logo

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija, znana tudi kot A.P., je zaporedje v matematiki, kjer je razlika med dvema zaporednima členoma konstanta. Konstanta je znana kot skupna razlika. Aritmetična progresija je zaporedje števil po vrstnem redu, v katerem je razlika med dvema zaporednima številoma stalna vrednost.

V tem članku bomo podrobno spoznali definicijo aritmetične progresije, formule aritmetične progresije, povezane primere in druge podrobnosti.



upravitelj opravil za linux

Kazalo

Kaj je aritmetična progresija?

Aritmetična progresija (AP) je zaporedje števil, v katerem je razlika med dvema zaporednima številoma stalna vrednost. Z drugimi besedami, lahko aritmetično progresijo opredelimo kot Matematično zaporedje, v katerem je razlika med dvema zaporednima členoma vedno konstanta.

Aritmetična progresija



Na primer, zaporedje števil: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… je v aritmetičnem napredovanju, ki ima skupno razliko (d) med dvema zaporednima členoma (recimo 1 in 2) enako 1 (2 – 1). Opaziti je mogoče skupno razliko med dvema zaporednima členoma, tudi za liha števila in soda števila, ki jim je 2 enako. V AP so trije glavni izrazi skupna razlika (d), n-ti izraz (an) in vsota prvih n členov (Sn); vsi trije izrazi predstavljajo lastnosti AP. Oglejmo si podrobneje, kaj je skupna razlika,

V AP naletimo na različne besede, kot so zaporedje, serije in napredovanje; zdaj pa poglejmo, kaj vsaka beseda definira,

  • Zaporedje je končen ali neskončen seznam števil, ki sledi določenemu vzorcu. Na primer, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... je zaporedje, ki je neskončno zaporedje celih števil.
  • serija je vsota elementov, ki jim zaporedje ustreza. Na primer 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. je niz naravnih števil. Vsako število v zaporedju ali seriji imenujemo izraz. Tukaj je 1 izraz, 2 je izraz, 3 je izraz itd.
  • Napredovanje je zaporedje, v katerem je splošni izraz mogoče izraziti z matematično formulo, ali zaporedje, ki uporablja matematično formulo, ki jo je mogoče opredeliti kot napredovanje.

Opomba: Obstajajo predvsem tri vrste napredovanja:



  1. Aritmetična progresija (AP)
  2. Geometrijska progresija (GP)
  3. Harmonično napredovanje (HP)

Zapisi v aritmetičnem napredovanju

V aritmetični progresiji bomo naleteli na naslednje zapise:

  • Prvi termin ⇢ a
  • Skupna razlika ⇢ d
  • N. člen ⇢ a n
  • Vsota prvih n členov ⇢ S n

Splošna oblika aritmetične progresije je a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Tukaj je nekaj primerov AP:

  • 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
  • 91, 81, 71, 61, 51, 41, …
  • p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
  • -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Skupna razlika aritmetičnega napredovanja

Skupna razlika je označena z d v aritmetični progresiji. To je razlika med naslednjim mandatom in tistim pred njim. Za aritmetično napredovanje je vedno konstanten ali enak. Z eno besedo, če je skupna razlika v določenem zaporedju konstantna, lahko rečemo, da je to A.P. Če je zaporedje1,a2, a3, a4, in tako naprej.

Z drugimi besedami, skupna razlika v aritmetični progresiji je označena z d. Razlika med naslednjim in predhodnim izrazom. Vedno je konstantna ali enaka za aritmetično napredovanje. Z drugimi besedami, lahko rečemo, da v danem zaporedju, če je skupna razlika konstantna ali enaka, potem lahko rečemo, da je dano zaporedje v Aritmetična progresija (AP).

Formula za iskanje skupne razlike je,

d = (a n + 1 – a n ) = (a n – a n-1 )

  • Če je skupna razlika pozitivna, potem AP se poveča . Na primer 4, 8, 12, 16 ... v teh serijah se AP poveča
  • Če je skupna razlika negativna, potem AP se zmanjša . Na primer -4, -6, -8…, tukaj se AP zmanjša.
  • Če je skupna razlika nič, potem AP bo konstanten . Na primer 1, 2, 3, 4, 5…, tukaj je AP konstanten.

Zaporedje aritmetičnega napredovanja bo kot a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,…

Skupna razlika (d) = a 2 – a 1 = d

a 3 – a 2 = d

a 4 – a 3 = d in tako naprej.

Prvi člen aritmetičnega napredovanja

Aritmetično napredovanje lahko zapišemo v smislu skupne razlike (d) kot:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

kje,

  • a je prvi izraz AP
  • d je pogosta razlika AP

N-ti člen aritmetičnega napredovanja

N-ti člen je mogoče najti z uporabo spodnje formule,

T n = a + (n − 1)d

kje,

  • a je prvi člen AP
  • d je skupna razlika
  • n je število izrazov
  • Tnje n-ti izraz
N-člen-aritmetične-progresije

N-ti člen aritmetičnega napredovanja

Opomba: Obnašanje aritmetičnega zaporedja temelji na vrednosti skupne razlike.

