Vektorska projekcija je senca vektorja nad drugim vektorjem. Vektor projekcije dobimo tako, da vektor pomnožimo s Cos kota med obema vektorjema. Vektor ima velikost in smer. Za dva vektorja pravimo, da sta enaka, če imata enako velikost in smer. Vektorska projekcija je bistvena pri reševanju numeričnih nalog v fiziki in matematiki.

V tem članku bomo podrobno spoznali, kaj je vektorska projekcija, primer formule vektorske projekcije, formula vektorske projekcije, izpeljava formule vektorske projekcije, linearna algebra formule vektorske projekcije, formula vektorske projekcije 3d in nekatere druge povezane koncepte.

Kazalo

• Kaj je vektorska projekcija?
• Formula vektorske projekcije
• Izpeljava formule vektorske projekcije
• Primeri formul vektorske projekcije
• Praktične aplikacije in pomen vektorske projekcije
• Primeri vektorske projekcije za reševanje problemov v resničnem svetu

Kaj je vektorska projekcija?

Vektorska projekcija je metoda vrtenja vektorja in njegove postavitve na drugi vektor. Vektor torej dobimo, ko vektor razdelimo na dve komponenti, vzporedno in pravokotno. Vzporedni vektor se imenuje projekcijski vektor. Tako je vektorska projekcija dolžina sence vektorja nad drugim vektorjem.

Vektorsko projekcijo vektorja dobimo tako, da vektor pomnožimo s Cos kota med obema vektorjema. Recimo, da imamo dva vektorja 'a' in 'b' in moramo najti projekcijo vektorja a na vektor b, potem bomo vektor 'a' pomnožili s cosθ, kjer je θ kot med vektorjem a in vektorjem b.

Formula vektorske projekcije

čevec Aje predstavljen kot A invec Bje predstavljen kot B, je vektorska projekcija A na B podana kot produkt A s Cos θ, kjer je θ kot med A in B. Druga formula za vektorsko projekcijo A na B je podana kot produkt A in B deljeno z velikostjo B. Tako dobljeni projekcijski vektor je skalarni večkratnik A in ima smer v smeri B.

Izpeljava formule vektorske projekcije

Izpeljava formule vektorske projekcije je obravnavana spodaj:

Predpostavimo, OP =vec Ain OQ =vec Bin kot med OP in OQ je θ. Narisan PN pravokotno na OQ.

V pravokotnem trikotniku OPN je Cos θ = ON/OP

⇒ VKLOP = VKLOP Cos θ

⇒ VKLOP = |vec A| Cos θ

ON je vektor projekcijevec Anavec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

primer java lambda

⇒ VKLOP =frac{vec A.vec B}

Zato je ON =|vec A|.hat B

Tako vektorska projekcijavec Anavec Bje podan kotfrac{vec A.vec B}

vektorska projekcijavec Bnavec Aje podan kotfrac{vec A.vec B}

in.naslednja java

Preverite tudi: Vrste vektorjev

Vektorska projekcija Pomembni izrazi

Da bi našli vektorsko projekcijo, se moramo naučiti poiskati kot med dvema vektorjema in tudi izračunati pikčasti produkt med dvema vektorjema.

Kot med dvema vektorjema

Kot med obema vektorjema je podan kot inverzna vrednost kosinusa pikčastega produkta dveh vektorjev, deljenega z zmnožkom velikosti dveh vektorjev.

Recimo, da imamo dva vektorjavec Ainvec Bkot med njima je θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Pikčasti produkt dveh vektorjev

Recimo, da imamo dva vektorjavec Ainvec Bdefinirano kotvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kinvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k potem je pikčasti produkt med njimi podan kot

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Sorodni članek:

• Vektorski dodatek
• Vektor enote
• Vektorska algebra
• Linearna algebra

Primeri formul vektorske projekcije

Primer 1. Poiščite projekcijo vektorja 4hat i + 2hat j + hat k na 5hat i -3hat j + 3hat k .

rešitev:

tukaj,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Vemo, projekcija vektorja a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

razlika med binarnim drevesom in binarnim iskalnim drevesom

Primer 2. Poiščite projekcijo vektorja 5hat i + 4hat j + hat k na 3hat i + 5hat j – 2hat k

rešitev:

tukaj,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Vemo, projekcija vektorja a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Primer 3. Poiščite projekcijo vektorja 5hat i – 4hat j + hat k na 3hat i – 2hat j + 4hat k

rešitev:

tukaj,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Vemo, projekcija vektorja a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Primer 4. Poiščite projekcijo vektorja 2hat i – 6hat j + hat k na 8hat i – 2hat j + 4hat k .

rešitev:

tukaj,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Vemo, projekcija vektorja a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Primer 5. Poiščite projekcijo vektorja 2hat i – hat j + 5hat k na 4hat i – hat j + hat k .

rešitev:

tukaj,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

ponavljanje zemljevida v Javi

Vemo, projekcija vektorja a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Preverite: Vektorske operacije

Praktične aplikacije in pomen vektorske projekcije

Fizika

• Razgradnja sile : V fiziki je formula vektorske projekcije ključna za razgradnjo sil na komponente, ki so vzporedne in pravokotne na površine. Na primer, razumevanje sile, s katero deluje vrv v igri vlečenja vrvi, zahteva projiciranje vektorja sile na smer vrvi.

• Izračun dela : Delo, ki ga opravi sila med premikom, se izračuna z vektorsko projekcijo. Delo je pikčasti produkt vektorja sile in vektorja premika, ki v bistvu projicira enega vektorja na drugega, da se najde komponenta sile v smeri premika.

