Tetiva kroga je premica, ki povezuje katerikoli dve točki na obodu kroga. Krog ima lahko različne tetive in največja tetiva kroga je premer kroga. Dolžino tetive lahko enostavno izračunamo s formulo za dolžino tetive. Kot že ime pove, je to formula za izračun dolžine tetive v krogu v geometriji.

V tem članku bomo spoznali definicijo tetive, izreke o tetivah in krogu, razložili bomo njegove lastnosti in formule za izračun dolžine tetive z uporabo različnih metod. Članek vsebuje tudi nekaj rešenih vzorčnih problemov za boljše razumevanje.

Kazalo

• Opredelitev kroga
• Tetiva kroga Definicija
• Kaj je formula za dolžino strune?
• Izreki o tetivi kroga
• Lastnosti tetiv kroga
• Rešeni problemi
• pogosta vprašanja

Opredelitev kroga

Krog je popolna okrogla oblika, sestavljena iz vseh točk v ravnini, ki so na dani razdalji od dane točke. Sestavljeni so iz zaprte ukrivljene črte okoli središča. Točke na premici so enako oddaljene od središčne točke. Razdalja do središča kroga se imenuje polmer.

Tetiva kroga Definicija

Odsek črte, ki povezuje kateri koli dve točki na obodu kroga, je znan kot tetiva kroga. Ker premer povezuje obe točki na obodu kroga, je torej tudi tetiva kroga. Pravzaprav je premer najdaljša tetiva kroga. Z drugimi besedami, tetiva je odsek črte, katerega oba konca ležita na obodu kroga. Naslednja ilustracija nam lahko pomaga razumeti več.

Kaj je formula za dolžino strune?

Obstajata dve osnovni metodi ali formuli za izračun dolžine tetive. dolžino tetive je mogoče določiti z uporabo pravokotne razdalje od središča kroga kot tudi s trigonometrično metodo. Tako je mogoče najti dolžino tetive

• Uporaba Pitagorovega izreka
• Uporaba kosinusnega zakona

Razumejmo te metode podrobno na naslednji način:

1. način: Uporaba Pitagorovega izreka

V naslednjem diagramu za tetivo, kot vemo, navpičnica, narisana iz središča kroga na tetivo, le-to razpolovi na dve polovici.

V trikotnikih OAM z uporabo Pitagorov izrek ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Ker je x polovica dolžine tetive,

Tako je dolžina tetive za kateri koli krog z znano pravokotno razdaljo od središča podana kot

Dolžina tetive kroga = 2 × [√(r ² – d ² )]

Kje,

• r je polmer kroga in
• d je pravokotna razdalja med središčem kroga in tetivo.

2. metoda: uporaba kosinusnega zakona

Kot vemo za trikotnik ABC s stranicami a, b in c, je Kosinusni zakon države,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Z uporabo tega zakona v naslednjem diagramu tetive, ki zajema kot θ v središču kroga, lahko poiščemo dolžino tetive.

V trikotniku OAB z uporabo zakona kosinusa

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Tako je dolžina strune podana z:

Dolžina tetive = 2r × sin [θ/2]

Kje,

• jaz je kot, ki ga oklepa tetiva v središču, in
• r je polmer kroga.

Druga sorodna formula za dolžino strune

Če si dva kroga delita skupno tetivo, lahko dolžino te skupne tetive izračunate s formulo

Dolžina skupne tetive dveh krogov = 2R ₁ × R ₂ / D

Kje,

• R ₁ in R ₂ se nanaša na polmer krogov
• D je razdalja med obema središčema kroga

Izreki o tetivi kroga

Tetiva kroga je pod kotom v središču kroga, kar nam pomaga dokazati različne pojme v krogu. Obstajajo različni izreki, ki temeljijo na tetivi kroga,

• Izrek 1: Izrek o enakih tetivah in enakih kotih
• Izrek 2: Izrek o enakih kotih in enakih tetivah (obrat izreka 1)
• Izrek 3: Izrek o enakih tetivah, enako oddaljenih od središča

Zdaj pa o tem razpravljajmo v spodnjem članku.

Izrek 1: Izrek o enakih tetivah in enakih kotih

Izjave: Enake tetive segajo pod enake kote v središču kroga, tj. koti, ki jih tetiva sega, so enaki, če je tetiva enaka.

Dokaz:

Iz figure,

V ∆AOB in ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (podano)
• OA = OD …eq(ii) (polmer kroga)
• OB = OC …eq(iii) (polmer kroga)

Tako sta po pogojih skladnosti SSS trikotnik ∆AOB in ∆COD skladna.

torej

∠AOB = ∠DOC (po CPCT)

Tako je izrek preverjen.

Izrek 2: Izrek o enakih kotih in enakih tetivah (konverzija izreka 1)

Izjava: Tetive, ki se sekajo pod enakimi koti v središču kroga, so enako dolge. To je obratno od prvega izreka.

Iz figure,

V ∆AOB in ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (podano)
• OA = OD …eq(ii) (polmer kroga)
• OB = OC …eq(iii) (polmer kroga)

Tako sta po pogojih skladnosti SAS trikotnik ∆AOB in ∆COD skladna.

torej

AB = CD (po CPCT)

Tako je izrek preverjen.