  • Če je d pozitiven, se bodo členi povečali do pozitivne neskončnosti.
  • Če je d negativen, se členi članov povečajo do negativne neskončnosti

Vsota aritmetične progresije

Formula vsote aritmetične progresije je razloženo spodaj; razmislite o AP, sestavljenem iz n členov.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Vsota aritmetične progresije, ko sta podana prvi in ​​zadnji člen,

S = n/2 (prvi člen AP + zadnji člen AP)

java string join

S = N/2[a+ a n ]

Formula aritmetične progresije (formule AP)

Za AP s prvim členom 'a' in skupno razliko 'd' so njegove različne formule:

  • Skupna razlika od AP: d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 4 – a 3 = … = a n – a n-1
  • n-to obdobje AP: a n = a + (n – 1)d
  • Vsota n pogojev AP: S n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , kjer je l zadnji člen aritmetične progresije.

Povzetek aritmetične progresije

  • Aritmetična progresija (AP) je zaporedje števil, v katerem je razlika med katerima koli dvema zaporednima številoma stalna vrednost. Na primer niz številk: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
  • Splošna oblika aritmetične progresije je a, a + d, a + 2d, a + 3d …
  • Formula za n-ti člen aritmetične progresije je a n = a + (n – 1)d
  • Vsota prvih n členov ali formula aritmetične vsote je S n = n/2[2a + (n – 1) d] , S n = n/2 [a + a n ]

Članek o aritmetičnem napredovanju:

Primeri aritmetične progresije

Primer 1: Poiščite AP, če je prvi člen 15 in je skupna razlika 4.

rešitev:

Kot vemo,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Tu je a = 15 in d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … in tako naprej.

Torej AP je 15, 19, 23, 27, 31…

Primer 2: Poiščite 20. člen za dano AP: 3, 5, 7, 9, …

rešitev:

Dano, 3, 5, 7, 9, 11……

java dodajanje v matriko

tukaj,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

an= a + (n − 1)d

advajset= 3 + (20− 1)2

advajset= 3 + 38

advajset= 41

Tukaj je 20. mandat advajset= 41

Primer 3: Poiščite vsoto prvih 20 večkratnikov števila 5.

rešitev:

Prvih 20 večkratnikov števila 5 je 5, 10, 15, … 100.

Tukaj je jasno, da je oblikovano zaporedje aritmetično zaporedje, kjer

a = 5, d = 5, an= 100, n = 20.

Sn= n/2 [2a + (n − 1) d]

Sn= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

Sn= 10 [10 + 95]

Sn= 1050

Vadbena vprašanja o aritmetičnem napredovanju

Q1. Vsoto prvih nn členov aritmetične progresije je podala S n = 3n 2 + 2n. Poiščite skupno razliko in prvi člen.

kaj je sklad java

Q2. Prvi člen aritmetičnega napredovanja je 7, 11. člen pa 31. Poiščite vsoto prvih 11 členov.

Q3. V aritmetičnem napredovanju je vsota prvih 10 členov 150, vsota naslednjih 10 členov pa 550. Poiščite prvi člen in skupno razliko.

Q4. Če je 4. člen aritmetičnega napredovanja 10 in 9. člen 25, poiščite 15. člen.

V5. Aritmetična progresija ima skupno razliko 5. Če je 6. člen 22, poiščite prvi člen in vsoto prvih 12 členov.

Pogosta vprašanja o aritmetičnem napredovanju

Kaj je aritmetična progresija s primerom?

Aritmetična progresija je zaporedje števil, kjer imata dva zaporedna člena skupno razliko. Na primer: 3, 6, 9, 12, 15,…

Kako najdete vsoto aritmetične progresije?

Da bi našli vsoto aritmetične progresije, lahko uporabite naslednje formule glede na podane podatke:

S = n/2 (prvi člen AP + zadnji člen AP) = n/2[a+ a n ]

Kakšna je razlika med aritmetično progresijo in aritmetično serijo?

Aritmetična progresija je število zaporedij znotraj katerega koli obsega, ki zagotavlja skupno razliko. Medtem ko je aritmetična serija/zaporedje vsota vseh členov, ki so prisotni v aritmetičnem napredovanju.

Kakšna je formula za AP in GP?

Formula za AP in GP sta:

  • AP: a n = a + (n – 1).d
  • GP: a n = a.r

Kaj je uporaba aritmetične progresije?

Aritmetična progresija je vrsta, ki daje skupno razliko med dvema zaporednima členoma. V vsakdanjem življenju se uporablja za posploševanje nabora vzorcev. Na primer, čakanje na avtobus, predpostavimo, da se avtobusi premikajo s konstantno hitrostjo, s pomočjo AP lahko ugotovite, kdaj bo avtobus prispel. AP se lahko uporablja tudi pri izdelavi piramid podobnih struktur itd.