Inženiring

• Strukturna analiza : Inženirji uporabljajo vektorsko projekcijo za analizo napetosti na komponentah. S projiciranjem vektorjev sil na strukturne osi lahko določijo komponente napetosti v različnih smereh, kar pomaga pri načrtovanju varnejših in učinkovitejših struktur.

• Dinamika tekočin : V dinamiki tekočin vektorska projekcija pomaga pri analizi pretoka tekočine okoli predmetov. S projiciranjem vektorjev hitrosti tekočine na površine lahko inženirji preučujejo tokovne vzorce in sile, ki so ključni za aerodinamično načrtovanje in hidravlični inženiring.

Računalniška grafika

• Tehnike upodabljanja : Vektorska projekcija je temeljna v računalniški grafiki za upodabljanje senc in odsevov. S projiciranjem svetlobnih vektorjev na površine grafična programska oprema izračuna kote in intenzivnost senc in odsevov, kar izboljša realističnost 3D modelov.

• Animacija in razvoj iger : V animaciji se vektorska projekcija uporablja za simulacijo gibanja in interakcij. Na primer, določanje, kako se lik premika po neravnem terenu, vključuje projiciranje vektorjev gibanja na površino terena, kar omogoča realistične animacije.

Preverite: Bazični vektorji v linearni algebri

Primeri vektorske projekcije za reševanje problemov v resničnem svetu

Primer 1: GPS navigacija

• Kontekst : V navigacijskih sistemih GPS se vektorska projekcija uporablja za izračun najkrajše poti med dvema točkama na zemeljski površini.
• Aplikacija : S projiciranjem vektorja premika med dvema geografskima lokacijama na vektor zemeljske površine lahko algoritmi GPS natančno izračunajo razdalje in smeri ter optimizirajo potovalne poti.

Primer 2: Športna analitika

• Kontekst : V športni analitiki, zlasti pri nogometu ali košarki, vektorska projekcija pomaga pri analizi gibanja igralcev in poti žoge.
• Aplikacija : S projiciranjem vektorjev gibanja igralcev na igralno polje ali igrišče lahko analitiki preučujejo vzorce, hitrosti in učinkovitost gibov, kar prispeva k strateškemu načrtovanju in izboljšanju učinkovitosti.

Primer 3: Inženiring obnovljivih virov energije

• Kontekst : Pri načrtovanju vetrnih turbin je razumevanje komponent vetrne sile bistveno za optimizacijo proizvodnje energije.
• Aplikacija : Inženirji projicirajo vektorje hitrosti vetra na ravnino lopatic turbine. Ta analiza pomaga pri določanju optimalnega kota in orientacije lopatic za čim večji zajem vetrne energije.

4. primer: razširjena resničnost (AR)

• Kontekst : V aplikacijah za razširjeno resničnost se vektorska projekcija uporablja za natančno postavitev virtualnih objektov v prostore resničnega sveta.
• Aplikacija : S projiciranjem vektorjev iz navideznih predmetov na ravnine resničnega sveta, ki jih posnamejo naprave AR, lahko razvijalci zagotovijo realistično interakcijo navideznih predmetov z okoljem, kar izboljša uporabniško izkušnjo.

Preverite: Komponente vektorja

Pogosta vprašanja o vektorski projekciji

Določite projekcijski vektor.

Vektor projekcije je senca vektorja na drugem vektorju.

Kaj je formula vektorske projekcije?

Formula za projekcijo vektorja je podana kotfrac{vec A.vec B}

Kako najti projekcijski vektor?

Vektor projekcije se najde z izračunom pikčastega zmnožka dveh vektorjev, deljenih z , na katerega je vržena senca.

Kateri koncepti so potrebni za izračun projekcijskega vektorja?

Za izračun vektorske projekcije moramo poznati kot med dvema vektorjema in pikčasti produkt dveh vektorjev.

Kje se uporablja projekcijski vektor?

Projection Vector se uporablja za reševanje različnih fizikalnih števil, ki zahtevajo, da se vektorska količina razdeli na komponente.

Kakšen je pomen vektorske projekcije v fiziki?

V fiziki je vektorska projekcija ključna za razgradnjo sil, izračun dela, ki ga sila opravi v določeni smeri, in analizo gibanja. Pomaga pri razumevanju, kako različne komponente vektorja prispevajo k učinkom v različnih smereh.

Ali je lahko vektorska projekcija negativna?

Da, skalarna komponenta vektorske projekcije je lahko negativna, če je kot med obema vektorjema večji od 90 stopinj, kar pomeni, da gre projekcija v nasprotni smeri osnovnega vektorja.

Kako se vektorska projekcija uporablja v tehniki?

Inženirji uporabljajo vektorsko projekcijo za analizo strukturnih napetosti, optimizacijo zasnov z razgradnjo sil na obvladljive komponente in v dinamiki tekočin za preučevanje vzorcev toka proti površinam.

Kakšna je razlika med skalarno in vektorsko projekcijo?

Skalarna projekcija podaja velikost enega vektorja vzdolž smeri drugega in je lahko pozitivna ali negativna. Po drugi strani pa vektorska projekcija ne upošteva samo velikosti, temveč daje tudi smer projekcije kot vektor.

Kakšne so aplikacije vektorske projekcije v resničnem svetu?

Vektorska projekcija se uporablja v navigaciji GPS, športni analitiki, računalniški grafiki za upodabljanje senc in odsevov ter v razširjeni resničnosti za postavitev virtualnih objektov v prostore resničnega sveta.