Izrek 3: Izrek o enakih tetivah, enako oddaljenih od središča

Izjava: Enaki tetivi sta enako oddaljeni od središča, to pomeni, da je razdalja med središčem kroga in enako tetivo vedno enaka.

Iz figure,

V ∆AOL in ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 stopinj)
• OA = OC …eq(ii) (polmer kroga)
• OL = OM …eq(iii) (podano)

Tako sta po pogojih skladnosti RHS trikotnik ∆AOB in ∆COD skladna.

torej

AL = CM (po CPCT)…(iv)

Sedaj vemo, da navpičnica, ki poteka iz središča, razpolovi tetive.

Iz enačbe (iv)

2AL=2CM

AB = CD

Tako je izrek preverjen.

Lastnosti tetiv kroga

Obstajajo različne lastnosti akordov v krogu, nekatere od teh lastnosti so naslednje:

• Tetiva, ki poteka skozi središče kroga, se imenuje premer in je najdaljša tetiva v krogu.
• Navpičnica na tetivo, ki je potegnjena iz središča kroga, razpolovi tetivo.
• Tetive, ki so enako oddaljene od središča kroga, so enako dolge.
• Obstaja samo en krog, ki poteka skozi tri kolinearne točke.
• Tetive, ki so enako dolge, segajo pod enake kote v središču kroga.
• Simetrala tetive poteka skozi središče kroga.
• Če je polmer pravokoten na tetivo, potem razpolovi tetivo in lok, ki ga prestreže. To je znano kot izrek pravokotne simetrale.
• Če so koti s tetivo enaki, so enake tudi dolžine tetiv.
• Če se dve tetivi v krogu sekata, je zmnožek odsekov ene tetive enak zmnožku odsekov druge tetive. To je znano kot izrek o presekajočih se tetivah.
• Kot, ki ga oklepa tetiva v središču, je dvakrat večji od kota, ki ga oklepa tetiva na obodu.

Preberi več,

• Enačba kroga
• Območje kroga
• Obseg kroga

Rešene naloge o tetivi kroga

Problem 1: Krog je kot 70 stopinj, katerega polmer je 5 cm. Izračunaj dolžino tetive kroga.

rešitev:

dano

• Polmer = 5 cm
• Kot = 70°

zdaj,

dolžina tetive = 2R × Sin [kot/2]

= 2 × 5 × greh [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Problem 2: V krogu , polmer je 7 cm, pravokotna razdalja od središča kroga do njegovih tetiv pa 6 cm. Izračunaj dolžino tetive.

rešitev:

dano

• Polmer = 7 cm
• Razdalja = 6 cm

zdaj,

Dolžina tetive = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 cm

3. naloga: Krog je kot 60 stopinj, katerega polmer je 12 cm. Izračunaj dolžino tetive kroga.

rešitev:

dano

• Polmer = 12 cm
• Kot = 60°

zdaj,

dolžina tetive = 2R × Sin [kot/2]

⇒ 2 × 12 × greh [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Naloga 4: V krogu je polmer 16 cm, pravokotna razdalja od središča kroga do njegovih tetiv pa 5 cm. Izračunaj dolžino tetive.

rešitev:

dano

• Polmer = 16 cm
• Razdalja = 5 cm

zdaj,

Dolžina tetive = 2 √r²– d²

⇒ 2 √ (16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

6. naloga: Izračunaj dolžino skupne tetive med krožnicama s polmeroma 6 cm oziroma 5 cm. In razdalja med obema središčema je bila izmerjena na 8 cm.

rešitev:

dano

Razdalja med obema središčema = 8 cm

Polmer obeh krogov je R₁in R₂z dolžino 6 cm oziroma 5 cm

zdaj,

Dolžina skupne tetive dveh krogov = (2R₁× R₂) / Razdalja med dvema središčema krogov

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Pogosta vprašanja o akordu kroga

Določite akord.

Odsek črte, ki povezuje dve točki na obodu kroga, je znan kot tetiva.

Kaj je formula za dolžino strune?

Formula za dolžino tetive izračuna dolžino tetive v krogu.

Ali je lahko dolžina tetive večja od premera kroga?

Ne, dolžina tetive ne more biti večja od premera, saj je premer najdaljša tetiva kroga.

pvr polna oblika

Kako vpliva na dolžino tetive, če je bližje središču kroga?

Ko se tetiva približuje središču kroga, se njena dolžina približuje največji dolžini, tj. premeru.

Kako vpliva na dolžino tetive, če je bližje robu kroga?

Ko se tetiva približa robu kroga, se njena dolžina približa 0. Tako sta dolžina tetive in njena oddaljenost od roba obratno povezani.

Kakšno je razmerje med dolžino tetive in središčnim kotom kroga?

Razmerje med dolžino tetive e in središčnim kotom kroga je naslednje:

Dolžina tetive = 2r × sin [θ/2]

Kje,

• jaz je kot, ki ga sklene tetiva v središču, in
• r je polmer kroga.

Ali se lahko formula za dolžino tetive uporabi za kateri koli krog?

Da, formulo dolžine tetive je mogoče uporabiti za kateri koli krog, če sta znana polmer in središčni kot.

Ali je premer tetiva kroga?

Da, premer je tetiva kroga. Je najdaljši možni akord kroga. Enak je dvakratnemu polmeru kroga.

D = 2r

Kje,

• D je premer kroga
• r je polmer kroga