Ko se seznanite s kvadratno formulo in osnovami kvadratnih enačb, je čas za naslednjo stopnjo vašega odnosa s parabolami: spoznavanje njihovih vertex oblika .

Berite naprej, če želite izvedeti več o obliki oglišča parabole in o tem, kako pretvoriti kvadratno enačbo iz standardne oblike v obliko oglišča.

zasluga slike za funkcijo: SBA73 /Flickr

Zakaj je oblika Vertex uporabna? Pregled

The vertex oblika enačbe je alternativni način zapisovanja enačbe parabole.

Običajno boste videli kvadratno enačbo, zapisano kot $ax^2+bx+c$, ki bo v grafu parabola. Iz te oblike je dovolj enostavno najti korenine enačbe (kjer parabola zadene os $x$), tako da enačbo nastavimo na nič (ali uporabimo kvadratno formulo).

Če pa morate najti vrh parabole, je standardna kvadratna oblika veliko manj koristna. Namesto tega boste želeli svojo kvadratno enačbo pretvoriti v obliko vozlišč.

Kaj je Vertex Form?

Medtem ko je standardna kvadratna oblika $ax^2+bx+c=y$, ogliščna oblika kvadratne enačbe je $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

V obeh oblikah je $y$ koordinata $y$, $x$ je koordinata $x$ in $a$ je konstanta, ki vam pove, ali je parabola obrnjena navzgor ($+a$) ali navzdol ($-a$). (Razmišljam o tem, kot da bi bila parabola skleda z jabolčno omako; če je $+a$, lahko v skledo dodam jabolčno omako; če je $-a$, lahko jabolčno omako stresem iz sklede.)

Razlika med standardno obliko parabole in obliko oglišča je v tem, da vam oblika oglišča enačbe poda tudi oglišče parabole: $(h,k)$.

Oglejte si na primer to lepo parabolo, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Na podlagi grafa je videti, da je oglišče parabole približno (-1,5,-2), vendar je samo na podlagi grafa težko natančno povedati, kje je oglišče. Na srečo na podlagi enačbe $y=3(x+4/3)^2-2$ vemo, da je vrh te parabole $(-4/3,-2)$.

Zakaj je vozlišče $(-4/3,-2)$ in ne $(4/3,-2)$ (razen grafa, iz katerega sta razvidni tako $x$- kot $y$-koordinata je vrh negativen)?

Ne pozabite: v enačbi oblike vozlišča se $h$ odšteje in doda $k$ . Če imate negativni $h$ ali negativni $k$, se morate prepričati, da odštejete negativni $h$ in dodate negativni $k$.

V tem primeru to pomeni:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

in tako je oglišče $(-4/3,-2)$.

Pri zapisovanju parabole v obliki vozlišča morate vedno znova preveriti pozitivne in negativne predznake , zlasti če oglišče nima pozitivnih vrednosti $x$ in $y$ (ali za vas kvadrantne glave tam zunaj, če ni v kvadrant I ). To je podobno preverjanju, ki bi ga naredili, če bi reševali kvadratno formulo ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) in bi se morali prepričati, ali ste ohranili pozitivno in negativne neposredno za vaše $a$s, $b$s in $c$s.

Spodaj je tabela z dodatnimi primeri nekaj drugih enačb oblike oglišč parabole, skupaj z njihovimi oglišči. Upoštevajte zlasti razliko v $(x-h)^2$ delu enačbe oglišča parabole, ko je koordinata $x$ oglišča negativna.

Kako pretvoriti iz standardne kvadratne oblike v obliko oglišča

Večino časa, ko boste morali pretvoriti kvadratne enačbe med različnimi oblikami, boste šli iz standardne oblike ($ax^2+bx+c$) v obliko oglišča ($a(x-h)^2+k$ ).

