Če preučujete trigometrijo ali račun ali se na to pripravljate, se boste morali seznaniti z enotskim krogom. Enotski krog je bistveno orodje za reševanje sinusa, kosinusa in tangensa kota. Toda kako deluje? In katere podatke morate vedeti, da ga lahko uporabite?

V tem članku razlagamo, kaj je enotski krog in zakaj bi ga morali poznati. Ponujamo vam tudi tri nasvete, ki vam bodo pomagali zapomniti, kako uporabljati enotski krog.

Predstavljena slika: Gustavb /Wikimedia

Krog enot: osnovni uvod

Enotski krog je krog s polmerom 1. To pomeni, da bo za katero koli ravno črto, narisano od središča kroga do katere koli točke vzdolž roba kroga, dolžina te črte vedno enaka 1. (To tudi pomeni, da bo premer kroga enak 2, saj premer je enak dvakratni dolžini polmera.)

Običajno središčna točka enotskega kroga je tam, kjer se sekata osi x in osi y, ali na koordinatah (0, 0):

Enotski krog ali trigokrog, kot je znan tudi, je koristno poznati, ker omogoča nam enostavno izračunavanje kosinusa, sinusa in tangensa katerega koli kota med 0° in 360° (ali 0 in 2π radiana).

Kot lahko vidite na zgornjem diagramu, boste z risanjem polmera pod poljubnim kotom (na sliki označen z ∝) ustvarili pravokoten trikotnik. Na tem trikotniku je kosinus vodoravna črta, sinus pa navpična črta. Z drugimi besedami, kosinus =x-koordinata in sinus = y-koordinata. (Najdaljša črta trikotnika ali hipotenuza je polmer in je zato enaka 1.)

Zakaj je vse to pomembno? Ne pozabite, da lahko določite dolžine strani trikotnika z uporabo Pitagorov izrek ali $a^2+b^2=c^2$ (v katerem a in b so dolžine strani trikotnika in c je dolžina hipotenuze).

Vemo, da je kosinus kota enak dolžini vodoravne premice, sinus je enak dolžini navpične premice, hipotenuza pa je enaka 1. Zato lahko rečemo, da formula za kateri koli pravokotni trikotnik v enotskem krogu je naslednja:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Ker je ^2=1$, lahko to enačbo poenostavimo takole:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Zavedajte se tega te vrednosti so lahko negativne odvisno od oblikovanega kota in v kateri kvadrant spadata x- in y-koordinata (to bom podrobneje razložil kasneje).

Tukaj je pregled vseh večjih kotov v stopinjah in radianih na enotskem krogu:

najdi moj iphone android

Enotski krog — stopinje

Enota Krožnica — radiani

Kaj pa, če ni oblikovanega trikotnika? Poglejmo si kaj se zgodi, ko je kot 0° in ustvari vodoravno ravno črto vzdolž osi x:

Na tej premici je x-koordinata enaka 1 in y-koordinata enaka 0. Vemo, da kosinus je enak x-koordinati, sinus pa je enak y-koordinati, tako da lahko napišemo tole:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Kaj če je kot 90° in tvori popolnoma navpično črto vzdolž osi y?

Tukaj lahko vidimo, da je x-koordinata enaka 0 in y-koordinata enaka 1. To nam daje naslednje vrednosti za sinus in kosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Ta slogan zagotovo velja, če niste ljubitelj matematike.

Zakaj bi morali poznati krog enot

Kot je navedeno zgoraj, je enotski krog koristen, ker omogoča nam enostavno reševanje sinusa, kosinusa ali tangensa katere koli stopinje ali radiana. Še posebej koristno je poznati diagram enotskega kroga, če morate za domačo nalogo iz matematike rešiti določene trigonske vrednosti ali če se pripravljate na študij računa.

Toda kako natančno vam lahko pomaga poznavanje enotskega kroga? Recimo, da ste pri testu iz matematike dobili naslednjo težavo – in jo tudi imate ne dovoljena uporaba kalkulatorja za reševanje:

$$sin30°$$

Kje začnete? Ponovno si oglejmo diagram enotskega kroga - tokrat z vsemi večjimi koti (v stopinjah in radianih) in njihovimi ustreznimi koordinatami:

