Slavni matematik DeMorgan izumil dva najpomembnejša izreka Boolove algebre. DeMorganovi izreki se uporabljajo za matematično preverjanje enakovrednosti vrat NOR in negativnega IN ter vrat negativnega ALI in NAND. Ti izreki igrajo pomembno vlogo pri reševanju različnih logičnih algebrskih izrazov. V spodnji tabeli je definirana logična operacija za vsako kombinacijo vhodne spremenljivke.
| Vhodne spremenljivke | Izhodni pogoj | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | IN | NAND | ALI | NE |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Pravila De-Morganovega izreka so izdelana iz logičnih izrazov za ALI, IN in NE z uporabo dveh vhodnih spremenljivk x in y. Prvi Demorganov izrek pravi, da če izvedemo operacijo IN dveh vhodnih spremenljivk in nato izvedemo operacijo NE rezultata, bo rezultat enak operaciji ALI komplementa te spremenljivke. Drugi DeMorganov izrek pravi, da če izvedemo operacijo ALI dveh vhodnih spremenljivk in nato izvedemo NE operacije rezultata, bo rezultat enak operaciji IN komplementa te spremenljivke.
De-Morganov prvi izrek
V skladu s prvim izrekom je rezultat komplementa operacije IN enak operaciji ALI komplementa te spremenljivke. Tako je enakovredna funkciji NAND in je funkcija negativnega ALI, ki dokazuje, da je (A.B)' = A'+B' in to lahko prikažemo z naslednjo tabelo.
| Vložki | Izhod za vsak izraz | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)' | a' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morganov drugi izrek
V skladu z drugim izrekom je rezultat komplementa operacije ALI enak operaciji IN komplementa te spremenljivke. Tako je enakovredna funkciji NOR in je funkcija negativnega IN, ki dokazuje, da je (A+B)' = A'.B' in to lahko pokažemo z naslednjo tabelo resnic.
| Vložki | Izhod za vsak izraz | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | a' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Vzemimo nekaj primerov, v katerih vzamemo nekaj izrazov in uporabimo DeMorganove izreke.
Primer 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Primer 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Primer 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Za uporabo DeMorganovega izreka na ta izraz moramo slediti naslednjim izrazom:
1) V popolnem izrazu najprej poiščemo tiste člene, na katere lahko uporabimo DeMorganov izrek in vsak člen obravnavamo kot eno samo spremenljivko.
Torej,
2) Nato uporabimo prvi DeMorganov izrek. Torej,
3) Nato uporabimo pravilo številka 9, tj. (A=(A')') za preklic dvojnih palic.
4) Nato uporabimo drugi DeMorganov izrek. Torej,
5) Ponovno uporabite pravilo številka 9, da prekličete dvojno palico
Zdaj ta izraz nima izraza, v katerem bi lahko uporabili katero koli pravilo ali izrek. Torej, to je končni izraz.
Primer 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
javascript komentar