Postopek pretvorbe vaše enačbe iz standardne kvadratne v obliko oglišč vključuje niz korakov, ki se imenujejo dokončanje kvadrata. (Za več informacij o izpolnjevanju kvadrata obvezno preberite ta članek.)

Oglejmo si primer pretvorbe enačbe iz standardne oblike v obliko oglišča. Začeli bomo z enačbo $y=7x^2+42x-3/14$.

Prva stvar, ki jo boste želeli narediti, je, da premaknete konstanto ali izraz brez $x$ ali $x^2$ zraven. V tem primeru je naša konstanta $-3/14$. (Vemo, da je negativno $3/14$, ker je standardna kvadratna enačba $ax^2+bx+c$, ne $ax^2+bx-c$.)

Najprej bomo vzeli to $-3/14$ in ga premaknili na levo stran enačbe:

$y+3/14=7x^2+42x$

Naslednji korak je odšteti 7 (vrednost $a$ v enačbi) z desne strani, takole:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Super! Ta enačba je veliko bolj podobna obliki vozlišča, $y=a(x-h)^2+k$.

Na tej točki si morda mislite: 'Vse, kar moram storiti, je, da premaknem 3 $/14 $ nazaj na desno stran enačbe, kajne?' Žal, ne tako hitro.

Če pogledate del enačbe znotraj oklepaja, boste opazili težavo: ni v obliki $(x-h)^2$. Preveč je $x$s! Torej še nismo povsem končali.

Kar moramo narediti zdaj, je najtežji del – dokončati kvadrat.

Oglejmo si podrobneje del enačbe $x^2+6x$. Da bi faktorizirali $(x^2+6x)$ v nekaj podobnega $(x-h)^2$, bomo morali dodati konstanto znotraj oklepaja – in si bomo morali zapomniti dodati to konstanto tudi na drugo stran enačbe (ker mora enačba ostati uravnotežena).

Če želite to nastaviti (in zagotoviti, da ne pozabimo dodati konstante na drugo stran enačbe), bomo ustvarili prazen prostor, kjer bo konstanta šla na obeh straneh enačbe:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Upoštevajte, da smo na levi strani enačbe poskrbeli, da smo vključili našo vrednost $a$, 7, pred presledek, kamor bo šla naša konstanta; to je zato, ker konstante ne dodajamo samo desni strani enačbe, ampak konstanto množimo s tistim, kar je na zunanji strani oklepaja. (Če je vaša vrednost $a$ 1, vam to ni treba skrbeti.)

Naslednji korak je dokončanje kvadrata. V tem primeru je kvadrat, ki ga izpolnjujete, enačba znotraj oklepaja – z dodajanjem konstante jo spremenite v enačbo, ki jo lahko zapišete kot kvadrat.

Za izračun te nove konstante vzemite vrednost poleg $x$ (v tem primeru 6), jo razdelite z 2 in kvadrirajte.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanta je 9.

Razlog, da prepolovimo 6 in ga kvadriramo, je ta, da vemo, da je v enačbi v obliki $(x+p)(x+p)$ (do katere poskušamo priti), $px+px= 6x$, torej $p=6/2$; da dobimo konstanto $p^2$, moramo torej vzeti $6/2$ (naš $p$) in ga kvadrirati.

Zdaj zamenjajte prazen prostor na obeh straneh naše enačbe s konstanto 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Nato faktorizirajte enačbo znotraj oklepajev. Ker smo izpolnili kvadrat, ga boste lahko faktorizirali kot $(x+{ eko število})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Zadnji korak: premaknite vrednost, ki ni $y$, z leve strani enačbe nazaj na desno stran:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

čestitke! Uspešno ste pretvorili svojo enačbo iz standardne kvadratne v obliko oglišč.

Zdaj večina težav ne bo samo zahtevala, da svoje enačbe pretvorite iz standardne oblike v obliko vozlišč; želeli bodo, da dejansko navedete koordinate vrha parabole.