Jim.belk /Wikimedia

Naj vas ne preobremeni! Ne pozabite, vse, kar rešujete, je $sin30°$. Če pogledamo ta grafikon, lahko to vidimo y-koordinata je enaka /2$ pri 30°. In ker je y-koordinata enaka sinusu, je naš odgovor naslednji:

$$sin30°=1/2$$

Kaj pa, če dobite problem, ki uporablja radiane namesto stopinj? Postopek reševanja je še vedno enak. Recimo, da dobite težavo, ki je videti takole:

$$cos{{3π}/4}$$

Ponovno lahko z uporabo zgornjega grafikona vidimo, da je x-koordinata (ali kosinus) za ${3π}/4$ (kar je enako 135°) $-{√2}/2$. Takole bi izgledal naš odgovor na to težavo:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Vse to je precej enostavno, če imate zgornji diagram enotskega kroga, ki ga lahko uporabite kot referenco. Toda večino časa (če ne ves) temu ne bo tako in od vas se pričakuje, da boste na tovrstna matematična vprašanja odgovorili samo z uporabo svojih možganov.

Torej, kako si lahko zapomnite enotski krog? Preberite naše najboljše nasvete!

Kako si zapomniti krog enot: 3 bistveni nasveti

V tem razdelku vam ponujamo naše najboljše nasvete za zapomnitev trigokrožca, da ga boste lahko brez težav uporabili za katero koli matematično nalogo, ki jo zahteva.

Ne bi priporočal vadbe enotskega kroga s samolepiči, ampak, hej, to je začetek.

kaj je hibernacija v Javi

#1: Zapomnite si skupne kote in koordinate

Če želite učinkovito uporabiti enotski krog, boste morali zapomnite si najpogostejše kote (v stopinjah in radianih) ter njihove ustrezne x- in y-koordinate.

Zgornji diagram je koristen diagram enotskega kroga, ki si ga lahko ogledate, saj vključuje vse glavne kote v stopinjah in radianih, poleg njihovih ustreznih koordinatnih točk vzdolž osi x in y.

Tukaj je grafikon, ki navaja iste podatke v obliki tabele:

Medtem ko si več kot dobrodošli, da si poskusite zapomniti vse te koordinate in kote, je to veliko stvari, ki si jih je treba zapomniti.

Na srečo obstaja trik, s katerim si lahko pomagate zapomniti najpomembnejše dele enotskega kroga.

Poglejte zgornje koordinate in opazili boste jasen vzorec: vse točke (razen tistih pri 0°, 90°, 270° in 360°) zamenjajte samo tri vrednosti (ne glede na to, ali so pozitivne ali negativne):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Vsaka vrednost ustreza kratka, srednja ali dolga črta za kosinus in sinus:

Evo, kaj te dolžine pomenijo:

Kratka vodoravna ali navpična črta= /2$ Srednja vodoravna ali navpična črta= ${√2}/2$ Dolga vodoravna ali navpična črta= ${√3}/2$

Na primer, če poskušate rešiti $cos{π/3}$, morate takoj vedeti, da ta kot (ki je enak 60°) označuje kratka vodoravna črta na enotskem krogu. zato njegova ustrezna x-koordinata mora biti enaka /2$ (pozitivna vrednost, ker $π/3$ ustvari točko v prvem kvadrantu koordinatnega sistema).

Čeprav si je koristno zapomniti vse kote v zgornji tabeli, upoštevajte to Daleč najpomembnejši koti, ki si jih je treba zapomniti, so naslednji:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

S svojimi negativnimi in pozitivnimi lastnostmi ravnajte tako kot s kabli, ki vas lahko ubijejo, če so nepravilno priklopljeni.

#2: Naučite se, kaj je negativno in kaj pozitivno

Ključnega pomena je, da lahko razlikujete pozitivne in negativne koordinate x in y, da lahko najdete pravo vrednost za težavo s proženjem. Kot opomnik, noter Od tega, ali bo koordinata na enotskem krogu pozitivna ali negativna v kateri kvadrant (I, II, III ali IV) točka spada:

Tukaj je grafikon, ki prikazuje, ali bo koordinata pozitivna ali negativna glede na kvadrant, v katerem je določen kot (v stopinjah ali radianih):

Na primer, recimo, da ste pri testu matematike dobili naslednjo težavo:

$$cos210°$$

Preden ga sploh poskusite rešiti, bi morali biti sposobni prepoznati, da bo odgovor negativno število ker kot 210° pade v kvadrant III (kjer so x-koordinate nenehno negativno).

Zdaj lahko z uporabo trika, ki smo se ga naučili v 1. nasvetu, ugotovite, da kot 210° ustvari dolga vodoravna črta. Zato je naš odgovor naslednji:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Vedeti, kako rešiti tangento

Nazadnje je bistveno vedeti, kako uporabiti vse te informacije o trigokrožnici ter sinusu in kosinusu, da bi lahko reši tangens kota.

