedna z vektorjem 3i – 2j + k

rešitev:

Enačba premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z vektorjem, je podana kot

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

Iz vprašanja, ki ga imamo, x₁= 2 in₁= 1, z₁= 3 in a = 3, b = -2 in c = k. Zato bo zahtevana enačba premice

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorska oblika enačbe črte v 3D

Vektorska oblika enačbe premice v 3D je podana z vektorsko enačbo, ki vključuje vektor položaja točk. V tem naslovu bomo dobili 3D enačbo premice v vektorski obliki za dva primera.

Primer 1: 3D enačba premice, ki poteka skozi dve točki v vektorski obliki

Predpostavimo, da imamo dve točki A in B, katerih vektor položaja je podan kotvec ainvec b.

java primerek

Potem je vektorska enačba črte L podana kot

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

kje(vec b – vec a)je razdalja med dvema točkama in λ je parameter, ki leži na zvezi.

Izpeljava 3D enačbe premice, ki poteka skozi dve točki v vektorski obliki

Recimo, da imamo dve točki A in B, katerih položajni vektor je podan kotvec ainvec b. Zdaj vemo, da je črta razdalja med katerima koli točkama. Zato moramo odšteti dva vektorja položaja, da dobimo razdaljo.

⇒vec d = vec b – vec a

Zdaj vemo, da bo katera koli točka na tej premici podana kot vsota vektorja položajavec a space or space vec b s produktom parametra λ in vektorja položaja razdalje med dvema točkama, tj.vec d

Zato bo enačba premice v vektorski oblikivec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ozvec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Primer: poiščite vektorsko enačbo premice v 3D, ki poteka skozi dve točki, katerih vektorja položaja sta podana kot 2i + j – k in 3i + 4j + k.

rešitev:

Glede na to, da sta vektorja položaja podana kot 2i + j – k in 3i + 4j + k

Razdalja d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Vemo, da je enačba premice podana kotvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Zato bo enačba premicevec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Primer 2: Vektorska oblika 3D enačbe premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z vektorjem

Recimo, da imamo točko P, katere vektor položaja je podan kotvec p. Naj bo ta premica vzporedna z drugo premico, katere vektor položaja je podan kotvec d .

Nato je vektorska enačba premice 'l' podana kot

vec l = vec p + lambda vec d

kjer je λ parameter, ki leži na premici.

Izpeljava vektorske oblike 3D enačbe premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z vektorjem

Razmislite o točki P, katere vektor položaja je podan kotvec p. Predpostavimo, da je ta premica vzporedna z vektorjemvec dpotem bo enačba premicevec l = lambda vec d. Ker premica poteka tudi skozi točko P, ko se oddaljujemo od točke P v obe smeri na premici, bo položajni vektor točke v oblikivec p + lambda vec d . Zato bo enačba premicevec l = vec p + lambda vec dkjer je λ parameter, ki leži na premici.

Primer: Poiščite vektorsko obliko enačbe premice, ki poteka skozi točko (-1, 3, 2) in je vzporedna z vektorjem 5i + 7j – 3k.

rešitev:

Vemo, da je vektorska oblika enačbe premice, ki poteka skozi točko in je vzporedna z vektorjem, podana kotvec l = vec p + lambda vec d

Glede na to, da je točka (-1, 3, 2), bo torej položajni vektor točke -i + 3j + 2k in dani vektor 5i + 7j – 3k.

Zato bo zahtevana enačba premicevec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formule 3D črt

Podobna branja

• Enačba premice
• Tangenta in normala
• Naklon črte

Rešeni primeri enačbe premice v 3D

Vadite enačbe črte v 3D s temi rešenimi praktičnimi vprašanji.

Primer 1: Če premica poteka skozi dve fiksni točki v 3-dimenzionalnem, katerih vektorja položaja sta (2 i + 3 j + 5 k) in (4 i + 6 j + 12 k), potem njena vektorska enačba z uporabo dveh točk obrazec daje

rešitev:

{vec {p}}= (4 jaz + 6 j + 12 k ) - (2 jaz + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 jaz + 3 j + 7 k ) ; Tukaj{vec {p}}je vektor, vzporeden premici

Izbira vektorja položaja (2 jaz + 3 j + 5 k )

Zahtevana enačba premice

L:{vec {r}}= (2 jaz + 3 j + 5 k ) + t . (2 jaz + 3 j + 7 k )

Primer 2: Če premica poteka skozi dve fiksni točki v 3-dimenzionalnem prostoru, katerih koordinate položaja so (3, 4, -7) in (1, -1, 6), potem njena vektorska enačba z uporabo dveh točk obrazec daje

rešitev:

Vektorji položaja danih točk bodo (3 i + 4 j – 7 k) in (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ; Tukaj{vec {p}}je vektor, vzporeden premici

Izbira vektorja položaja (i – j + 6 k)

Zahtevana enačba premice

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Primer 3: Če premica poteka skozi dve fiksni točki v 3-dimenzionalnem, katerih vektorja položaja sta (5 i + 3 j + 7 k) in (2 i + j – 3 k), potem njena vektorska enačba z uporabo dvotočkovne oblike daje

rešitev:

vrzi obravnavanje izjem v Javi

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k) ; Tukaj{vec {p}}je vektor, vzporeden premici

Izbira vektorja položaja (2 i + j – 3 k)

Zahtevana enačba premice

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Primer 4: Če premica poteka skozi dve fiksni točki v 3-dimenzionalnem, katerih koordinate položaja so A (2, -1, 3) in B (4, 2, 1), potem njena kartezična enačba z uporabo dveh točk obrazec daje

rešitev:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Izbira točke A (2, -1, 3)

Zahtevana enačba premice

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 ali

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Primer 5: Če premica poteka skozi dve fiksni točki v 3-dimenzionalnem, katerih koordinate položaja so X (2, 3, 4) in Y (5, 3, 10), potem je njena kartezična enačba z uporabo dvotočkovne oblike podana z

rešitev:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Izbira točke X (2, 3, 4)

Zahtevana enačba premice

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 ali

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Enačba črte v 3D – pogosta vprašanja

Kaj je enačba črte v 3D?

Enačba črte v 3D je podana kot (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(in₂- in₁) = (z – z₁)/(Z₂- Z₁)

Kaj je kartezična oblika enačbe črte v 3D?

Kartezična oblika enačbe premice v 3D je podana za dva primera

Primer 1: Ko premica poteka skozi dve točki:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Primer 2: Ko premica poteka skozi eno točko in je vzporedna z vektorjem:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

kaj je android velikonočno jajce

Kaj je vektorska oblika enačbe črte v 3D?

Vektorska oblika enačbe premice v 3D je podana za dva primera:

Primer 1: Premica, ki poteka skozi dve točki:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Primer 2: Premica poteka skozi točko in je vzporedna z vektorjem:vec l = vec p + lambda vec d

Kaj je enačba naklonske točke premice?

Enačba točke naklona premice je podana kot y = mx + C, kjer je m naklon

Kaj je standardna enačba črte?

Standardna enačba premice je ax + by + c = 0