Da bi se izognili spremembam predznaka, zapišimo splošno enačbo oblike vozlišča neposredno nad enačbo oblike vozlišča, ki smo jo pravkar izračunali:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

In potem lahko zlahka najdemo $h$ in $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Vrh te parabole je na koordinatah $(-3,-{885/14})$.

Vau, to je bilo veliko mešanja številk! Na srečo je pretvorba enačb v drugo smer (iz vozlišča v standardno obliko) veliko preprostejša.

Kako pretvoriti iz obrazca Vertex v standardno obliko

Pretvarjanje enačb iz njihove ogliščne oblike v pravilno kvadratno obliko je veliko preprostejši postopek: vse, kar morate storiti, je, da pomnožite ogliščno obliko.

Vzemimo naš primer enačbe od prej, $y=3(x+4/3)^2-2$. Če želite to spremeniti v standardno obliko, samo razširimo desno stran enačbe:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

takrat! Uspešno ste pretvorili $y=3(x+4/3)^2-2$ v njegovo obliko $ax^2+bx+c$.

Vaja obrazca oglišča parabole: vzorčna vprašanja

Za zaključek tega raziskovanja oblike vozlišča imamo štiri primere problemov in razlage. Preverite, ali lahko sami rešite težave, preden preberete razlage!

#1: Kakšna je oglišča kvadratne enačbe $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Pretvorite enačbo $7y=91x^2-112$ v obliko oglišča. Kaj je vrh?

#3: Glede na enačbo $y=2(x-3/2)^2-9$, kakšne so $x$-koordinate, kjer se ta enačba seka z osjo $x$?

#4: Poiščite oglišče parabole $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Vaja: Rešitve

#1: Kakšna je oglišča kvadratne enačbe ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Začnite tako, da spremenljivko, ki ni $x$, ločite na drugo stran enačbe:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Ker je naš $a$ (kot v $ax^2+bx+c$) v izvirni enačbi enak 1, nam ga tukaj ni treba faktorizirati z desne strani (čeprav lahko, če želite, zapišete $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Nato delite koeficient $x$ (2,6) z 2 in ga kvadrirajte, nato pa dobljeno število dodajte obema stranema enačbe:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Faktorirajte desno stran enačbe znotraj oklepajev:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Končno združite konstante na levi strani enačbe, nato pa jih premaknite na desno stran.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Naš odgovor je $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Pretvorite enačbo $7i y=91i x^2-112$ v obliko oglišča. Kaj je vrh?

Ko pretvarjate enačbo v obliko vozlišča, želite, da ima $y$ koeficient 1, zato bomo najprej obe strani te enačbe delili s 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Nato prenesite konstanto na levo stran enačbe:

$y+16=13x^2$

Odštejte koeficient števila $x^2$ ($a$) z desne strani enačbe

$y+16=13(x^2)$

Običajno bi morali izpolniti kvadratek na desni strani enačbe znotraj oklepaja. Vendar je $x^2$ že kvadrat, zato vam ni treba storiti ničesar, razen premikanja konstante z leve strani enačbe nazaj na desno stran:

$y=13(x^2)-16$.

Zdaj najdemo točko:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, torej $h=0$

$+k=-16$, torej $k=-16$

Vrh parabole je v $(0, -16)$.

#3: Glede na enačbo $i y=2(i x-3/2)^2-9$, kolikšna je(so) $i x$-koordinata, kjer se ta enačba seka z $i x$-os?

Ker vas vprašanje zahteva, da poiščete presek(-e) $x$ enačbe, je prvi korak, da nastavite $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Zdaj obstaja nekaj načinov, kako iti od tukaj. Zahrbten način je, da uporabimo dejstvo, da je v enačbi oblike oglišča že zapisan kvadrat, v svojo korist.

Najprej bomo premaknili konstanto na levo stran enačbe:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Nato bomo obe strani enačbe delili z 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Zdaj pa zahrbten del. Izvlecite kvadratni koren obeh strani enačbe:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±