logo

TechCodeview

Vrstica Echelon Form

Matrika je v obliki Echelon vrstice, če ima naslednje lastnosti:

  • Vsaka vrstica, ki je v celoti sestavljena iz ničel, se pojavi na dnu matrike.
  • Za vsako vrstico, ki ne vsebuje popolnoma ničel, je prvi vnos, ki ni nič, 1 (imenovan vodilni 1).
  • Pri dveh zaporednih (različnih od nič) vrsticah je vodilna 1 v višji vrsti bolj levo kot vodilna v spodnji vrstici.

Za obliko skrajšanega vrstnega reda vsebuje prva 1 vsake vrstice 0 pod in nad njo v tem stolpcu.



Spodaj je primer oblike vrstnega ešalona:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

in zmanjšana vrstna oblika:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Vsako matriko je mogoče preoblikovati v obliko pomanjšanega vrstnega ešalona z uporabo tehnike, imenovane Gaussova eliminacija. To je še posebej uporabno pri reševanju sistemov linearnih enačb.

diana mary blacker

Gaussova eliminacija

Gaussova eliminacija je način pretvorbe matrike v pomanjšano obliko ešalona vrstic. Uporablja se lahko tudi kot način iskanja rešitve rešitve sistema linearnih enačb. Ideja za tem je, da izvedemo nekaj matematičnih operacij v vrstici in nadaljujemo, dokler ne ostane samo ena spremenljivka.



Spodaj je nekaj operacij, ki jih lahko izvajamo:

  • Zamenjajte poljubni dve vrstici
  • Dodajte dve vrstici skupaj.
  • Pomnožite eno vrstico s konstanto, ki ni nič (tj. 1/3, -1/5, 2).

Glede na naslednjo linearno enačbo:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

in razširjena matrika zgoraj

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Zdaj moramo to pretvoriti v obliko vrstice-ešalon. Če želite to pretvoriti v obliko vrstnega ešalona, ​​moramo izvesti Gaussovo eliminacijo.

  • Najprej moramo odšteti 2*r1iz r2in 4*r1iz r3da dobite 0 na prvem mestu r2in r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

abeceda v številko
  • Nato bomo zamenjali vrstici, r2 in r3 in nato odšteli 5*r2iz r3da dobimo drugo 0 v tretji vrstici.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Zdaj lahko izpeljemo vrednost z iz r3,tj. 10 z =0 ⇾ z=0. S pomočjo vrednosti z =0 jo lahko postavimo na r2, y = 2. Podobno lahko vrednosti y in z postavimo na r1in dobimo vrednost x=3

Rang matrike

Rang matrike je število neničelnih vrstic v obliki ešalona vrstic. Če želite najti rang, moramo izvesti naslednje korake:

  • Poiščite vrstno-ešalonsko obliko dane matrike
  • Preštejte število neničelnih vrstic.

Vzemimo primer matrike:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Sedaj zgornjo matriko reduciramo na obliko vrstice

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tukaj samo dve vrstici vsebujeta neničelne elemente. Zato je rang matrike 2.

Izvedba

  • Za pretvorbo matrike v pomanjšano vrstno-ešalonsko obliko smo uporabili paket Sympy v pythonu, najprej ga moramo namestiti.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Izhod: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>