Če želite v trigonu najti tangens kota θ (v stopinjah ali radianih), preprosto deli sinus s kosinusom:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Na primer, recite, da poskušate odgovoriti na to težavo:

$$ an300°$$

Prvi korak je nastavitev enačbe v smislu sinusa in kosinusa:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Zdaj, da bi rešili tangento, moramo najti sinus in kosinus 300°. Morali bi biti sposobni hitro prepoznati, da kot 300° pade v četrti kvadrant, kar pomeni, da kosinus ali x-koordinata bo pozitiven, sinus ali y-koordinata pa negativen.

Tudi to bi morali takoj vedeti ustvarja kot 300° kratko vodoravno črto in dolgo navpično črto. Zato bo kosinus (vodoravna črta) enak /2$, sinus (navpična črta) pa bo enak $-{√3}/2$ (negativna vrednost y, ker je ta točka v kvadrantu IV) .

Zdaj, če želite najti tangento, morate samo priključiti in rešiti:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Čas je, da predete svoje matematične sposobnosti!

Komplet vprašanj za vadbo kroga enot

Zdaj, ko veste, kako izgleda enotski krog in kako ga uporabljati, preverimo, kaj ste se naučili z nekaj praktičnimi nalogami.

Vprašanja

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

odgovori

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Odgovor Pojasnila

#1: $sin45°$

Pri tej težavi bi morali biti sposobni takoj prepoznati dve informaciji:

Odgovor bo pozitiven,ker je kot 45° v kvadrantu I in je sinus kota enak y-koordinati

• Kot 45° ustvarja srednje dolga navpična črta (za njihov)

Ker 45° označuje pozitivno črto srednje dolžine, pravilen odgovor je ${√2}/2$.

Če niste prepričani, kako to ugotoviti, narišite diagram, ki vam bo pomagal ugotoviti, ali bo dolžina črte kratka, srednja ali dolga.

#2: $cos240°$

Tako kot težava št. 1 zgoraj, obstajata dve informaciji, ki bi ju morali hitro dojeti pri tej težavi:

Odgovor bo negativen,ker je kot 240° v kvadrantu III in je kosinus kota enak koordinati x

• Kot 240° ustvarja kratka vodoravna črta (za kosinus)

Ker 240° označuje negativno, kratko črto, pravilen odgovor je $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

Za razliko od zgornjih težav ta težava uporablja radianov namesto stopinj. Čeprav je zaradi tega težava morda videti težje rešljiva, v resnici uporablja iste osnovne korake kot pri drugih dveh težavah.

Najprej se morate zavedati, da je kot ${5π}/3$ v kvadrantu IV, tako da bo x-koordinata ali kosinus pozitivno število. Tudi to bi morali znati povedati${5π}/3$ustvarja kratka vodoravna črta.

To vam daje dovolj informacij, da to ugotovite the odgovor je /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Ta problem se ukvarja s tangensom namesto s sinusom ali kosinusom, kar pomeni, da bo na naši strani zahtevalo malo več matematike. Najprej odpoklic osnovna formula za iskanje tangente:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Zdaj pa vzemimo diplomo, ki smo jo prejeli – ${2π}/3$— in ga vključite v to enačbo:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Zdaj bi morali biti sposobni ločeno rešiti sinus in kosinus s tem, kar ste si zapomnili o enotskem krogu. Ker je kot ${2π}/3$ v kvadrantu II, x-koordinata (ali kosinus) bo negativna, y-koordinata (ali sinus) pa pozitivna.

vrstni red po naključju v sql

Nato bi morali biti sposobni določiti samo na podlagi kota vodoravne črte kratka vrstica, in navpična črta je dolga vrsta. To pomeni, da je kosinus enak $-1/2$, sinus pa ${√3}/2$.

Zdaj, ko smo ugotovili te vrednosti, jih moramo samo vstaviti v našo začetno enačbo in rešiti tangento:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Kaj je naslednje?

Če boste kmalu opravljali izpit SAT ali ACT, boste morali poznati nekaj trigonov, da boste lahko dobro opravili del matematike. Oglejte si naše strokovne vodnike za sprožitev SAT in ACT, da se boste lahko naučili točno tistega, kar boste morali vedeti za dan izpita!

Poleg pomnjenja enotskega kroga, dobra ideja je, da se naučite, kako vstaviti številke in kako vstaviti odgovore. Preberite naše vodnike, če želite izvedeti vse o teh dveh uporabnih strategijah, ki ju lahko uporabite pri katerem koli matematičnem testu – vključno s SAT in ACT!